数学建模习题答案

数学建模习题答案

数学建模部分课后习题解答

中国地质大学能源学院华文静

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连

线呈长方形，结论如何？

解：

模型假设

（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选

择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）

0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位

在地面上所处的位置不变，由此可知，f （π）＝g （0），g （π）＝f （0）.而由f （0）＞0，g （0）＝0，得g （π）＞0，f （π）＝0。令h （θ）＝f(θ)－g （θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又

0)()()(,0)0()0()0(<-=>-=πππg f h g f h ，根据连续函数

介值定理，必存在

），

，0（0πθ∈使得

)

()(即,0)(000θθθg f h ==；

又因为0

)()(所以,0)()(00

===?θθθθg f g f 。于是，椅子

的四只脚同时着地，放稳了。

模型讨论

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳． 2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 模型假设

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。 符号说明

1

X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;

2

X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；

3

X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；

4

X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为

1，否则为0:；

)

,,,(4321X X X X S k =:状态向量，代表时刻K 左岸的状态；

)

,,,(4321X X X X D k =:决策向量，代表时刻K 船上的状

态； 模型建立 限制条件：???≠+≠+?=2

204332

1

X X X X X 初始状态：)

0，0，0，0(),1，1，1，1(00

==D S

模型求解

根据乘法原理，四维向量

）

,,,（432

1

X X X X 共有16

2

4

=种

情况根据限制条件可以排除）1,1,0,0）（1，0,1，0）（1,1,1,0（三

种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素

{})

0，0,，0，0(),0，0，0，1(),1，0，0，1(),0，1，0，1(),0，1，1，1(=D ,状态集有8个元

素，将其进行分配，共有两种运送方案： 方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）； 方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)； 目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左

岸状态由）0,0,0,0（）1,1,1,1（→

表一：

时刻 左岸状态K

S

船上K

D

K=0 K=1

K=2 K=3 K=4

K=5 (1，1，1，1)

(0，1，1，1） （1，1，0，1）

（0，1，0，(0，0，0，0)

(1，0，1，0)

(1，0，0，0) (1，0，0，1) (1，0，1，0)

(1，1，0，0)

K=6 K=7

0）

（1，1，1，

0）

（0，0，1，

0）

（1，0，1，

0）

（0，0，0，

0）

(1，0，0，0)

(1，0，1，0)

表二：

时刻左岸状态

K

S船上K D

K=0 K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7 (1，1，1，

1)

(0，1，0，

1)

(1，1，0，

1)

(0，0，0，

1)

(1，0，1，

1)

(0，0，1，

(0，0，0，0)

(1，0，1，0)

(1，0，0，0)

(1，1，0，0)

(1，0，1，0)

(1，0，0，1)

(1，0，0，0)

(1，0，1，0)

0)

(1，0，1，

0)

(0，0，0，

0)

3. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.

（2）2.1节中的Q值方法.

（3）d’Hondt方法：将各宿舍的人数用正整数,2,1 n ,3相除，其商数如下表：

1 2 3

4 5 …

A B C 235 117.5 78.3 58.75 …

333 166.5 111 83.25 …

432 216 144

108 86.4

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A ，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.

解：先考虑N=10的分配方案，

∑=====3

1

3211000,432,333,235i i p p p p

方法一（按比例分配）

4,33.3,35.2332211======N p q N p q N p q

分配结果为：4

,3,3321

===n n n

方法二（Q 值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4,3,33

2

1

===n n n

第10个席位：计算Q 值为

92407543333，920417322352221=?==?=Q Q 93312

5

44322

3=?=Q

Q3最大，第10个席位应给 C.分配结果为5,3,23

2

1

===n n n

方法三（d ’Hondt 方法）

原理：记pi 和ni 为各宿舍的人数和席位

（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）,i

i n p

是每席位代

表的人数，取i

n =3,2,1…，从而得到的i

i

n p 中选较

大者，可使对所有的i ，i

i n p 尽量接近。

所以此方法的分配结果为：5

,3,2321

===n n n

再考虑15=N 的分配方案，

类似地可得名额分配结果。现将3中方法两次分配额结果列表如下：

宿舍 （1） （2） （3）

（1） （2）

（3） A B C

3 2 2

3 3 3

4

5 5 4 4

3

5 5

5

6 6

7

总计

10 10 15 15

10 15

4. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长（cm）36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1

重量（g） 756 482 1162 737 482 1389 652 454

胸围（cm）24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6

先用机理分析，再用数据确定参数。

模型分析

本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度

也大体上是相同的。 模型假设

（1） 设鱼的重量为ω； （2） 鱼的身长记为l ； 模型的构成与求解

因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量ω与身长l 的立方成正比，为这两者之间的比例系数。即1

