测量误差及数据处理技术规范
JJG 1027—1991
本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到的一些问题做出统一的规定，以便正确地给出和使用测量结果。
本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其评定结果的表达。
本规范所研究的测量结果的方差是有限的例如，在晶振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。除非特别指明，本规范所述处理方法与误差的分布无关。
一测量结果的误差评定
1 一般原理
由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。
误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。
计算得到的误差和(或)已确定的系统误差，应尽量消除或对结果进行修正。无法修正的部分，在测量不确定度评定中作为随机误差处理。
2 测量误差的种类
测量误差是指测量结果与被测量真值之差。它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2.1 系统误差
在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。按其变化规律可分为两类：
a 固定值的系统误差。其值(包括正负号)恒定。如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。
b 随条件变化的系统误差。其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。如，随温度周期变化引起的温度附加误差。
2.2 随机误差
在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差分量。它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。
2.3 粗大误差
指明显超出规定条件下预期的误差。它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应按一定规则剔除。
3 误差来源及分解
任何详细的误差评定报告，应包括各误差项的完整材料，其中应有评定方法的说明。3.1 误差来源
设被测量的真值为Y0，而测量结果为Y，则绝对误差ΔY可表示为：
ΔY＝Y－Y0 (1.1) 本条叙述由测量绝对误差ΔY分解成可以评定的误差分量ΔYk的法则。
绝对误差可认为是各分量ΔY k的代数和：
k 1
n
k Y Y =?=
∑Δ
(1.2)
分项时应使(1.2)式充分满足。为此，应特别注意主要误差项不应重复或遗漏，并不得混入不应有的成分。
可以近似地认为，误差分量ΔY k 与其产生的原因ΔQ k 之间成线性关系，即
ΔY k ＝C k ·ΔQ k (k ＝1，2，…，m ) (1.3) 式中：ΔQ k 是引起ΔY k 的量；而其标准值为Q k N ；Q k 为误差原因的取值。有：
ΔQ k ＝Q k －Q kN (k =1，2，…，m ) (1.4) (1.3)式中C k 为误差原因Q k 的传播系数。
当忽略误差高次项时，同一原因产生的各项误差往往是十分接近线性关系的。而由不同的并独立控制的原因产生的误差项则是相互独立的。如将一个误差原因引起的误差合并为一个误差项后，则各个误差项亦将彼此独立。 引起误差的原因通常可分为：
a 测量装置(包括计量器具)的基本误差；
b 在非标准工作条件下所增加的附加误差；
c 所用测量原理以及根据该原理在实施测量中的运用和实际操作的不完善引起的方法误差；
d 在标准工作条件下，被测量值随时间的变化；
e 被测量因影响量变化引起的变化；
f 与观测人员有关的误差因素。
3.2 间接测量的误差传播系数
设被测量Y 系通过以下函数关系式，自直接测得的量X 1；X 2；…X n 计算出：
Y ＝f (X 1,X 2,…，X n ) (1.5)
其中，各个量X k 的误差ΔX k ，均将成为ΔY 的一个误差原因，在这些原因彼此相互独立的情况下，各误差原因的传播系数为：
/k k C f X =?? (1.6)
4 用统计学方法评定的不确定度(A 类不确定度) 本规范建议在数据处理中，以最小二乘法所得结果为准，并建议测量列的自由度不小于5。
以下被测量Y 既可以是直接测量中的被测量，也可以是间接测量中的直接测量量Y k (1.2
节)。对于Y k ，则有对应的期望估计值E ∧
