微积分第三版课后习题答案
【篇一:微积分下册练习题(含答案)】> n?1
?
n
的部分和数列?sn?的极限存在是级数
?u
n?1
?
n
收敛的充要条件。
2、判断级数
?
n?1
?
nsin3
2n
n
的敛散性。
nsin3
解:
nn?1
?n,而limn?1?1,故收敛。
n??n22n2n
n2
3、级数
n?1
?
?
?xn
的收敛半径为r?2。
2n
4、幂级数
?
n?
1
?1?x?
3
n
的收敛区间为?1。
?
5、将函数f?x??ln?1?x?展开成x的幂级数是
?x?
121314x?x?x?234
,x???1,1?。
6、微分方程
dy
?y?sin?x2?c?。 dx
x
7、求微分方程y??y?e的通解。解:y?e?
dx
?exe??dxdx?c??exx?c
???????
x4
?c1x2?c2x?c3。 8、微分方程y????sinx?6x的通解是y??cosx?4
9、微分方程y???y??2y?e的通解。
2
解:特征方程为r?r?2?0,解得r,r2?2,另外特解是y?1??1 ?
x
1x
e, 2
从而通解为y?c1e
?x
1
?c2e2x?ex
2
x
10、微分方程y???y?e
?
?x?1?的特解可设为y??ex?ax?b?。
n??
11. 级数?un收敛的必要条件是limun?0 .
n?1
12. 交换二次积分的次序?0dy?0f(x,y)dx=?0dx?xf(x,y)dy 13. 微分方程y???4y??4y?2xe2x的特解可以设为y*?x2(ax?b)e2x. 14. 在极坐标系下的面积元素d??rdrd?. 15. 级数?(?1)
n?1?
n?1
1y11
1n
32
为( a ).
a.绝对收敛;
b. 条件收敛;
c.发散;
d. 收敛性不确定. 16.
幂级数?(?1)
n?1?
n?nn1
的收敛半径为( r? ).
3xy
17. 设z?sin(x?y)?e,求dz.
(?y?)xe解:zx?cosx(?y?)yexy zy?cosx
dz?[cosx(?y?)ye
?
xy
xy
]d?x[cos?x(y?x)yxe
dy
(?1)n
(x?1)n的收敛域. 18.求幂级数?nn?1
解 r?1
当x?2时收敛当x?0时发散
收敛域为(0,2].
1
19.将f(x)?展开为麦克劳林级数. 2
2?x?x??
11?11?
?解: ??2
2?x?x3?1?x?x??
2?1????2????
2分
?
11?
31?x6(1?x)
2
n
3分
1?n1??x???x??(?1)n??3n?06n?0?2?
5分
1??1????1?(?1)nn?1?xn3n?0?2?
6分
x?1
7分
20. 求微分方程y??2xy?4x在初始条件yx?0?3下的特解.解y?e
??2xdx
?
c??4xexdx
x2
2
?
5分
3分 4分
?e?ce
?x2
[c?2?ed(x2)]
?x2
?2
将yx?0?3代入上式得 c?1
所求特解为y?e
?x2
6分
?2
7分
【篇二:微积分3习题答案】
?3?x)?f(x0)
??3a
?x?0?x
2.函数f?x??xx在点x?0处的导数f?0?? 0
1.设f(x0)?a,则lim
3.根据导数定义,函数f?x??xx?在点x?1处的导数f?1?? 不存
在 4.函数f?x??sinx在点x?0处的导数f?0??不存在 5.设函数
f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)?(x?n)(其中n为正整数),则f(0)?
1
↑ ?kk?12
7.设f?x??x2,则f?f?x??? 2x
f(x0)?f(x0?2h)
?3,则dy|x?x0??9dx 8.设y?f(x),且lim
h?06h
9.y?x2?e?x,则y(0)? 3
6.曲线y??1?x?e在点x?0处的切线方程为y? 2x?1 n!
x
n
d2y?1
?10.设x?a(t?sint),y?a(1?cost),则 dx2a(1?cost)2
11arcsinx?)dx 11.设0?x?1,则d(xarcsinx)? (2x2?x
?x?1?t2
12.求曲线?在t?2处的切线方程y?8?3(x?5) 3
?y?t
1
13.设y?2x?1,则其反函数x?x(y)的导数x?(y)?
