第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数
（i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b 的值为()
A.一1
B.一
2
C.一3
D.1
【答案】A
【解析】
()1bi i b i i i
+=
=-?，因为复数
（i 为虚数单位)的实部和虚部相等，所以b=-1.
2．1
,|0},2
x U A x A x +=≤-R U 已知全集集合={则集合等于e() A.{x|x ＜-1或x ＞2} B.{x|x ≤-1或x ＞2}C.{x|x ＜-1或x ≥2}D.{x|x ≤-1或x ≥2}
【答案】C 【解析】
10122x x x +≤≤<-得-，所以{}1
|0}|122
x A x x x x +≤=-≤<-集合={，所以{}|12A x x x =<-≥U 或e。
3．在四边形ABCD 中，BC AB ?=0，且DC AB =，则四边形ABCD 是（）
A ．等腰梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
【答案】C
【解析】因为DC AB =，所以//=AB DC AB DC 且，所以四边形ABCD 是平行四边形，因为BC AB ?=0，所以∠ABC=
2
π
，所以四边形ABCD 是矩形 4．函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T=（）
A ．2π
B ．π
C ．
2
π
D ．
3
π
n
【答案】B
【解析】2
1-cos 2sin sin cos =
sin cos 2
x
y x x x x x =++ 111cos 2sin 2222x x =-+12224x π??=- ?
?
?，所以22T ππ==，所以函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T=π。 5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A ．
21B ．3
2 C ．
43D ．5
4
【答案】C
【解析】第一次循环：11
12,11,2
i i m m n n m i =+==+==+
=?，满足条件4i <，继续循环；
第二次循环：12
13,12,3
i i m m n n m i =+==+==+
=?，满足条件4i <，继续循环；
第三次循环：13
14,13,4
i i m m n n m i =+==+==+=?，不满足条件4i <，结束循环，此时输出n 的值为
34
。 6．设a ，b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题： ①若,,//;a b a b αα⊥⊥则 ②若//,,;a a ααββ⊥⊥则 ③若,,//;a a βαβα⊥⊥则 ④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的个数是 （）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】①若,,//;a b a b αα⊥⊥则错误，有可能b α?；②若//,,;a a ααββ⊥⊥则错误，a α与可能平行，
可能相交，a 可能在
α内；③若
,,//;a a βαβα⊥⊥则错误，有可能a α?；④若
,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则正确。因此正确的有一个，选B 。
7.函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（）
A.]2,(-∞
B.)2,(-∞
C.),2(+∞
D.),0(+∞ 【答案】B
【解析】易知函数ax x x f +=ln )(的定义域
{}
|0x x >，又'
1
(
)f x a x
=
+，若函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则()'
1
()20,f x a x =
+=+∞在内有解，即()120,a x
=-+∞在内有解
，所以202a a -><即。因此选B 。
8.已知1010,310x x y x y x y -≤??
-+≥-??+-≥?
则2的取值范围是（）
A.]2,3[-
B.]2,3[--
C.]3,4[--
D.]2,4[- 【答案】D
【解析】画出线性约束条件
101010x x y x y -≤??
-+≥??+-≥?
的可行域，由可行域知：目标函数23z x y =-过点
()1,0取最大
值，且最大值为2；过点
()1,2时取最小值，
且最小值为264z =-=-，所以23x y -的取值范围是]2,4[-。
9.设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．
的是 （）
A ．d ＜0
B ．a 7＝0
C ．S 9＞S 5
D ．S 6与S 7均为S n 的最大值
【答案】C
【解析】因为前n 项和有最大值，所以d ＜0，选项A 正确；因为S 6＝S 7，所以a 7＝S 7--S 6=0，所以选项B 正确；同时选项D 也正确。因此选C 。因为d ＜0，a 7＝0，所以90a <，所以S 9-S 5=67897999530,a a a a a a a S +++=+=<<所以S .