(Y k )和标准差s k 等。
4.1 重复条件下的测量列
在重复条件下，对被测量Y 多次测量，获得测量列y i (i ＝1，2，…n )，于是，可得期望
估计值E ∧
(Y )；标准差s(Y )。
E ∧
(Y )可认为是削弱了随机误差(但还带有恒定系统误差)的Y 值。期望估计值的标准差用 s (Y )
4.2 误差原因传播系数C i 的实验估计
在一个误差原因Q i 变化而其他原因不变时，对被测量Y 和ΔQ i 进行测量，获得测量列
｛y ij ；ΔQ ij ｝，可得回归直线：
y i ＝C i ·ΔQ i +ΔY o i (1.7)
这里的C i 即为(1.3)式中的误差原因传播系数的实验估计值。 4.3 测量列测量结果的期望估计值
对重复条件下的测量列y i (i ＝1，2，…，n )，测量列的测量结果期望估计值E ∧
(Y )是算术平均值y ：
E ∧
(Y )＝y ＝1
1
n
yi
i n
=∑
(1.8)
4.4 从测量列计算标准差
重复条件下的测量列y i (i =1，2，…，n )，其标准差s 的计算方法如下： 4.4.1 贝塞尔法
这是本规范建议的基本方法。
()s s Y ＝
=
4.4.2 其他方法
在测量结果接近正态分布，而且测量列中的次数n 一般不小于5(应尽可能大)时，为便于计算，还可采用下列方法：
a 最大残差法
s ＝C n max ｜v ｜ (1.10)
b 最大误差法
s ＝C n max ｜ΔY ｜ (1.11)
c 分组极差法
当测量列分为m 组，每组包括n 个测量结果时，每组均有一个极差。设这m 个极差的平均值为w ，则：
1=s w
C
(1.12)
以上(1.10)式中v 为残差；(1.11)式中ΔY 为测量误差。在(1.10)与(1.11)式中，均取其绝对值。C n ,C ′n 以及C 值见附录2，3，4。 4.5 期望估计值的标准差
当误差原因导致测量结果独立随机变化时，由测量列的标准差s 乘以1
，可得期
望值E ∧
(Y )的标准差。
4.6 两相关测量列协方差、相关系数的计算
同时测量两个量，得y i 和ΔQ i (i ＝1，2，…，n )，则其协方差及其相关系数分别估计为：
相关协方差
()O V
1
1
1n
i
i C Y Q yi Q n =?=?-?∑∧
，ΔΔ
－Δ111
n yi Q i n
i i n ==∑∑?? ????? ?????
? (1.13)
相关系数
ov C ()
()
()()Y Q Y Q s Y s Q ρ∧
∧
，Δ，Δ·Δ (1.14)
4.7 对同一量具有不同不确定度的测量列的期望估计值及标准差若对同一量Y 进行了n
个不同不确定度的测量，结果为y i (i ＝1，2，…，n )，则Y 的期望估计值E ∧
(Y)应为各y i 的加权平均值：
E ∧
(Y )＝
p y p i i i n
i
i n
==∑
∑1
1
／ (1.15)
上式中，p i 是测量结果y i 的权。p i 反比于y i 的方差值v (y i )。
(1.15)式所得E ∧
(Y )的标准差s 0作如下估计：
0()s s E Y ∧
＝｛｝上式中，v i 为测量结果y i 的残差，即
v i ＝y i －E ∧
(Y ) (1.17)
而测量结果y i 的标准差s i 可按下式计算：
()0
i i s s y s ＝＝ (1.18)
5 用非统计学方法评定的不确定度(B 类不确定度)
按(1.3)式，误差项可表示为
ΔY k ＝C k ·ΔQ k
式中，ΔQ k 是引起误差项ΔY k 的原因；C k 为误差原因传播系数，ΔY k 可用下述非统计学方法评定：
5.1 如能按置信概率p ≥0.95确定ΔY k 的极限值max(ΔY k )和min(ΔY k )，则
1
()m ax()+m in()2k k k E Y Y Y ∧
Δ＝｛ΔΔ｝
(1.19)
ΔY k ——扣除其期望后的变量
()k k k
Y Y E Y ∧
Δ＝Δ－Δ (1.20)
的测量总不确定度为：
U Y Y Y k k k ()m ax()m in()Δ＝｛ΔΔ｝
~
12 (1.21)
5.2 期望估计值E ∧
(C k )与E ∧
(ΔQ k )引起的E ∧
(ΔY k )及其U (Δ~
Y k )
如能以概率p ≥0.95确定误差传播系数C k 的极限值max(C k )和min(C k )以及误差原因Δ
Q k 的极限值max(ΔQ k )和min(ΔQ k )，则
E C C C k k k ∧
＝
｛｝
()m ax()+m in()12
(1.22)
()m ax()m in()U C C C k k k ~