2
dy12
arctan4 14.设y?x?1)?arctan2x,则导数在点x?4处的值为 ?
dx417
1
15.设需求函数q?a?bp,则边际收益r?q???a?2q?
b
5
16.某商品的需求量q与价格p的关系为q?p,则需求量q对价格
p的弹性是17.设某商品的需求函数为q?1000?2p,其中p为价格,q为需求量,则该商品的收
er1000?2q
?益弹性
1000?qeq
18.某商品的需求函数为q?1000?2p,其中p为价格,q为需求量,则销售该商品的
a?2bp
边际收益为r?q?? 500?q
a?bp
er
?19.某商品的需求量q与价格p之间的关系为q?a?bp,则该商品的收益弹性ep
二、单项选择题
f(x0?h)?f(x0)
?1,则f(x0)为④ 1.设f(x)是可导函数,且lim
h?02h
①1 ②2③-1④-2 2.设f(x)在x?1处可导,且f(1)?2,则lim
f(1?x)?f(1?x)
?③
x?0x
①1 ②2 ③4 ④3
3.函数f?x??x在x?0处满足下列哪个结论④
3
①极限不存在②极限存在,不连续③连续,不可导④可导
4.函数f?x?在区间?a,b?内连续是f?x?在?a,b?内可导的②①充分但非必要条件②必要但非充分条件③充分必要条件④既非充分又非必要条件
5.设f(x)为奇函数,则其导数f?(x)的奇偶性为②①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定
6.设函数f(x)可导,记g(x)?f(x)?f(?x),则导数g?x?为①①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定
1
①与?x等价的无穷小②与?x同阶的无穷小,但不等价③与?x低阶的无穷小④与?x高阶的无穷小
?x
x?0?
8.函数f(x)??1?e1,在x?0处② x
?x?0?0
①不连续②连续但不可导③可导,且f(0)?0 ④可导,且f(0)?1 9.设f(x)?xlnx在x0处可导,且f?(x0)?2,则f(x0)? ②
7.设函数y?f(x)有f(x0)?
①0 ②e ③1④e 10.设e①e
2x
2x
2
为f(x)的导函数,则f??(x)?②
②2e2x③4e2x ④0
11.设f?(0)?2,则当x?0时,f(x)?f(0)是x的②①低阶无穷小量
②同阶无穷小量③高阶无穷小量④等价无穷小量
三、求下列导数或微分
dy
1.设y?x?x?x,求(
dx
2.设y?
?1?2x??1??
2x?x?x?2x?x
1??) ??
xsin
dy11111,求() sin?cos
dxxx2xx2x
3.y?ex?sinx?cosx?,求
4.y?x?sinlnx?coslnx?,求dy(2coslnxdx) 5.y??x2,求dy(6.设y?3?x?x
x
3
sin3x
yx?0(=2)
xdxx?x
2
)
sin3x?
?) x?
112
7.设y?x?arctan?ln?x,求y (arctan)
xx
?11?x?1?x?1
8.设y?(x?1),求dy((x?1?x?1)? ????dx)
x?1?x?1?2x?12x?1?
9.设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100),求f?(0)(=100!)
,求y? (y??3xln3?3x2?xsin3x?3cos3xlnx?
?
?
xsinxsinx?xcosx?x2cosx
10.设y?,求dy (dx) 2
1?x(1?x)dyxexexx2?ex
11.y?,求()
x2dxx?exx?e
?
?
x?13x21
12.设y?arctan((|x|?1),求y?() x?2)?ln?
x?11?(x3?2)2x2?1
6x2??6
13.设y?x6(x2?1)3(x?2)2,求y?(x6(x2?1)3(x?2)??2??)
xx?2x?1??
3
14.设y?
(x?1)2x?2
(x?2)2
(x?1)2x?2?212?
,求y? (???x?14(x?2)3(x?2)?) 2??(x?2)
1
x
1?lnx
) 2
x2xsinx?2sinx?22sinx
16.设y?(1?x),求dy ((1?x)cosxln(1?x)?dx) 2??1?x??
2x?y(x2?y2)exy22xy
17.由ln(x?y)?e?1确定y是x的函数y(x),求y?(x)y??? 22xy 2y?x(x?y)e
15.设y?x(x?0),求y? (x?