31,k k νω

=为

比例系数。不过常钓得较肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是

222,k l d k =ω为比例系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：

,

0322.0,0146.021==k k 将实际数据与模型结果比较

如下表： 实际重量（g ） 765 482 1162 737 482

1389 652 454

模型3

1νω

k =

727 469 1226 727 483

1339 675 483

模型

l d k 22=ω

730 465 1100 730 483

1471 607 483

通过机理分析，基本上满意

5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

动物体重（g）心率（次/

分）

田鼠家属兔小狗大狗羊人马25 670 200 420 2000 205 5000 120 30000 85 50000 70 70000 72 450000 38

解：动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体

内热量通过表面积S散失，记动物体重为ω，则P

S

Pα

ω,3/2-

∝

∝正比于血流量Q,而qr

Q=，其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率。合理地假

设q与ω成正比，于是r

qω

∝，综上可得

3

/13/1或,-=∝ωωk r r 。由所给数据估计得3

10897.20?=k

，

将实际数据与模型结果比较如下表：

动物 实际心率（次/分） 模型结果（次/分）

田鼠 家属 兔 小狗 大狗 羊 人 马

670 715

420 375

205 166

120 122

85 67

70 57

72 51

38 27

6. 速度为v 的风吹在迎风面积s 为的风车

上，空气密度是ρ。用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v ，s ，ρ的关系。

解： 模型分析

设0),,,(的关系为，，，=ρνρνs P f s P ，其量纲表达式

为：

,

][,][,][,][3213

2

---====ML L s LT T ML P ρν这里T M L ,,是基本

量纲

模型求解 量纲矩阵为：

)

()()()(001310013212ρνs P T L

M

A ??????????---=

齐次线性方程组??

?

?

?--=+=-++=021414321300322y y y y y y y y

它的基本解为)

1,1,3,1(-=y

由量纲i

P 定理得1

131131,ρλνρνπ

s P s P ==-，其中λ是

无量纲常数

7. 雨速的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 解：

模型分析

设g ,，，μρν的关系为0)g ，，，v (=μρf .其量纲表达式为：

，

]g [，)(]μ[，]ρ[,][2-01122211120310T LM MT L T T MLL L L LT MLT MT L T LM v ======-----------其中T L M ,,是基本量纲 模型求解 量纲矩阵为

（ｇ）

）（)()( 210101101131μρνT L

M

A ??????????-----=

齐次线性方程组即

,0=Ay

??

?

?

?=---=+=+--0

200

3431324321y y y y y y y y y

的基本解为)

1,1,1,3(--=y

由量纲i

P 定理得ρ

μλνμρνπg

g 3

13所以.==--其中λ是

无量纲数

8. 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

解： 模型求解

设购买单位重量货物的费用为k

对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

kr rT c T c T G ++=

2

）（21 2T -22

1r

c c dT dC +=

令,

0=dT dC

解得r

c c T

2

1

*

2=

由2

1**2得,c r

c rT Q rT Q

=

==

与不考虑购货费的结果比较，T 、Q 的最优结果没有变

对于允许缺货模型，每天平均费用为：

])(22[1

),(23221kQ Q rT r

c

r Q c c T Q T c +-++= 令0,

0=??=?

?Q

c

T

c

解

得

3

232222331231*3223

2321*

)()(2,)

(2c c kr

c c c r k c c c c rc c Q c c k c rc c c c T

+-

+-+=-+=

*

*，Q T 均比不考虑费用k 时的结果减小

9. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >在每个生产周期T 内，开始的一段时间)0(0

T t <<一边

生产一边销售，后来的一段时间(t T

<0

T

<)只销售

不生产，画出贮存量)(t q 的图形。设每次生产准备费为1

c ，单位时间每件产品贮存费为2

c ，以总费

用最小为目标确定最优生产周期。讨论r k >>和

r

k ≈的情况。

解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：

q

k-r r

o T

t

贮存费为2

)()()(02

21

02

lim T

T r k c dt t g c t

g c T

n

i i

i t ?-==??∑=→?ξ

又

)

(）（00T T r T r k -=-

∴=

∴,0T k r T 贮存费变为k

T

T r k r c 2)(2?-=

于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

k

T

r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(2

1221-+=-+=

k

r k r c T c dT dC 2)

(2

1-+-= 令)

(2得,021*r k r c k c T dT

dC

-=

=

易得函数*

在)(T T C 处取得最小值，即最优周期

为)

(221*

r k r c k c T

-=

当r

c c T r k 21

*2,≈>>，相当于不考虑生产的情况。

当∞

→≈*,T r k

，此时产量与销量相抵消，无

法形成贮存量。

10. 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

解： 模型分析

考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小

模型假设

1

）b （+=

b k λ，分母1b +中的1是防止∞

→→λ

时0b 而加的

模型求解 总

费

用

函

数