期末总复习题
一、填空题
1、已知向量2a i j k =+-,2b i j k =-+,则a b ?= -1 。
2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。
3、级数1113n n n
∞
=??
+ ???∑的敛散性为 发散 。
4、设L 是上半圆周2
2
2
a y x =+(0≥y ),则曲线积分221
L ds x y
+?= a π 5.交换二重积分的积分次序:??
--01
2
1),(y
dx y x f dy =
dy y x dx ),(f 0
x
-12
1
?
?
6.级数∑
∞
=+1)
1(1
n n n 的和为 1 。
二、选择题
1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 ( B )
A 、重合
B 、平行但不重合
C 、一般斜交
D 、垂直
2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 ( C )
A 、2221x z +=
B 、2221y z +=
C 、2221x y +=
D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2
2
>≤+y y x D ,则32222
ln(1)
1
D
x x y dxdy x y ++=++??
( A ) A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π
4、设)0(4:22>≤+y y x D ,则??=D
dxdy ( A )
A 、π16
B 、π4
C 、π8
D 、π2
5、函数22504z x y =--在点(1,-2)处取得最大方向导数的方向是 ( A ) A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6
、
微
分
方
程
222()()0
y y y '''+-=的阶数为
( B )
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6
7.下列表达式中,微分方程430y y y ''-+=的通解为
( D )
A 、3x x y e e C =++
B 、3x x y e Ce =+
C 、3x x y Ce e =+
D 、312x x y C e C e =+ 8
.
lim 0
n n u →∞
=为无穷级数
1
n
n u ∞
=∑收敛的
( B )
A 、充要条件
B 、 必要条件
C 、充分条件
D 、什么也不是
三、已知1=a
,3=b
,b a
⊥,求b a
+与b a
-的夹角.P7
四、一平面垂直于平面
0154=-+-z y x 且过原点和点
()3,7,2-,求该平面方程.(参考课
本P7例题)
五、设,,,22xy v y x u ue z v =-==求
O
221202
1
42b -a b a ))((cos 231))((2)301()(b - a 2
)301(a b a 0
ab b a =∴=
=?+-+=∴
-=-=-+=+-=-==++=+=+=∴⊥θθ )( 解:b a b a b a b a b a b 0
z y 13x 4705B 4-A 54-1n 0C 3B A 2-0D 0D Cz By Ax =++=+∴⊥=++==+++故有: ,, 又, 依题可得解:设平面方程为C )2()2()2()2()()()22()()()(z du z dz 23322332222222xy y x e z y y x x e z dy xy y x e dx y y x x e xdy ydx e y x ydy xdx e xy d e y x y x d e dv ue du e dv
v u xy xy xy xy xy xy xy xy v v --=?-+=?--+-+=+-+-=-+-=+=??+??= ,进而可得
变性,得
解:由全微分方程的不
y
z
x z dz ????,,
. P19
六、求由z xyz sin =所确定的函数()y x z z ,=的偏导数
y
z x z ????,
xy
z xz y z y
z xy xz y z z y xy z yz x z x z xy yz x z z x z xyz z xyz -=
??=??--??-=
??=??--??=-=cos 0cos cos 0cos 0
sin sin 解得:求偏导数得:两边对解得:求偏导数得:两边对得解:由
七、求旋转抛物面2222y x z +=在点??
? ?
?-2,2
1,10M 处的切平面和法线方程.
{}{}
2
4
12411
2221
4
1
3240
)2()2
1(2)1(41,2,4,1,4,44),(,4),(,22),(0220
-=--=+--=-
=
-+=++-=---++---=-=='='+=z y x z y x z y x z y x M n y x n y
y x f x y x f y x y x f M y x 即:法线方程式为:即:处的切面方程式为:
故曲面在点所以:则:
解:令
八、求函数())2sin(,y x xy y x f ++=在点()0,0P 处沿从点()0,0P 到点()2,1Q 的方向的
方向导数。 {}55
225115
2)0,0(51)0,0(2)0,0(,1)0,0()2cos(2),(),2cos(),(5251PQ 21PQ )
0,0(0=?+?
=?
'
+?'=??='
='
∴++='
++='?
?
?
???== 故又,上单位向量易知的方向,
,即向量解:这里的方向x x y x y x f f f f f y x x y x f y x y y x f ι
ιι
九、计算二重积分??D
xydxdy ,其中D 是由x 轴,y 轴与单位圆122=+y x 在第一象
限所围的区域.
169
)1(212
1,1
D Y D Y X D D D 213121=
-==≤≤≤≤?????dy y y dx y x dy dsdy y x y y x y
y x y y D
故可用不等式组表示:此时积分,积分,后对型区域,则先对看成把型区域,型区域也是既是的草图可判断的草图,如图所示,从解:画出微积分区域
十、计算L
yds
?
,其中L 是顶点为()0,1A ,()1,0B 和()0,0O 的三角形边界. (参考
P79例2)
()[]1
2)()()()(,2
110)0()(,2
101)0()(2
2)1(11)(,
10,0,100,10,1,,L
10
102
10
102
1
2
1
0+=+++++=+==++=+==++=+==-+-+=+≤≤=≤≤=≤≤-=???????????
?
?OB
OA
AB
OB OA AB
ds y x ds y x ds y x ds y x ydy dy y ds y x xdx dx x ds y x dx dx x x ds y x x y y x x x y OA OB AB 故得: 则: , 的方程分别为:解:
十一、求微分方程0sin cos cos sin =-ydy x ydx x 满足初始条件4
0π
=
=x y
的特解.P167
x C y C y x dy y
y
dx x x dy y
y dx x x cos cos ,
ln cos ln cos ln ,cos sin cos sin ,cos sin cos sin =+-=-==??简化得:得:两边积分::
解:将方程分离变量得 )cos 2
2
arccos(,cos 22cos ,22
40x y x y C y x =====或故所求方程的特解为:
得:带入,将条件π