班级姓名
1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（）
A.12种
B.19种
C.32种
D.60种
2.若x∈｛1，2，3｝，ｙ∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有（）
A.2个
B.6个
C.9个
D.3个
3.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（）
A.34
B.43
C.A3
D.44
4
4. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（）
A.54
B.45
C.5×4×3×2
D.5×4
5.集合M={}3,2,1的子集共有（）
A.8
B.7
C.6
D.5
6.设集合A={}4,3,2,1，B={}7,6,5，则从A集到B集所有不同映射的个数是（）
A.81
B.64
C.12
D.以上都不正确
7.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法.
8.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有___种.
9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法.
10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果.
11. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项.
12．某校信息中心大楼共5层，一楼和二楼都有4条通道上楼，三楼有3条通道上楼，四楼有2条通道上楼，那么一人从一楼去五楼，共有种不同的走法. 13．某车间生产一个零件，该零件需经车、钳、铣三道工序。该车间有车工5人，钳工8人，铣工6人，加工这个零件有种不同的派工方式；技术改造后，生产这种零件只需冲压一道工序，且任何一人均可加工，这时不同的派工方式有种。
班级姓名
1.将5封信投入3个邮箱，不同的投法共有（）种.
A.53
B.35
C.3
D.
2.用1，2，3，4，四个数字组成没有重复数字的四位数，所有四位数的数字之和是（）
A. 10
B.24
C.240
D.60
3.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）
A.25
B.26
C.36
D.37
4.某城市的电话号码由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话门数是（）
A. 9×8×7×6×5×4×3
B.8×96
C.9×108
D.81×105
5.将3名大学生分配到4个不同的工厂去实习，每厂接受的名额不限，总的分配方案数是（）
A.3+4
B.3×4
C.34
D.43
6.已知集合A={a,b,c,d},B={x,y,z}，则从集合A到集合B的不同映射个数最多有（）
A.3+4
B.3×4
C.34
D.43
7．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，从中取出不是同一国文字的书2本，共有种不同的取法.
8．集合{1,2,3}
B=--，从,A B中各取一个元素作为点(,)
P x y的坐A=-，{1,2,3,4}
标，
（1）可以得到个不同的点.（2）这些点中，位于第一象限的有个. 9．有三个车队分别有5辆、6辆、7辆车，现欲从其中两个车队各抽调一辆车外出执行任务，共有种不同的抽调方案.
10．某巡洋舰上有一排四根信号旗杆，每根旗杆上可以挂红色、绿色、黄色三种信号旗中的一面（每根旗杆必须挂一面），则这种信号旗杆上共可发出种不同的信号.
11．四名学生争夺三项比赛的冠军，获得冠军的可能性有种.
12．用0，1，2，3，4，5可组成个无重复数字的三位偶数.
13. 4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
14. 现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？
班级 姓名
1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 （ ） A ．8种 B ．10种 C ．12种 D ．16种
2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号
有（ ）
A ．3种
B ．6种
C ．1种
D ．27种
3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为（ ）
A ．5079k k A --
B ．2979k A -
C ．3079k A -
D ．3050k A -
4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．120种
5.4·５·6·7·…·(n-1)·ｎ等于 （ ）
A.4-n n A
B.3-n n A
C.ｎ！－4！
D.!
4!n 6.21+n A 与3n A 的大小关系是 （ ）
A.321n n A A ?+
B.321n n A A ?+
C.321n n A A =+
D.大小关系不定
7．给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少中不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？
以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）。
8．若{|,||4}x x Z x ∈∈< ，{|,||5}y y y Z y ∈∈<，则以(,)x y 为坐标的点共有 个。
9．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？
10．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？
11．计算：（1）325454A A + （2）12344444A A A A +++
12．分别写出从,,,a b c d 这4个字母里每次取出两个字母的所有排列；
广水一中高二数学同步练习 10022 班级 姓名
1．若!3!
n x =，则x = （ ） ()A 3n A ()B 3n n A - ()C 3n A ()D 33n A -
2．与37107A A ?不等的是 （ ）
()A 910A ()B 8881A ()C 9910A ()D 1010A 3．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）
()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7
4.100×99×98×…×89等于 （ ）
A.10100A
B.11100A
C.12100A
D.13100A
5.已知2n A ＝132，则n 等于 （ ）
A.11
B.12
C.13
D.以上都不对
6.若x =!