1
x
yex?ey
18.已知ye?xe,求y(y)
xe?ex
y?y?xlny?xy
19.已知y?x,求y()
xx?ylnx2
20.已知y?cot(x?y),求y (sec(x?y))
1
21.已知y?ln?y?x??0,求y ()
y?x?1
x
y
22.由ex
2
?y
2
?sin(xy)?5确定y是x的函数y(x),求y(x)y??
2xex2ye
2
?y2
?ycos(xy)?xcos(xy)
x2?y2
23.设函数y?y(x)由方程ln(y?x2)?x3y?sinx确定,求
dy
(=1) dxx?0
dy1?y2
24.设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求(y??) 2
dxy
ay?x2
25.求由方程x?y?3axy?0(a?0)确定的隐函数y?y(x)的微分
dy2dx
y?ax
y
26.已知y(x)是由方程siny?xe?0所确家的隐函数,求y?,以及
该方程所表示的曲线
3
3
ey
在点(0,0)处切线的斜率。(?,?1)
cosy?xey
f?
27.设y?y(x)由方程y?f[x?g(y)]所确定,其中f和g均可导,求y?()
1?f??g?
d2y
28.函数y?y(x)由方程e?e?xy?0确定,求
dx2
x
y
x
y
x?0
[解] 对方程两边关于x求导,得e?ey??y?xy??0,两边关于x再求导,得
ex?eyy?2?eyy???y??y??xy???0
d2y
又当x?0时,y?0,于是y?(0)?1,故
dx2
??2
x?0
?x?e2tcos2tdysin2t?sint?cost29.设?,求() 22t2
dxy?esintcost?sint?cost?
30.设y?y(x)由x?(1?s)
2
1
2和
?s2dy
) y?(1?s)所确定,试求(?
2dx?s
1
22
?x?ecos2tdy31.设?,求(=-1) 2
dxy?esint?
?x?etcost2dyet(2sint?cost)32.设?,求() 222t
dxy?esintcost?2tsint??x?e2tdy3
t?033.若参数方程为?,求在时的值。() 2
dx2?y?t?3t?2
?x?2sin3td2yet(cos3t?3sin3t)34.设?,求() t32
36cos3tdx?y?e?ln2
?x?e?td2y35.设?,求((3?2t)e3t) t2
dx?y?te?x?e2t1?4t3?5td2y
?e?e) 36.设?,求(?t2
24dx?y?t?e
?x?t?sint?2d2y
37.设曲线方程为?,求此曲线在点x?2处的切线方程,及 2
dx?y?t?cost
[解] 当x?2时,t?0,y?1,
dy1?sintdy1
?,?, dx1?costdxt?02
1d2yd?dy?1sint?cost?1
??? 切线方程:y?1?(x?2); ??
2dx2dt?dx?dx(1?cost)3
dt
38.设y?(1?x)(2?3x)2(4?5x)3,求y(5)(0) (=63900)四、应用题
1.设生产某商品的固定成本为20000元,每生产一个单位产品,成本增加100元,总收益
12
x(假设产销平衡),试求边际成本、边际收益及边际利润。 2(c?(x)?100,r?(x)?400?x,l?(x)?300?x)
4
2.一人以2m/秒的速度通过一座高20m的桥,此人的正下方有一小船以m/秒的速度与桥
3
函数为r(x)?400x?
垂直的方向前进,求第5秒末人与船相离的速率。 [解] 设在时刻t 人与船的距离为s,则
1?4?
s?202?(2t)2??t??3600?52t2,
3?3?
2
ds52tds26
(m/s) ??2dt33600?5tdtt?521
26
答:第5秒末人与船相离的速率为(m/s)
21
五、分析题
1.设曲线f(x)在[0,1]上可导,且y?f(sin2x)?f(cos2x),求(y??[f?(sin2x)?f?(cos2x)]sin2x)
2.设曲线方程为x3?y3?(x?1)cos(?y)?9?0,试求此曲线在横坐
标为x??1的点
处的切线方程和法线方程。(y?2??(x?1),y?2?3(x?1)) 3.设
f(x)?3|a?x|,求f?(x)
dy dx
13
??3a?xln3x?a
(f?(x)??x?a,且f(x)在点x?a处不可导)
?3ln3x?a
?sinxx?0
4.讨论函数f(x)??在x?0处的可导性。
x?1x?0?