＝｛－｝
12 (1.23)
E Q Q Q k k k ∧
Δ＝
｛ΔΔ｝
()max()+min()12
(1.24)
()m ax()m in()U Q Q Q k k k Δ＝｛Δ－Δ｝
~
12 (1.25)
用它们估计：
E Y E C E Q k k k ∧
∧
∧
Δ＝·Δ()()() (1.26)
()()()+()U Y U Q E C U C k k k k Δ＝Δ｛｜｜｝∧
~~
(1.27)
5.3 标准差u k 的获得
由(1.21)及(1.27)式所得U(Δ~Y k )可除以相应的置信因数k ，得到类似于s i 的标准差
u k 。
因数k 的选择如下：
a 原来的置信概率p ＝95%时，取2；
b 原来的置信概率p ＝99.73%时，取3；
c 如果ΔY k 变化是由某个有规律变化原因起主要作用，则按该原因确定其概率分布，并根据概率分布确定置信因数k 。
分布类型k 两点分布1.0反正弦分布1.4均匀分布1.7 5.4 ΔY k 的期望估计及其标准差
如已知C k 与ΔQ k 的期望E (Q k )与E (ΔQ k )，以及其总体标准差的估计算σ(Q k )与σ(ΔQ k )，则按下式估计误差期望及其标准差：
E Y E E Q k k ∧
∧
∧
Δ＝·Δ()(C k)() (1.28)
()()
k k k u Y Q σσ∧
＝ΔΔ
(1.29)
6 不确定度的综合方法与数据修约
按(1.2)式，误差ΔY 可分解为：
Δ
Y k
k m
=1
∑
而ΔY k ＝C k ·ΔQ k (按1.3式)。根据第4和5条，分别可确定ΔY k 的期望估计值E ∧
(ΔY k )及其标准差估计值s k 或u k 。
6.1 已掌握的系统误差的综合
E Y E Y k m
k ∧
∧
Δ＝Δ()()
=∑1
(1.30)
6.2 标准差的综合
合成不确定度u 按下式给出
u s
u C
Y Y j
k k l
l
＝
Δ，Δ∧＜i
2ov
l +()
22+∑∑
∑∑ (1.31)
其中C ∧
ov (Y k ,,Y l )为ΔY k 与ΔY l 两分量间协方差的估计值，当各项彼此独立时，根号下的第三项为零。 说明：
a 当同一误差项ΔY k 可以按统计学方法算出其相应的s k ，同时也可按非统计学方法算出其u k 时，只允许在合成不确定度u 中代入其中的一个；
b 由于(1.31)式中s i 2
带有方差，而u 是σ(ΔY )带有负偏差的估计值。在自由度v i 均不小于5的条件下，作为一种修正，可先按置信概率p ＝0.68将式中s i 及u j 各自按v i 及v B j 以t p (v )扩大后再代入(1.31)式，(t p (v )之值见附录1)。 6.3 总不确定度U
总不确定度用于测量结果报告，又称报告不确定度。
在数据中不含有可修正的系统误差，而只有未掌握的系统误差和随机误差时，如采用
置信概率为0.68，则U
＝u ，即用合成不确定度作为总不确定度；采用置信概率为0.95，则有：
U ＝2u (1.32)
当合成不确定度u 中的s i 未按6.2条b 所述方法修正时，则应按下式计算：
U ＝t p (v )·u (1.33)
式中的p 按所采用的概率，而这里的自由度为区别于v i ，可称为有效自由度veff ，按
下式算：
v u
s v u v
i
i
j
eff 4
j
B ＝－
4
4
+
∑∑
(1.34)
当仅需计算总不确定度U 时，为计算方便，一般可用误差项ΔY k 的总不确定度U (ΔY k )直接综合得出U 值；但如有分歧，则以本款上述方法计算结果为准。
6.4 相对不确定度和相对总不确定度
相对不确定度指合成不确定度u 的相对值，符合为u r ，相对总不确定度指总不确定度U 的相对值，符号为U r 。按下式计算：
u
u
y
r
＝
(1.35) r
U
U
y
＝
(1.36)
上两式中y为测量结果。
6.5 另一个常用的置信概率为0.99，本规范建议用下式估计：
U(p＝0.99)＝1.3U (1.37) 上式适用于v较大，并接近正态分布的情况。
6.6 数据修约
在最后给出的测量结果的表达式中，所有数据应按下列法则修约。
6.6.1 最终的结果应不再含有可修正的系统误差(当作随机误差处理的分量除外)，即应是已修正的测量结果。
6.6.2 总不确定度U与U r只取1至2位有效位数。
6.6.3 合成不确定度u与u i或最终测量结果所给出的有效位数的修约间隔与总不确定度修约间隔相同。
6.6.4 进舍规则是：拟舍弃数字最左一位小于5时，舍去；大于5时(包括等于5而其后尚有非零的数)，进1，即保留的末位加1；拟舍数字最左一位为5，且其后无数字或皆为零时，按所保留的末位为奇数时，则进1，为偶数，则舍弃。