【答案】B
【解析】从点A 向抛物线的准线引垂线，交抛物线与点P ，此时的点P 满足PA PF +最小，所以点P
的
纵坐标应为2，代入抛物线方程的横坐标也为2，因此选C 。
11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，有下列四个结论：
(1)BD AC ⊥(2)ACD ?是等边三角形
(3)AB 与平面BCD 的夹角成60°(4)AB 与CD 所成的角为60° 其中正确的命题有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】连接AC 与BD 交于O 点，对折后如图所示，令OC=1，则O （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，
0），C （0，0，1），D （0
，-1，0）则AC u u u r =（-1，0，1），BD u u u r =（0，-2，0），∵0AC BD ?=u u u r u u u r ，∴AC ⊥
BD ，故（1）正确；∵2AC AD CD ===u u u r u u u r u u u r
，∴△ACD 为正三角形，故（2）正确；∵OA u u u r 为平面BCD
的一个法向量，根据正方形的性质，易得AB 与平面BCD 所成角为45°，故（3）错误；AB u u u r
=（-1，1，
0），CD u u u r =（0，-1，-1），则1cos 2
AB CD AB CD AB CD ??==?u u u r u u u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴AB 与CD 所成角为60°，故（4）正确；
故正确的命题为：（1）（2）（4）
12．已知双曲线2
2
22
1x y a b -=，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点.若
OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（） 12+13+15+17
+ 【答案】C
【解析】把x=c 代入双曲线方程22221x y a b -=，得
2b y a =±，要使OM ON ⊥，需2
b
c
a =，即22-=0c a ac -，两边同除以2a ，得：21=0e e --，解得15+15
-，因此选C 。
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()sin()f x x ωφ=+)2
||,0,,(π
φω<>∈R x 的部分图象如图所
示，则)(x f 的解析式是 【答案】sin(2)3
y x π
=+
【解析】由图像知函数的周期为52,==266T ππππωπ
??=
--= ???所以，所以()sin(2)f x x φ=+，把点-06π??
?
??
，代入，得sin(-)=0-=,=+333k k πππφφπφπ++，所以即，因为||2π?<，所以=3πφ，所以()sin(2)3
f x x π
=+。
14．设21,F F 分别是椭圆)10(1:2
22
<<=+b b y x E 的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于B A ,两点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则||AB 的长为．
【答案】
43
【解析】因为|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，所以222||||||AB AF BF =+，又由椭圆的定义知：
212122||||||||4,||||||4AF AF BF BF AF BF AB +++=++=即，所以4
3=43
AB AB =
，即。 15．已知球O 的表面积为，点A ，B ，C 为球面上三点，若，且AB=2,则球心O 到平面ABC 的
距离等于__________________． 【答案】2
【解析】因为球O 的表面积为
，，所以
2420,5r r ππ==即。
取AB 的中点D ，连接OD ，因为
，
所以OD ⊥面ABC ，即OD 为球心O 到平面ABC 的距离，易知
22512
OD OA AD =-=-=。
16．在ABC ?中，内角C B A ，，的对边分别是a b c ，，，若2
2
3a b bc -=，sin 23C B =，则A = 【答案】
6
π
【解析】因为sin 23C B =，所以由正弦定理得：23c b =，又因为2
2
3a b bc -=26b =，所以由
余弦定理得：
2223cos 2223b c a A bc b b
+-===?，所以A =6π
。
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；
（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服
务次数在区间[20,25)内的概率. 18.（本小题满分12分）已知函数132)(2
3
+-=ax x x f ．
（1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的极值； （2）求函数)(x f 的单调区间．
19.（本题满分12分）
如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形. （Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.
