高中数学选修4-4教案1
极坐标的概念
教学目标：使学生理解极坐标系的概念；两点之间的距离。
教学重点：极坐标系、点的极坐标；应能熟练地根据坐标描点及求一个点的坐标、对称点的极坐标
教学难点：点的极坐标不惟一是学习的难点．
教学过程设计：
极坐标系与直角坐标系，虽然是两种不同的描述点位置的方法，但它们的基本观念是一致的，即坐标的观念，即把坐标看成有序实数对。
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
一、问题引入
教师对直角坐标系作简要回顾如下：建立直角坐标系，使几何问题代数化，将几何问题，由平面几何中的定性研究，转变为解析几何中的定量研究．解析几何的出发点是点用坐标表示，注意以下几点：①一个点的坐标是一对有序实数，点和它的坐标是一一对应的；②直角坐标系有三个要素：原点、单位、坐标轴的方向；③同一点在不同的坐标系中，坐标不同．
回顾这些知识后提出问题（回顾知识要点是为了寻求新知识的生长点和突破口）：除了直角坐标系，还有没有确定点的位置的方法？学生可能有多种回答，答案可能有以下几中：①用仿射坐标表示一个点，它与直角坐标系的主要区别是坐标轴的夹角不是90°；②用船在岛的南40°东的说法表示方向，再加一个船与岛的距离表示船的位置，这实际上是用方向角及距离表示位置；③把正北定为0°，90°是正西，180°是正南，270°是正东，利用一个角度及一个距离表示点的位置，这实际上是利用方位角表示一个点；④密位法：把一个周角分为6000份，一份称为1密位，其它与方位角表示点的方法相同，只是方向更细些．炮兵常用密位法表示方向．教师对学生回答的各种方法加以概括：一个点可以用不同的坐标系表示，但有两点是一致的，一是建立坐标系一般包括原点，长度单位，角度单位和方向，二是一对有序实数表示平面上一个点，可以通俗地说“平面上点的坐标是点坐落位置的标记，这个标记是一对有
序实数”．由此可以转入新课的学习．这样作，教师在不断点拨中，逐步抽象出问题的本质，使学生联想思维水平层层递进，从多方面考虑问题，探求问题答案，达到殊途同归的目的．
二、数学构建
定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平
面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表
示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点
M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这
样建立的坐标系叫做极坐标系。 1．极坐标系有四个要素：极点、极轴、长度单位、角的单位及方向．
2．点的直角坐标与极坐标的共同点是：都是一对有序实数表示一个点．不同点是点与点的直角坐标是一一对应的，点的极坐标不是唯一的，一般情况下（非极点）点P(ρ，θ)的全部极坐标为P (ρ，θ+2πk )和P(－ρ，ππθk 2++)(k Z ∈)．
3．直角坐标系内，点的坐标是表示这个点的充要条件．极坐标系内，点的某一个极坐标是表示这个点的充分非必要条件，只有对ρ、θ作特殊限制，才可能是充要的．
4.求一个点的极坐标，一般只要求出其中一个坐标即可．
三、知识运用
【例1】在极坐标系中，作出下列各点，P 1(2，3π)、P 2(2，2)、P 3(1，2
π)． 【例2】写出图中各点的极坐标，0≤θ≤2π．
??