6.6.5 最终测量结果一般均按6.6.3修约给出有效位数，必要时，可采用0.5单位或0.2单位修约。
0.5单位修约的方法是；拟修约数乘以2，按给定位数按6.6.3修约后再除以2。
0.2单位修约的方法是：拟修约数乘以5，按给定位数，按6.6.3修约后再除以5。
7 测量结果的最终表达形式
7.1 设某量Y不再含有应修正系统误差之测量结果为y，在误差评定后，根据所用置信概率，给出的表达形式有，例如：
Y＝y±U(p＝0.68)
Y＝y±U
Y＝y±U(p＝0.99) (1.38) 在p＝0.95时，不必注明p值。
7.2 用相对不确定度u r或U r给出时，其表达形式有，例如：
Y＝y(1±U r)(p＝0.68)
Y＝y(1±U r)
Y＝y(1±U r)(p＝0.99) (1.39) 7.3 当测量结果的表达形式采用了不同于0.95的其它置信概率时，在结果中均应如7.1，7.2例以括弧给出。
7.4 无论采取7.1还是7.2的表达形式，y的计量单位只能出现一次，并列于最后。除非非十进制的单位。
二计量器具准确度的评定
8 计量器具随机误差的评定
通过计量器具对某个量按重复条件下的测量列(其次数n应足够大)，按4.4可计算出它
的实验标准差s。它定量地给出了该计量器具在给定条件下单次测量的精密度。本规范推荐置信概率p≥0.95。必要时，应对重复条件加以说明，特别是影响量的取值。
9 计量器具系统误差的评定
往往不能准确给出期望估计值与真值之差。通常用重复条件下测量次数足够大的测量列的算术平均值来估计期望值，而用足够准确度的值作为约定真值。约定真值可以用系统误差明显较小的计量器具和(或)测量方法得到。
9.1 计量仪器
在评定计量仪器的系统误差时，应以重复条件下测量列所给出的平均值减所用被测量的约定真值。如果已知被评定的计量仪器的随机误差相对于其系统误差小到可以忽略的情况下，通常只需要一个示值就够了。这时，其系统误差即为测得值(或平均值)减约定真值之差。
9.2 量具
在评定量具示值的系统误差时，与上述9.1中示值相当的是量具的标称值；与约定真值相当的是量具的实际值。这里所谓的实际值其含义为采用足够准确的计量器具和(或)测量方法所得出的误差明显较小的值。因此，量具的系统误差为其标称值减其实际值。
9.3 计量器具的引用误差
引用误差是以相对值形式给出的误差。通常以百分数给出。它等于计量器具的绝对误差除以某特定值，这一特定值称为引用值。
引用值通常是仪器测量范围的上限，有时也采用零点两侧测量范围的和，即总量限。检定规程和有关技术文件中应指明。
10 计量器具的允许误差
检定规程或有关技术文件等规定的计量器具所允许的误差极限值，称允许误差。
允许误差的上限和下限，设分别为Δ
上，Δ
下
(均带正负号)，则
(约定)真值+Δ
下≤示值≤(约定)真值+Δ
上
(2.1)
对于量具来说，(2.1)中的示值应代之以其标称值。
允许误差可以用绝对误差形式给出，也可以用相对误差的形式给出。
在表达允许误差时，当Δ
上与Δ
下
的绝对值相等时，给出一个绝对值Δ即可。具体表达式
见12条。
对于新制的和使用中的一些计量器具的允许误差，有不同要求时，应在检定规程中指明。
允许误差不应理解为上、下限之间的区间。
11 允许误差的表达方式
对于给定种类的计量器具，其允许误差表达方式的选择，应根据该计量器具的计量学性能决定，即：测量原理、过程、用途、影响量和误差随示值变化的特点等。
表达所用的值一般有：绝对误差Δ、引用误差 ，当被测量不等于零时，可用相对误
差Δ
r
，由检定规程等技术文件规定。
对于对称情况下的表达如下：
11.1 以绝对误差表示允许误差
11.1.1 如果计量器具的允许误差不随所测之量的大小而改变时，表达为：
Δ＝a (2.2) 式中：a为以被测量单位(或其分数单位)表示的一个常量或以示值的标尺间隔表示的值。11.1.2 如果计量器具的允许误差随被测量的大小成线性关系变化时，表达为：
Δ＝a+bx (2.3) 式中，x为被测量之值；a为一个常量；b为一个常数，a与b可能是影响量的函数。
11.1.3 如果计量器具的允许误差与被测量大小之间的关系更为复杂时，可用近似的函数
形式或图表给出。 11.2 引用允许误差 表示为：
N x γΔ
＝
(2.4)
式中：x N 为引用值。
11.3 相对允许误差
11.3.1 如果相对允许误差不随被测量大小改变时，
Δ＝
Δr x
(2.5)
式中：x 为被测量之值。
11.3.2 如果允许误差以接近线性关系随被测量大小改变时，
Δ
＝－r
m +1c d x x ?? ?
?