(f(x)在x?0处不连续,不可导)
?k?ln(1?x)x?0
5.设f(x)??,当k为何值时,点x?0处可导;此时求出f?(x)。sinx
x?0?e
1?
x?0?
(当k?1时,f(x)在点x?0处可导;此时f?(x)??1?x)
sinx??ecosxx?0
f(x)
6.若y?f(x)是奇函数且在点x?0处可导,则点x?0是函数f(x)?什么类型的
x
间断点?说明理由。 [解] 由f(x)是奇函数,且在点x?0处可导,知
f(x)在点x?0处连续,f(0)??f(0),
则f(0)?0,于是limf(x)?lim
x?0
x?0
f(x)?f(0)
?f?(0)存在,
x?0
故点x?0是函数f(x)第一类间断点(可去)。
?2ex?ax?07.试确定常数a,b的值,使得函数f(x)??2处处可导。 ?x?bx?1x?0f(x)?limf(x)?f(0),即 [解] 为使f(x)在点x?0处连续,必须lim??
x?0
x?0
x?0?
limf(x)?2?a,limf(x)?f(0)?1,所以a??1, ?
x?0
?(0)?f??(0),即为使f(x)在点x?0处可导,必须f?
f(x)?f(0)2(ex?1)
f??(0)?lim?lim?2, ?
x?0?x?0x?0x
f(x)?f(0)x2?bx
f??(0)?lim?lim?b,所以b?2
x?0?x?0?x?0x
2
?x??t3dy?2?0 8.验证?(?1?t?1),满足方程y2
dx?y??t
【篇三:微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题
详解】
/p> 1.设s=
12dsgt,求2dt
t?2
.
1
2
1
g解:
dst?
g?4dt?lims(t)?s(2)
2t?2
?limt?2t?t?2t?2
?lim
1
t?2
2
g(t?2)?2g 2.设f(x)=
1
x
,求f?(x0) (x0≠0).解:f?(x)?(1x)??(x?1
)???1x
2
f?(x0)??
1
x2(x0?0) 0
3.(1)求曲线y?x2上点(2,4)处的切线方程和法线方程;(2)求过点(3,8)且与曲线y?x2相切的直线方程;(3)求y?ex上点(2,e2
)处的切线方程和法线方程;(4)求过点(2,0)且与y?ex相切的直线方程。
解:略。
4.下列各题中均假定f′(x0)存在,按照导数定义观察下列极限,指出a表示什么:
(1) f(x0??x)?f(x0)
?lim
x?0
?x
=a;
(2) f(x0)=0, xlim
f(x)
?x0
x?x
=a; 0(3) lim
f(x0?h)?f(x0?h)
h?0h
=a.
解:(1)?f(x0??x)?f(x0)f[x0?(??lim
x?0?x???lim?x)]?f(x0)
?x?0??x
??f?(x0) ?a??f?(x0) (2)?lim
f(x)
x??limf(x)?f(x0)x?x0
0?xx?x??f?(x0x?x0)
1
?a??f?(x0)
f(x0?h)?f(x0?h)
h?0h
[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)]
?lim
h?0h
f(x0?h)?f(x0)f[x0?(?h)]?f(x0)
?lim?lim
h?0?h?0h?h
(3)?lim
?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?a?2f?(x0) 5.求下列函数的导数: (1) y (2) y
;(3) y
1
2
.
解:
(1)?y??x
12
1?1 ?y??(x)??x2?2 (2)?y?x
?2
3
23
5
?1?2?22 ?y??(x)???x3??x3?
33?2
3
?52
16
(3)?y?x?x?x
16
2
?x
1?5?y??(x)??x6?
66.讨论函数y
x=0点处的连续性和可导性.
解:??0?f(0)
x?f(x)?f(0)0 lim?lim???
x?0x?0x?0x?0x ?
函数y在x?0点处连续但不可导。
7.试由倒数定义,证明:若f(x)为可导的奇(偶)函数,则f′(x)是偶(奇)函数。证:?f(x)为偶函数?f(?x)?f(x)
2
f(x)?f(0)f(?x)?f(0)
?f?(0)?limx?0x?0?limx?0x?0
??lim
f(?x)?f(0)
x?0?x?0
??f?(0),即2f?(0)?0故f?(0)?0
8.求下列函数在x0处的左、右导数,从而证明函数在x0处不可导:
(1) y=?