3!n ,则x 用m n A 的形式表示为x = . 7.(1)=m n A 11--m n A ；（2）=m n A 1-m n A 8.计算：55
666657A A A A +- = . 9．计算：5699610239!A A A +=- ； 11
(1)!()!n m m A m n ---=?- ． 10．若11
(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是 ． 11．（1）已知101095m A =???，那么m = ；（2）已知9!362880=，那么7
9A = ；
（3）已知256n A =，那么n = ；（4）已知2247n n A A -=，那么n = ．
12．求证：（1）11m m m n n n A mA A -++=； （2）12311231231n n n n A A A A A n +++++=-+．
班级姓名
1．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法多少种？（）A．6 B．9 C．11 D．23
2．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A不能停在第三条轨道上，货车B不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有多少种（）A．78 B．72 C．120 D．96
3．由0，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（）
A．9 B．21 C．24 D．42
4．从9,5,0,1,2,3,7
--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0
ax by c
++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有多少条？（）
A．14 B．30 C．70 D．60
5.把3张电影票分给10人中的3人，分法种数为（）
A.2160
B.240
C.720
D.120
6.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数（）
A.A4
4B.4
4
A
2
1
C.A5
5
D. 5
5
A
2
1
7．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有有种不同的种植方法。
8．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有种。
9．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成个无重复数字的正整数.
（2）由数字1，2，3，4，5可以组成个无重复数字，并且比13000大的正整数？
10．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有种不同的排法？
11．某产品的加工需要经过5道工序，
（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有种排列加工顺序的方法.（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有种排列加顺序的方法.
12．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有种不同的排法？
班级 姓名
1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为 （ ）
A ．47A
B ．37A
C ．55A
D ．5353A A ?
2．五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有 （ ）
A ．12种
B ．20种
C ．24种
D ．48种
3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有 （ ）
A ．3334
A A ?
B ．3333A A ?
C ．3344A A ?
D ．33332A A ? 4．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ）
A ．720种
B ．480种
C ．24种
D ．20种
5．设*,x y N ∈，且4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点(,)M x y 共有 个 .
6．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种。
7．一部电影在相邻5个城市轮流放映，每个城市都有3个放映点，如果规定必须在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序
有 种（只列式，不计算）．
8．一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、
物理连排，不同的排课方法有 种.
9．某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同
的陈列方式有多少种？
10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？
11．在上题中，含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？
广水一中高二数学同步练习 10031 班级 姓名
1．7名同学进行乒乓球擂台赛，
决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为 （ ） A ．42 B ．21 C ．7 D ．6
2．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有 （ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对
3．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元
素，且{}A B a =，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）
A ．42
B ．21
C ．7
D ．3
4.已知C 2
x ＝28，则x 的值为 ( )
A.9
B.8
C.7
D.6
5.以下四个式子中正确的个数是 ( )
(1)C m
n
＝!m A m n ；（2）A m n ＝ｎ11--m n A ；（3）C m n ÷C 1+m n ＝m n m -+1；(4)C 11++m n =11++m n C m
n
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.方程组272136
y x y x A C ?=??=??的解是 （ ） A.x =17,y =2 B.x =-16,y =2 C.x =16,y =2 D.x =17,y =16
7．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法。
8．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法。
9．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形。
10．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线。 11．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛 场；（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有 种.
12．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作 个平面;（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作 个四
面体.
13．计算：（1）315C =
（2）346
8C C ÷=
14．写出从,,,,
a b c d e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合。
班级 姓名
1．方程382828x x C C -=的解集为 （ ） A ．{}4 B ．{}9 C ．φ D ．{}4,9
2．式子2171010m m C C +-+（m N *∈）的值的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.已知x ,y ∈N ，且x n C ＝y n C ，则x 、y 的关系是 （ ）
A.x =y
B.y =n -x
C.x =y 或x +y =n
D.x ≥y
4.若m n 2C +∶12C ++m n ∶22C ++m n ＝5
3∶1∶1，则m 、n 的值分别为 （ ） A.m =5,n =2 B.m =5,n =5 C.m =2,n =5 D.m =4,n =4
5．化简：9981m m m C C C +-+= . 6．若108n n C C =，则20n C 的值为 ；
7．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
8．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；
9．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；
10．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不
同方法的种数是 ．
11．从1,2,3,,20这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有
种不同选法。
12．正12边形的对角线的条数是 ．
13．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有 种不同的去法.