20.（本小题满分12分）
{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=．
分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n
[20,25) m
p
[25,30)
2 0.05 合计 M
1
频率/组距
15
25
20
10
30 次数
a
（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
}n
n
a b 的前n 项和n S 。 21．(本小题满分12分）
已知椭圆1:2222=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的焦距为4，且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率，斜率为k 的直线
l 经过点M （0，1），与椭圆C 交于不同两点A 、B ． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围．
22．（本小题满分10分）
如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为?BD
中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE ． （1）求证：GD CE EF AG ?=?；
（2）求证：.2
2
CE
EF AG GF =
· ·
A B
C
D
G
E F
O M
乌鲁木齐市第一中学2012--2013学年第一学期
2013届高三年级第三次月考
数学(文)试卷参考答案 一、选择题
二、填空题
18.解：（1）∵f （x ）=2x 3
－3ax 2
+1，∴()f x '=6x 2
－6ax ．依题意得(1)f '=6－6a =0，解得a =1．
所以f （x ）=2x 3－3x 2+1，()f x '=6x （x －1）．令()f x '=0，解得x =0或x =1．列表如下：
X （-∞，0）
0 （0，1）
1 （1，+∞）
f ′（x ） + 0 － 0 ＋ f （x ）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x =0时，函数f （x ）取得极大值f （0）=1； 当x =1时，函数f （x ）取得极小值f （1）=0．
（2）∵()f x '=6x 2－6ax =6x （x －a ），
∴①当a =0时，()f x '=6x 2
≥0，函数f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增；
②当a >0时，()f x '=6x （x －a ），()f x '、f （x ）随x 的变化情况如下表：
x （-∞，0）
0 （0，a ）
a
（a ，+∞）
f ′（x ） + 0 － 0 ＋ f （x ）
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知，函数f （x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增；
③同理可得，当a <0时，函数f （x ）在（－∞，a ）上单调递增，在（a ，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a =0时，函数f （x ）的单调递增区间是（－∞，+∞）；
当a >0时，函数f （x ）的单调递增区间是（－∞，0）和（a ，+∞），单调递减区间是（0，a ）； 当a <0时，函数f （x ）的单调递增区间是（－∞，a ）和（0，+∞），单调递减区间是（a ，0）．
19.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，
∴MD//AP ，又∴MD ?平面ABC ∴DM//平面APC ……………3分
（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点。 ∴MD ⊥PB
又由（Ⅰ）∴知MD//AP ，∴AP ⊥PB 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC
∴BC ⊥平面APC ，∴平面ABC ⊥平面PAC ……………8分 （Ⅲ）∵AB=20 ∴MB=10∴PB=10
又BC=4，.2128416100==
-=PC
∴.21221244
1
4
121=??=?==??BC PC S S PBC BDC 又MD .3510202
12122=-==
AP ∴V D-BCM =V M-BCD =710352123
1
31=??=??DM S BDC ………………12分
22111
12122122
22n n n ---??=+?++++- ???L
111
1212221212
n n n ---
-=+?--12362n n -+=-．
21．解：（1）∵焦距为4，∴c =2………………………………………………1分 又∵1222
=+y x 的离心率为
2
2………………………………2分 ∴2
22===a a c e ，∴a =22，b =2…………………………4分
∴标准方程为14
822=+y x ………………………………………6分 （2）设直线l 方程：y =kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由???
??=++=1481
22y x
kx y 得064)21(22=-++kx x k ……………………7分
∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2216k +-
由（1）知右焦点F 坐标为（2，0），
∵右焦点F 在圆内部，∴BF AF ?＜0………………………………8分 ∴（x 1-2）（x 2-2）+y 1y 2＜0
即x 1x 2-2（x 1+x 2）+4+k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＜0……………………9分 ∴2
22221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-?-++-?
+＜0……………11分 ∴k ＜8
1………………………………………………………………12分 经检验得k ＜8
1时，直线l 与椭圆相交，
∴直线l 的斜率k 的范围为（-∞，81） (13)
22．证明：（1）连结AB ，AC ， ∵AD 为M e 的直径，∴090ABD ∠=， ∴AC 为O e 的直径,∴CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠, ∴CEF ?∽AGD ?，∴
CE AG
EF GD
=
，
GD CE EF AG ?=?∴………………5分
（2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,
∴D G F ?∽AGD ?,∴2DG AG GF =g ,
· ·
A B
C
D
G
E F O M
由（1）知2222EF GD CE AG =，∴2
2
GF EF AG CE
=． ………………10分