? (2.6)
式中：x m 为该计量器具测量范围的上限或测量传感器输入值的变化范围；c 和d 为常数。 11.3.3 如以上给出的表达方式均不适用时，可采用其它方式，由检定规程等技术文件规定。
11.4 以上(2.2)至(2.6)式，在使用时，也可在式的右边冠以正负号。
11.5 对于非对称情况下，应分别给出上、下限，表达式可参照(2.2)至(2.6)式。 12 准确度等级
准确度等级是指符合一定的计量要求，使其误差保持在规定极限以内的计量器具的等别或级别。
量具、仪器及测量传感器，可按其允许误差大小划分其准确度级别。但指零仪器以及为测出某个量值要进行多种读数或把多次的测得值加以运算而给出算术平均值作为测量结果的仪器等，则可不分准确度级别。 为保证计量器具不超出允许误差。对于计量器具的每个级别，都还有计量特性和使用该计量器具时标准工作条件的规定。主要特性和参数有：
a 基本误差。
b 附加误差。附加误差是指计量器具在非标准条件时所增加的误差。它是由于影响量存在和变化而引起，如，温度附加误差；压力附加误差等。
c 随时间产生的不稳定性。
d 滞后误差。 13 准确度级别表达 13.1 级别符号
13.1.1 按绝对允许误差表示的计量器具，其级别用大写拉丁字母、罗马数字或阿拉伯数字表示。必要时还可以用字母附以阿拉伯数字。
13.1.2 用引用允许误差和11.3.1表示的计量器具，用阿拉伯数字表示，其级别系列应符合检定规程的规定。而且，常用百分数表示而略去百分符号。
13.1.3 用11.3.2表示的计量器具，其中，c 应大于d ，而且，c 与d 之值，其系列应符合检定规程的规定。级别的表达可用c ／d 。例如：0.02／0.01，这里的斜线并非除的含义。 13.2 对于包含有两个或多于两个测量范围的计量器具，可对不同的测量范围规定不同的
等级。对于多功能的计量器具，对不同类的被测量，可以各自规定其准确度级别。例如，用于测量直流和交流的电测仪表，就可以分别规定各自的准确度级别。
14 计量器具的分等
分等的计量器具，其实际值通过检定给出。根据检定结果的总不确定度，可分为若干等。它表明检定结果所给出的实际值的总不确定度不超过某个给定的极限。对于分为若干等的计量器具，也需要相应地规定某些计量性能指标，并应在检定规程等技术文件中指明。对于这类计量器具，可只给明其等别而不必再给出其总不确定度。
15 计量器具是否合格的评定
检定规程中应给出评定计量器具时的标准工作条件、测量方法及是否合格的全部指标。
用于确定计量器具的示值误差是否符合给定允许误差要求的测量方法，应具有不小于0.95的置信概率。
在以上条件下，对某一计量器具在评定时，以规定的检定方法得出的测量结果直接确定是否合格。例如：中等准确的500g圆柱形砝码，按OIML建议No.1，其实际值m i要求：500g ≤m i≤500.1g，如果按规定的检定方法检定某砝码之质量正好等于500g，应作为合格。
附录
附录1
不同置信概率p下，自由度v＝n－1的
t分布的t p(v)值
表1
附录2
最大残差法的C n值
表2
附录3
最大误差法的C n值
表3
附录4
分组极差法的C值
表4
附录5
举例
例1 对某量A在重复测量条件下，得n＝12次的值(本例中略去单位)A i分别为： 1011.5；1011.0；1012.3；1013.5；
1014.1；1010.6；1010.8；1014.1；
1013.0；1010.5；1011.2；1012.0。
平均值 A＝112ΣAi＝1012.0
设其系统误差可忽略不计。
标准差s A
n
A A
i
()() 1.3
2
＝－＝
1
1
-
∑
取p＝0.95，n＝12，查附录1得
t0.95(11)＝2.20
U＝×／＝
2.20 1.30.83
12
得A＝1012.0±0.8
例2 在测长机上测得某轴的结果为40.0010mm ，其中含有不确定度分量为： a 由于读数给出的标准差：s 1＝0.17μm ；
v 1＝6
b 由于测长机主轴不稳定性给出的标准差：s 2＝0.10μm ；v 2＝5
c 测长机标尺不确定度，按证书：u 1＝0.05μm
d 由于温度给出的不确定度，按证书给出的参数计算为：
u 2＝0.05μm
以上各分量彼此独立。
算法1：(1.30)式按6.2.b 修正，
查附录1p 0.68(6)＝1.09；p 0.68(5)＝1.11
u s s u u ＝
＝(1.09)+(1.11)++0.224m
12
22
212
2
μ
＝＝ U u 20.45m μ
算法2：按(1.33)式
u s s u u ＝
＝
12
22
12
+++0.210m 22
μ
有效自由度(1.34)式
v u s v s v u u ＝／＝4
11
14124
21424
+++?? ??