14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个。
15．已知221717x x C C +=，则8x C 的值为 .
16．解方程：221564466x x C C C C -+=-得 ．
17．求证：1222m m m m n n n
n C C C C --+=++（,,2m n N n m *∈≥≥）
18．求证：1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C ．
班级 姓名
1．有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为
顶点作三角形，这样的 （ ）
A ．70
B ．80
C ．82
D ．84
2．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同
的分配方案有 ( )
A ．4441284C C C 种
B ．44412843
C C C 种 C ．4431283
C C A 种
D ．444128433C C C A 种 3．5本不同的书，
全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为（ ） A ．480 B ．240 C ．120 D ．96
4. 从1，2，3，…，9九个自然数中任取三个数组成有序数组a ,b ,c ,且a ＜b ＜c ，则不同的数组有 ( )
A.84组
B.21组
C.28组
D.343组
5. 从正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为 ( )
A. 48C －4
B. 48C －6
C. 48C －8
D. 48C －12
6．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能。
7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2
题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法。
8．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可
以组成 个没有重复数字的五位数。
9．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有
个。
10．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛。
（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；
（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法。
11．在200件产品中，有2件次品。从中任取5件，
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种；
（2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种；
（3）“其中没有次品”的抽法有 种；
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种.
班级 姓名 1．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师
节目。如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） A ．42 B ．30 C ．20 D ．12
2．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）
A ．5557
105C A A B ．5557105A C A C ．55107C C D ．55710C A 3．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，
且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）
A ．4484C A
B ．441845
C A C C ．444845C A
D ．4440
4C A 4.若空间有10个点，则可以确定的平面总数最多有 ( )
A.90个
B.100个
C.120个
D.150个
5.平面内有12个点，其中有4个点在同一直线上，除此以外没有三点在一条直线上.以其中三个点为顶点作三角形，可以作出三角形的个数为 ( )
A.220个
B.216个
C.112个
D.104个
6.四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有
A.288
B.144
C.96
D.24 （ ）
7.从A 、B 、C 、D 、E 五名竞赛运动员中，任选四名排在1，2，3，4四条跑道上，其中运动员E 不能排在1，2跑道上，则不同的排法数为 （ ）
A.24
B.48
C.120
D.72
8．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同
的分法种数是 ．
9．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都
请，要么都不请，共有 种邀请方法.
10．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个.
11．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可
以构成 个平行四边形.
12．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同
两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体.
13．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩
(){85,87,88,90,93}f i ∈，且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种.
14．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐
自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有种不同的调换方法.
班级 姓名 1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有 网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过 的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开 沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 （ D ） A ．26 B ．24 C ．20
D ．19
2．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是 （ D ）
A ．64
B ．20
C ．18
D ．10
3．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士， 不同的分配方法共有 （ D ）
A ．90
B ．180
C ．270
D ．540
4.五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程，则不同的承包方案有（ ）
A.30
B.60
C.150
D.180
5.下列问题中，答案为66A ·66A 的是（ ）
A.6男6女排成一行，同性都不相邻的排法数
B.6男6女排成一行，女性都不相邻的排法种数
C.6男6女分六个兴趣不同的小组，每组一男一女的分法种数
D.6男6女排成前后两排的排法数
6.从｛0，1，2，3，4，５｝中取出3个不同的元素作为方程ax ＋by +c =0的系数，可表示出
的不同直线条数为（ ）
A. 36C －6
B. 36A －6
C. 36C
D. 36A
7．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共
有 种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共 有 种。
8．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：
（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；
（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ．
9．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，
共有 种不同的坐法。
10．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选
6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有 种选法。
3 5 6
4 7 1212 8 A B 6
班级 姓名
1. 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的放法有
（ ）种
A.24
B.48
C.120
D.144
2. 以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有 （ ）
A.6个
B.12个
C.18个
D.30个
3. 假设在200件产品中有3 件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）种
A.233197C C ?