?sinx,x?0,?x3
,x?0,x0?0; (2) y
=x?1,
?x?x2,x?1,
0?1.解:(1)?ff(x)?f(0)3
??(0)?limx?0?x?0?limx?0x?0?x
?lim2
x?0?
x?0 f??(0)?limf(x)?f(0)sinx?x?0
?
x?0?lim0
x?0?x
?1?f??(0)?f??(0)?函数在x?0处不可导。
(2) ?ff(x)?f(1)2
??(1)?limx?1?x?1?limx?1
x?1?x?1
?lim(x?1?
x?1)?2
f??(1)?limf(x)?f(1)x?1?lim11
x?1
?
x?1?x?1?x?1??
2 ?f??(1)?f??(1)
?函数在x?1处不可导。
9.设函数
f(x)= ??x2,x?1,x?1.
?ax?b,为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导,a,b应取什么值?解:为使f(x)在x?1处连续,必须f(1?0)?f(1?0)?f(1),
f(1?0)?limx?1
?f(x)?lim(x?1
?
ax?b)?a?b f(1?0)?limf(x)?limx2
?x?1
?
?1,f(1)?1 ?a?b?1?b?1?a (1) 为了使f(x)在x?1处可导,必须f??(1)?f??(1) ff(x)?f(1)??(1)?limx?1
?
x?1?limax?b?1x?1?x?1?limax?a
x?1?
x?1
?a 3
2
f(x)?f(1)x?1
?lim?lim(x?1)?2 f??(1)?lim
x?1?x?1?x?1x?1?x?1
?a?2,代入(1)式得b??1
?当a?2,b??1时f(x)在x?1处连续且可导。
10.证明:双曲线xy=a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2a.
证:设p(x0,y0)是双曲线xy?a2上任一点,则x0y0?a2,该双曲线在p(x0,y0)
处切线的斜率 k?y?
?
2
x?x0
xyya2
??2??020??0该双曲线在p(x0,y0)
x0x0x0
y0
(x?x0) x0
处切线的方程为:y?y0??
令x?0得该切线在y轴上的截距为2y0,
令y?0得该切线在x轴上的截距为2x0,于是,它与两坐标轴构成的三角形
的面积s?
1
2y02x0?2x0y0?2a2?2a2。 2
gt(m),求: 2
11.垂直向上抛一物体,其上升高度与时间t的关系式为h(t)=10t -
(1) 物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度; (2) 速度函数v(t);
(3) 物体何时到达最高点.
11
(10?1.2??9.8?1.22)?(10?1??9.8?12)
h(1.2)?h(1)解:(1)v? ?1.2?10.2
??0.78(m/s) (2)v(t)?h?(t)?10?gt
(3)当v(t)?0时,物体到达最高点。
由v(t)?0即10?gt?0得t?
1050
?(s) g49
即上抛
50
时物体到达最高点。 49
?
为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速t
4
的,应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?
解:设从时刻t0到t0??t间转过的角度为??,则
????(t0??t)??(t0)
物体在时刻t0的角速度为?(t)?lim
d?d。
?t?0dt?
?dt
t?t0
13?
.已知f(x)在x=x0点可导,证明:
lim
f(x0??h)?f(x0??h)
h?0
h
证:当??0,??0时,
limf(x0??h)?f(x0??h)
h?0h
?lim[f(x0??h)?f(x0)]?[f(x0??h)?f(x0)]
?lim
?[f(x0??h)?f(x0)]?[f(x0??h)?f(x0)]
h?0?h?limh?0??h
??f?(x0)??f?(x0)?(???)f?(x0)
习题3-2
1.求下列函数的导数: (1) s=3lnt+sin
7
; (2) y
x; (3) y=(1-x2
(4) y=
;
(6) y=secxx-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;
(8) y=1
1?x?x2
.
解:(1)s??3
t
(2)y??x)???lnxx)?
?
?
?
?(3)y??(1?x2
)?sinx?(1?sinx)?(1?x2
)(sinx)?(1?sinx)
?(1?x2)?sinx?(1?sinx)?
5