?
由表(附录1)查得t ＝2.20，得U ＝t p (v )u ＝0.46μm 。 因而，以上两种方法所得结果分别为：
l ＝(40.0010±0.00045)mm l ＝(40.0010±0.00046)mm 两者总不确定度U 之间相差约2%。可忽略不计。 例3
a 标准容量为500cm 3的玻璃量瓶，按OIML 国际建议No.43，允许误差Δ＝0.50cm 3。因而，该量瓶的实际容量V 处于以下范围。
(500－0.50)cm 3≤V ≤(500+0.50)cm 3
b 体温计按OIML 国际建议No.7，Δ上＝0.1℃；Δ下＝－0.15℃，因此，用该体温计给出示值为t 时，与其真值t t 之间的关系为：
t t －0.15℃≤t ≤t t +0.1℃
c 中等准确的500g 砝码，按OIML 国际建议No.1,其质量的允许偏差(新生产的)为Δ
下
＝－100mg ；Δ上＝0mg 。它的实际值m 与标称值之间有：
m t －100mg ≤500g ≤m t +0
由此得： m t ≤500g+100mg
m t ≥500g －0mg
即 500g ≤m t ≤500.1g
第一章测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。 第一节测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，
“测量误差、不确定度和数据处理”作业参考答案（总分：40分） 1.(3分) 1 5 8 9 2 3 2. (3分) (1) 5位 1.08 (2) 5位 0.862 (3) 5位 27.0 (4) 6位 3.14 (5) 4位 0.00200 (6) 5位 4.52?103 3. (2分) A 正确，其他结果的平均值和不确定度的最后一位没有对齐； 4.(2分) (3) 5. (4分) (1) A=(1.70±0.01)?104km, P=95%； (2) B=(1.7±0.5)?10-3m, P=95%； (3) C=(1.08±0.02)?10cm, P=95%； (4) D=(9.95±0.02)?10?C, P=95%； 6. (4分) (1) 216.5-1.32=215.2 (2) 0.0221?0.0221=0.000488 (3) 55100.60.11000.66.1160.121500400?=?=-? (4) 15cm=1.5?102mm=1.5?105μm 7. (5分) (1) 98.754+1.3=100.0 (2) 107.50–2.5=105.0 (3) 27.6÷0.012=2.3?103 (4) 121×10= 1.2×103 (5) 00.20.3800.760.200.4000.76==- (6) 0.100 .11000.200.50)001.000.1)(0.3103()3.1630.18(00.50=??=+--? (7) ()()23101.20.11010 0.11000.10.110000.100.10.100.1000.110000.100.7700.78412.46.50.100?=+??=+??=+?-+? (8) 27.30 .47915680.4790.9436250.4790.943252==+=+ (9) 6630.148030.1410080.030.141005 .20.230.141005.23.213.23=-=-?=-?=-?- 8. (9分) 解：n=6，一般取置信概率P=95%，查表知t p =2.45 ()mm D D i i 836.9836.9837.9834.9838.9836.9835.96 16161=++++++==∑= ()()()()()mm mm D D t U i i p B A D 3366225 2估2 仪22222估2仪6122 2 10510241017108200010004030 101452166000100020002000010452166-----=?≈?≈?+?=++??=?+?+-++-+++-?=?+?+--=?+?=∑.......... 因此 ()mm D 005.0836.9±=, (P =95%) 9. (8分) 解： 3322485478520 9534214225444cm g cm g h D m .....==???==ππρ 3 3661022 222222222222222210510097410181106151062020901053420050414225400204-----?≈?≈?+?+?=+?+=++=?? ? ????+??? ????+??? ????==..........ln ln ln h U D U m U U h U D U m U E h D m h D m ρρρρρρ 32310252100974485cm g E U --?≈??==...ρρρ 因此()303.048.5cm g ±=ρ, (P =95%)或()302304785cm g ..±=ρ, (P =95%) 分析： 相对不确定度大的直接测量量D 对间接测量量ρ的不确定度贡献最大； 相对不确定度小的直接测量量m 对间接测量量ρ的不确定度贡献最小; 这是乘除表达式构成的间接测量量共同的规律。
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
第一章测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就 是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N，相应的真值为N0，测量值与真值之差ΔN ΔN＝N－N0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将
《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结 果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件 的真实长度为多少？ 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝， 测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－＝（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： －＝－（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得 对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g V，h V，T V代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o
物理实验中的测量误差与数据处理方法总结
物理实验中的测量误差与数据处理方法总结 作者：石皓昆李珩 指导教师：邓靖武 2014年4月17日