B.233231973197C C C C ?+?
C.55200197C C -
D.5142003197C C C -?
4.有六支足球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A 、B 是六支球队中的两支，若A 、B 不都得奖，则不同的发奖方式共有 （ ）种
A.144
B.216
C.336
D.360
5.把4本不同的书全部分给3个学生，每人至少一本，分法总数为 （ ）
A.213423C C A ??
B.343A
C. 2142C C ?
D.2343C A ?
6.7个人排成一排，甲和乙都不在两端，且都与丙紧挨着的排列总数为 （ ）
A.192
B.144
C.490
D.3600
7. 一排共有8个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入坐，每人左、右两旁都有空座位，且三人顺序是甲必须在另两人之间，则不同的坐法共有 （ ）种
A.8
B.24
C.40
D.120
8.一条街上有10 盏路灯，为节约用电，关闭其中的3盏，为了不影响照明，两端的灯不关，也不连续关闭相邻的两盏灯，关闭灯的方法数共有 种.
9. 在1,2,3.……100中，任取两个数，其和为偶数的取法有 种；其积为7的倍数的取法有 种.
10.A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，若A 不排在左端，有 种排法；若A 、B 、C 相邻，有 种排法；若A 、B 、C 互不相邻，有 种排法；若A 、B 、C 中某2个相邻，与另一个不相邻，有 种排法.
11.连续6次射击，把每次命中与否记录下来.
（1）可能出现多少种结果？
（2）恰好命中3次的结果有多少种？
（3）命中3次，恰好有2次是连续的结果有多少种？
第十章10011—10036同步练习答案
10011
1—6、BCBBAA
7、10；24 8、259、81 10、64 11、60 12、96 13、240；19 10012
1—6、BCCDDC
7、143. 8、24；8. 9、107. 10、81. 11、64. 12、52.
13、解：分三步完成：
第一步：首先不能放0有7种放法；
第二步：十位有6种放法；
第三步：个位可放4个数.
根据分步计数原理，可组成
N=7×6×4=168个不同三位数.
14、解：分五步完成：
第一步：先排第一天，有5种排法；
第二步：再排第二天，不能排第一天的人，有4种排法；
第三步：再排第三天，有4种排法；
第四步：再排第四天，有4种排法；
第五步：再排第五天，有4种排法.
根据分步计数原理，共有
N=5×4×4×4×4=1280种不同排法.
10021
1—6、CBCBBD
7、①③⑤8、63 9、60 10、24 11、⑴348；⑵64.
12、共有2
412
A=个：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc。
10022
1—5、BBACB
6、A3-n
n 7、n(n-m+1)8、
7
15
9、1；1. 10、{}
2,3,4,5,6
11、（1）6；（2）181440；（3）8；（4）5. 12、（略）
10023
1—6、BABCCD
7、24 8、166320 9、⑴325；⑵114。10、2881 11、⑴96；⑵36。
12、48。
10024
1—4CCDD 5、6 6、3600 ；3720 7、()5
5353A A 8、72；144. 9、53253222880A A A = 10、⑴30； ⑵150. 11、66种.
10031
1—6、BADBDA
7、30 8、15 9、（1）45（2）120 10、（1）5（2）
(3)2
n n - 11、⑴10； ⑵20.
12、⑴310120C =； ⑵410210C =. 13、⑴455； ⑵27
。 14、,,,a b c d ； ,,,a b c e ； ,,,a b d e ； ,,,a c d e ； ,,,b c d e 。
10032
1—4、DACC
5、0.
6、190.
7、10.
8、60
9、243
10、mn 11、90 12、54 13、63
14、提示：3310
3/120A A =，可以保证0在最低位。 15、28或者56
16、x=2 或者x= 12
。 17、（略） 18、（略）
10033
1—5、AABAD
6、()2
484900C = 7、23134224C C C = 8、5325547200A C C = 9、37332C -= 10、(1)225460C C = ；（2）2721C = （3）449791C C -= （4）44494
5120C C C --=. 11、（1）31981274196C = ； （2）41982124234110C = ； （3）5198
2410141734C = ； （4）55200
198125508306C C -=.