????)452()3()63(321πππ，、，、，P P P 这类例题的目的是使学生熟悉极坐标系，
克服直角坐标系中由习惯形成的干扰．学生极易
将P (2，2)中极角2当坐横坐标2，将P 点标在ρθx
M O 图1图2
（2，4
π）的位置． 【例3】在极坐标系中，作出下列各点：Q 1(2，
4π)、Q 2(2，π)、Q 3(3，43π)、Q 4(23，47π)、Q 5(2，2π)、Q 6(2，0)、Q 7(π，π)、Q 8(π，－π)、Q 9(0，70
3π)、Q 10(
23，4π-)． 此例应让学生到黑板上作，根据结果启发学生发观Q 7与Q 8重合，Q 10与Q 4重合，Q 5与Q 6重合，这说明不同的坐标，可能表示相同的点．可再举些类似的例子，从而得到点的极坐标不惟一的重要结论．可结合Q 4与Q 10指出，它们各自都表示Q 4点，即Q 4点不一定非用(23，4
7π)表示，还可以用(23，4π-)、(－23，43π)……表示．反之，给定一个点，并不能一定得到它某个特定的坐标．
因此，一个点的某个极坐标是表示这个点的充分不必要条件，这样使学生对两种坐标系有了统一的逻辑认识，扩展了学生的认知结构．
以此例为导入，即可将ρ＞0、ρ＜0时极坐标的概念进行讲解，并及时作小结．当ρ≠0时，点ρ(ρ，θ)的全部极坐标为ρ(ρ，θ＋2πk )他ρ(－ρ，θ＋π＋
2πk )(Z ∈k )．以此使学生对极坐标系中，点坐标的复杂性．加以系统化和条理化．使学生易于记忆．如用多媒体等教学手段，显示以上结论，就可以强化认识，突破难点．
【例4】．在极坐标系中，作出点M (2，
4π)、N (2，π)，并求出这两点之间的距离。
解：如图2所示，由余弦定理，得
|MN|=()??? ??-???-+4cos 2222222ππ=10
通过本例达到介绍极坐标下两点之间的距离的求法。
【例5】．①写出点P （－5，6
π）的所有极坐标；②写出点P (5，67π)关于极轴
图2
的对称点的坐标，关于极点的对称点的坐标，关于过极点且与极轴垂直的直线的对称点的坐标；③标出(－5, 6
π)，(0，1)，(－1，0)，(－4，－π)各点的位置． 此题应让学生板演，以巩固新知识，在练习过程中及结束后，强调几点：①画坐标系可能丢掉原点、单位、方向等要素；②极坐标系中，对ρ和θ作特殊规定时，可以使点和其坐标一一对应．例如规定ρ＞0且0≤θ＜2π或ρ＜0且0≤θ＜2π时，除极点外，平面上的点的坐标就唯一了．
【例6】．在极坐标系中，标出A (5, 3π)，B (5, －3π)，C (－5, －3π)，D (－5, 3π)的位置，并说明A 与B 、C 、D 分别有怎样的相互位置关系．
解：A 与B 关于极轴对称，A 与C 关于过极点且与极轴垂直的直线对称，A 与D 关于极点对称，B 与C 关于极点对称，B 与D 关于过极点且与极轴垂直的直线对称，C 与D 关于极轴对称。
四、小结
极坐标系不但知识新、观点也新，尤其应注意以下几点：
1．极坐标系有四个要素：极点、极轴、长度单位、角的单位及方向．
2．极坐标系中，点与其坐标是“一对多”的对应，点的坐标是表示点的充分不必要条件．非极点的点的坐标有两组：（ρ，πθk 2+）和（－ρ，)(2πθk +π）Z k ∈，只在特殊规定时，点的坐标才是惟一的．
二、例题分析
三、小结：①极坐标系中两点之间的距离公式；
②关于极轴、极点、极垂线的对称点的判断及坐标的求法。
高中数学选修4-4教案1 极坐标的概念 教学目标：使学生理解极坐标系的概念；两点之间的距离。 教学重点：极坐标系、点的极坐标；应能熟练地根据坐标描点及求一个点的坐标、对称点的极坐标 教学难点：点的极坐标不惟一是学习的难点． 教学过程设计： 极坐标系与直角坐标系，虽然是两种不同的描述点位置的方法，但它们的基本观念是一致的，即坐标的观念，即把坐标看成有序实数对。 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 一、问题引入 教师对直角坐标系作简要回顾如下：建立直角坐标系，使几何问题代数化，将几何问题，由平面几何中的定性研究，转变为解析几何中的定量研究．解析几何的出发点是点用坐标表示，注意以下几点：①一个点的坐标是一对有序实数，点和它的坐标是一一对应的；②直角坐标系有三个要素：原点、单位、坐标轴的方向；③同一点在不同的坐标系中，坐标不同． 回顾这些知识后提出问题（回顾知识要点是为了寻求新知识的生长点和突破口）：除了直角坐标系，还有没有确定点的位置的方法？学生可能有多种回答，答案可能有以下几中：①用仿射坐标表示一个点，它与直角坐标系的主要区别是坐标轴的夹角不是90°；②用船在岛的南40°东的说法表示方向，再加一个船与岛的距离表示船的位置，这实际上是用方向角及距离表示位置；③把正北定为0°，90°是正西，180°是正南，270°是正东，利用一个角度及一个距离表示点的位置，这实际上是利用方位角表示一个点；④密位法：把一个周角分为6000份，一份称为1密位，其它与方位角表示点的方法相同，只是方向更细些．炮兵常用密位法表示方向．教师对学生回答的各种方法加以概括：一个点可以用不同的坐标系表示，但有两点是一致的，一是建立坐标系一般包括原点，长度单位，角度单位和方向，二是一对有序实数表示平面上一个点，可以通俗地说“平面上点的坐标是点坐落位置的标记，这个标记是一对有
高二数学选修4-4 《极坐标》练习题 一．选择题 1．已知?? ? ? ?-3, 5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（ ） A ．??? ? ?- 3,5π B ．?? ? ??3 4,5π C ．??? ??- 32,5π D ．?? ? ? ? - -35,5π 2．点() 3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．??? ??3, 2π B ．?? ? ??34,2π C ．??? ??-3,2π D ．??? ??- 34,2π 3．极坐标方程?? ? ??-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是 A ．??? ??4, 1π B ．??? ??4,21π C ．??? ??4,2π D ．?? ? ??4,2π 5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ 6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ?? ? ?? ??? ? ? - -ππ则ABO ?为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4 ≤= ρπ θ表示的图形是 A ．一条射线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．圆 8、直线αθ=与1)cos( =-αθρ的位置关系是 A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与 有关，不确定