摘要：在学习物理的过程中，学习进行物理实验是不可忽略的一步。在笔者参加学校在北京大学物理实验教学中心学习的过程中，发现在实验结果处理中，应用了许多高中没有出现的方法。我们在这里对我们使用过、遇到过的方法进行总结。 关键词：基础物理实验误差分析不确定度数据处理 目录 一、引言 二、正文 1、测量误差与测量结果的不确定度 2、测量结果的书写规则 3、对测量数据进行处理的几种方法 三、结尾
一、引言：本文着重总结了测量误差与数据处理的几种方法，其中测量误差理论是重中之重。笔者认为进行一项物理实验始终与误差理论有密切的关系，不断减小测量误差即使我们进行试验时不断需要考虑的问题，亦可以帮助我们正确、有效地设计实验方案、进行实验操作、正确处理数据。 二、正文 1、测量误差与测量结果的不确定度 ①测量误差的定义 首先，需要明确测量误差的定义。当我们进行测量时，由于理论的近似性、实验仪器的局限性等，测量结果总不可能绝对准确。待测物理量的真值同我们的测量值之间总会存在某种差异。我们将测量误差定义为 测量误差=测量值-真值 ②测量误差的分类 其次，按照习惯的分类方法，根据误差的性质，误差又分为系统误差和随机误差。 ③系统误差 我们在这里讨论系统误差。系统误差指的是在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离总是相同的误差。其造成原因大概分为三类：（1）、实验理论、计算公式的局限性（例：测量单摆周期中使用在摆角趋于0 的情况下的周期公式） （2）、仪器的使用问题 （3）、测量者的生理心理因素的影响 （4）、未定系统误差（例如仪器的允差） ④随机误差 与系统误差相对应，随机误差是由于偶然的、不确定的因素造成每一次测量值的无规律的涨落，这类误差我们称作随机误差。 随机误差的特点在于它的随机性。即如果在相同宏观条件下，对某一物理量进行多次测量，每次的测量结果都不相同。但当测量次数足够多时，我们一般认为大多数的随机误差近似符合正态分布。 不妨记随机误差为连续型随机变量x，其概率密度函数为(x) ρ。由“概率论”中对于随机变量的数字特征的定义 数学期望 ()() E x x x dx ρ +∞ -∞ =? 方差 2 D()[()]() x x E x x dx ρ +∞ -∞ =- ? 正态分布的概率密度函数 2 2 2 (x) x σ ρ- =（1.1）
基本概念题 1．误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？ 答：误差＝测得值－真值。 误差的性质有： （1）误差永远不等于零； （2）误差具有随机性； （3）误差具有不确定性； （4）误差是未知的。 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，受人们认识能力所限，测量或实 验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异，因此误差是不可避免的。 2．什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？ 答：真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。 修正值：为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值，它等于负的误差值。 修正后一般情况下难以得到真值。因为修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。 3．测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？ 答：绝对误差、相对误差、引用误差 绝对误差——对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。 相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量，采用相对误差来评定其测量精度的高低。 引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。4．测量误差分哪几类？它们各有什么特点？ 答：随机误差、系统误差、粗大误差 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。误差值较大，明显歪曲测量结果。 5．准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？ 答：准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。 准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。精确度反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。
《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1 ?测量误差按性质分为________ 差、_________ 差和 _______ 差，相应的处理手段为 _____ 、 ____ 和_____ 。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2 .随机误差的统计特性为____________ 、_________ _________ 和________ 。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3.用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360 °0 04 〃，贝U测量的绝对误差为________ ，相对误差__________ 答案：04 ",3.1*10-5 4 ?在实际测量中通常以被测量的 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5 ?测量结果的重复性条件包括：、 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是__________ 。 5g-0.1mg 7 ?置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和