10034
1—7、ADCCBBD
8、455C =. 9、468898C C +=. 10、123455
5552230C C C C +++=-=. 11、()()22114m n mn m n C C --= 12、()()()2221118m n t mnt m n t C C C ---= 13、435515C C +=. 14、3
122440C ?=.
10035
1—6、DDDCCB
7、461296=；4
4
64360C A =.
8、（1）4
4
44576A A =；（2）4
3451440A A =； （3）3
4
34144A A =；
（4）47840A =. 9、3560A = . 10、3
33
2
2
31
33
3763553545675C C C C C C C C C +++=
10036
1—7 DBBBDBA
8、3
620.C = 9、2450; 1295. 10、78； 36； 12； 72.
11、（1）26=64； （2）3
620C =种； （3）3
2
3412C A ?=种.
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现 知识储备 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式： 注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式： 注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合
的数值，作为输出之用。 ? 首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为： 例如求5中选3的组合： 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下：
排列和组合基本公式的推导，定义 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有 n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial)。 例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。 答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。 当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。 我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子，由於 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了： view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe
gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法： view plaincopy --k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122，第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数
排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式
排列组合公式(全)
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教 育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2. 组合及计算公式 从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不 同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3. 其他排列与组合公式 从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）. k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）. 排列（Pnm（n为下标，m为上标）） Pnm=n×（n-1）（n- m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n 组合（Cnm（n为下标，m为上标）） Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
排列组合公式 1．分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 2．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 3．排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 4．排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5．组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 6．组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7．组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;
(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8．排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 9．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种； ②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位置）1 1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所 有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类， 又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
排列组合——排列公式的推理和组合 加法原理和乘法原理，是排列组合中的二条基本原理，在解决计数问题中经常运用。掌握这两条原理，并能正确区分他们，至关重要。 加法原理 若完成一件事情有3类方式，其中第一类方式有1种方法，第二类方式有3种方法，第三类有2种方法，这些方法都不相同，但任选一种方法都可以完成此事，则完成这件事情共有1+3+2=6种方法，这一原理称为加法原理。例如:从甲地到乙地有三类方式，一是汽车，二是火车，三是飞机。若一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有一班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法。共有2+4+1=7种。 乘法原理 若完成一件事情分r个步骤，其中第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法……第步骤共有mr种方法，各步骤连续或同时完成，这件事才算完成，则完成这件事共有m1*m2*……*mr种方法。例如:从甲地到丙地必须经过乙地。从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有3条路线，问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：要从甲地到达丙地，必须经过两个步骤：先从甲地到乙地，有4条路线；再从乙地到丙地，有3条路线。只有这两个步骤都完成了，才能完成这种事情，缺少哪一个步骤都不行。因此从甲地到丙地共有4*3=12种走法。 加法原理和乘法原理的区别
以上两个基本原理在排列组合问题中将会反复使用。这两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题，但是又有根本区别。加法原理针对的是“分类”问题，若完成一件事情有多类方式，每一类方式的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；而乘法原理针对的是“分步”问题，若完成一件事情必须依次经过多个步骤，每一个步骤的各种方法相互依存，只有各种步骤都完成才算做完成这种事情，则这时用乘法原理。 排列数公式推理过程 例：用1、2、3这3个数字可以组成多少个数字十位和个位不重复的两位数？解：要组成数字不重复的两位数，需要经过两个步骤：第一步确定十位上的数，数字1、2、3都可以放在十位上，共有3种方法；第二步确定个位上的数，因为要求个位数与十位数不能重复，所以个位上的数，只能从三个数字中去掉十位数后所剩的两个数字中任选一个，共有2种方法。只有十位和个位上的数都确定了，才能组成数字不重复的两位数，这两个步骤缺少哪一个都不行。因此，根据乘法原理，3*2=6. 上例中，我们把数字1、2、3称为元素。组成数字不重复的两位数这个问题，从3个不同的元素中任取2个，然后按顺序排成一列数，由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的，因此求数字不重复的两位数的个数等同于求这样的排列个数。 推理过程：从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须经过m 个步骤。第一步，确定第1个位置上的元素,可以从这n个元素中任取1个放在这个位置上，共有n种方法，即n-(1-1)括号内为位置数减1；第