9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A. 214 - π B.2-π C.12-π D.2 π 10.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二．填空题（每题5分共25分） 11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 12．极坐标方程52 sin 42 =θ ρ化为直角坐标方程是 13．圆心为?? ? ??6, 3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 14．已知直线的极坐标方程为2 2 )4 sin(= + π θρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ??? ? ?611, 2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。 16、与曲线01cos =+θρ关于4 π θ= 对称的曲线的极坐标方程是__________________。 17、 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点， 则|AB|= 。 三．解答题（共75分） 18、（1）把点M 的极坐标)32, 8(π，),6 11,4(π),2(π-化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-，)15,0()2,2(--和化成极坐标 19．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程。
第一节 坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ????x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y ′)，称φ为 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 2．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O 引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 3．极坐标与直角坐标的互化
4.圆的极坐标方程 5.直线的极坐标方程 (1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)． (2)直线l 过点M(a ，0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρc os_θ＝a ． (3)直线过M ? ????b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b ．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是? ????2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2 B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 4 解析：∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ(0≤θ≤π 2 )． 答案：A 3．(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2 ＝2ρsin θ. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2 ＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2 ＋y 2 －2y ＝0. 4．(2015·广东卷)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ? ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为 A ? ????22，7π4， 则点A 到直线l 的距离为________． 解析：由2ρsin ? ????θ－π4＝2，得2ρ? ?? ??22sin θ－22cos θ＝2，
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
选修4-4 教案 教案1 平面直角坐标系（1 课时） 教案2 平面直角坐标系中的伸缩变换（1 课时）教案3 极坐标系的的概念（1 课时） 教案4 极坐标与直角坐标的互化（1 课时） 教案5 圆的极坐标方程（2 课时） 教案6 直线的极坐标方程（2 课时） 教案7 球坐标系与柱坐标系（2 课时） 教案8 参数方程的概念（1 课时） 教案9 圆的参数方程及应（2 课时） 教案10 圆锥曲线的参数方程（1 课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1 课时）教案12 直线的参数方程（2 课时） 教案13 参数方程与普通方程互化（2 课时）教案14 圆的渐开线与摆线（1 课时）
课题：1、平面直角坐标系教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课 1 2 坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查 1 平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空 中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确 的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 word.
高中数学选修4-4知识点总结 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ??>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2 ,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数? ??==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆2 22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(. sin ,cos 为参数θθθ???+=+=r b y r a x . 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数??????==b y a x .
高中数学第1章坐标系1.2极坐标系讲义新人教B 版选修44 1.2 极坐标系 1.2.1 平面上点的极坐标 1.2.2 极坐标与直角坐标的关系 学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化．(重点) 1．平面上点的极坐标 (1)极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O 点称为极点，Ox 称为极轴． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角． 2．点与极坐标的关系 (ρ，θ)和(ρ，θ＋2k π)代表同一个点，其中k 为整数．特别地，极点O 的坐标为(0， θ)(θ∈R )．如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一 一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的关系 (1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以θ＝π 2的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标 系(如图1-2-1所示)． (2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ? ?? ?? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2
tan θ＝y x (x ≠0) [提示] 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置． 思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？ [提示] 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ，它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系． 思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？ [提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带． 事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ ， 所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x . 1．极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1，π) C ．(1，π) D ．(1,2π) [解析] ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π)． [答案] C 2．极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ) A ．(1,0) B ．(2，π4) C ．(3，π 2) D ．(4，π) [答案] C 3．点A 的极坐标是(2，7π 6)，则点A 的直角坐标为( ) A ．(－1，－3) B ．(－3，1) C ．(－3，－1) D ．(3，－1) [解析] x ＝ρcos θ＝2cos 7 6 π＝－3， y ＝ρsin θ＝2sin 76 π＝－1.
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:
二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换???x ′＝1 2x ， y ′＝1 3y 后，曲线C ：x 2 ＋y 2 ＝36变为何种曲 线，并求曲线的焦点坐标． 解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)， 则? ????x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. 所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 2 4＝1， 其焦点坐标为(±5，0)． 2．(2015·高考江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－π 4)－4＝0，求圆C 的半径． 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为 ρ2＋22ρ?? ? ?22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 3．(2016·扬州质检)求经过极点O (0，0)，A ????6，π2，B ????62，9π 4三点的圆的极坐标方程． 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)， 故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形， 圆心为(3，3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ? ???? θ－π4. 4．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ， 即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．
极坐标系练习 1．点M的极坐标为 2 5,π 3 ?? ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 2．点A的极坐标为 π 2, 3 ?? -- ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________． 4．已知两点的极坐标 π 3, 2 A ?? ? ?? ， π 3, 6 B ?? ? ?? ，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为 ________． 5．直线l过点 π 7, 3 A ?? ? ?? ， π 7, 6 B ?? ? ?? ，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________． 6．在极坐标系中，若 π 3, 3 A ?? ? ?? ， 7π 4, 6 B ?? ? ?? ，则△ABO的面积为__________． 7．点 π 5, 3 A ?? ? ?? 在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐 标为 π 4, 6 ?? ? ?? ，求点M在直角坐标系中的坐标． 9．在极坐标系中，(1)求 7π 5, 36 A ?? ? ?? ， 43π 12, 36 B ?? ? ?? 两点间的距离； (2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标． (1)π 4 ? ? ? ；(2) π 6, 3 ?? - ? ?? ；(3)(5，π)．
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
第一部分坐标系 第1节：平面直角坐标系 教学目标： 1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。 2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。 教学重点：体会直角坐标系的作用。 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运 动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需 要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
1 / 5 坐标系与参数方程 知识点 １.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 (0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的作用下，点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. ２.极坐标系的概念 （1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (２)极坐标:设Ｍ是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点Ｍ的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点Ｍ的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地，不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈Ｒ） ．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. ３.极坐标和直角坐标的互化 (1）互化背景:把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示： (2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ（0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程