来表示。 标准差极限误差 8 ?指针式仪表的准确度等级是根据 _____________ 差划分的。 引用 9 ?对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2 Q，标准偏差为0.2 Q,测量次数15次，则平均值的标准差为__________________ ，当置信因子K 二3时，测量结果的置信区间为____________________ 0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15) 10 ?在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是___________________ < 平均值 11 ?替代法的作用是_____________ 特点是___________ 。 _ 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电 压的真值U 0 = 79.83 V，标准差c(U)= 0.02V，按99% (置信因子k = 2.58 ) 可能性估计测量值出现的范围： ________________________________________________________________________ 。 79.83 ±0.02 V*2.58 13 . R 1 = 150 - - R 1 = ±0.75 二；R 2 = 100 门，丄R 2 =二0.4 二，则两电阻并联后总电阻的绝对误差为 R R；1002 R1(R R2)2 (150 100)2 R R；1502 R2(R R2)2(150 100)20.16 0.36 R=R1*R2/(R1+R2), 二R=』R R1R R2 0.16* 0.75 0.36* 0.4 R2 0.264
果总是与被测量的真实量值不一致，即任何测量都不可避免地存在着测量误差。为了减小和消除测量误差对测量结果的影响，需要研究和了解测量误差及测量不确定度。本章包括三个部分的内容。第一部分是测量误差，包括测量误差的基本概念、各类测量误差的处理方法、误差的传递、误差的合成与分配等；第二部分是测量不确定度，包括测量不确定度的概念和表示方法、测量不确定度的评定等；第三部分是数据处理。 2.1 测量误差的基本概念 2.1.1 测量误差存在的必然性和普遍性 在测量过程中，由于实验原理和实验方法的不完善，所采用的测量装置性能指标的局限，在环境中存在着各种干扰因素，以及操作人员技术水平的限制，必然使测量值与被测量的真实量值之间存在着差异。测量结果与被测量的真实量值之间的差异，称为测量误差，简称误差。 误差公理认为：在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。 随着科学技术的发展和我们认识水平的不断提高，可以将测量误差控制得越来越小，但是测量误差的存在仍是不可避免的。 2.1.2 有关量值的几个基本概念 1．真值 真值是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映某一被测量真实状态和属性的量值，也就是某一被测量客观存在的、实际具有的量值。 2．理论真值和约定真值 真值有理论真值和约定真值两种。 理论真值是在理想情况下表征某一被测量真实状态和属性的量值。理论真值是客观存在的，或者是根据一定的理论所定义的。例如，三角形三内角之和为180°。 由于测量误差的普遍存在，一般情况下被测量的理论真值是不可能通过测量得到的，但却是实际存在的。 由于被测量的理论真值不能通过测量得到，为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法来确定真值。约定真值就是指人们为了达到某种目的，按照约定的办法所确定的量值。约定真值是人们定义的，得到国际上公认的某个物理量的标准量值。例如：光速被约定为3×108m／s；以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的约定真值。 3．实际值 在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精确程度，其测量误差
测量误差及数据处理技术规范 JJG 1027—1991 本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到的一些问题做出统一的规定，以便正确地给出和使用测量结果。 本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其评定结果的表达。 本规范所研究的测量结果的方差是有限的例如，在晶振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。除非特别指明，本规范所述处理方法与误差的分布无关。 一测量结果的误差评定 1 一般原理 由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。 误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。 计算得到的误差和(或)已确定的系统误差，应尽量消除或对结果进行修正。无法修正的部分，在测量不确定度评定中作为随机误差处理。 2 测量误差的种类 测量误差是指测量结果与被测量真值之差。它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 2.1 系统误差 在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。按其变化规律可分为两类： a 固定值的系统误差。其值(包括正负号)恒定。如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。 b 随条件变化的系统误差。其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。如，随温度周期变化引起的温度附加误差。 2.2 随机误差 在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差分量。它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。 2.3 粗大误差 指明显超出规定条件下预期的误差。它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应按一定规则剔除。 3 误差来源及分解 任何详细的误差评定报告，应包括各误差项的完整材料，其中应有评定方法的说明。3.1 误差来源 设被测量的真值为Y0，而测量结果为Y，则绝对误差ΔY可表示为： ΔY＝Y－Y0 (1.1) 本条叙述由测量绝对误差ΔY分解成可以评定的误差分量ΔYk的法则。 绝对误差可认为是各分量ΔY k的代数和：
数据处理及测量误差 一、有效数字和计算规则 (一) 有效数字概念 所谓“有效数字”是指在分析和测量中所能得到的有实际意义的数字。换句话说，有效数字的位数反映了计量器具的精密度和准确度。记录和报告的结果只应包含有效数字，对有效数字的位数不能任意增删。因此必须按实际工作需要对测量结果的原始数据进行处理。 (二) 有效数字的记录 有效数字是由全部确定数字和一位不确定的可疑数字构成的。从最后一个算起的第二位以前的数字应该是可靠的（确定的），只有末位数字是可疑的（不确定的），总体构成有效数字的数值。如2.368为四位有效数字，698523为五位有效数字。这里要注意：当数字“0”用于指示小数点的位置，而与测量的准确度无关时，不是有效数字；当它用于表示与测量准确程度有关的数值大小时，则是有效数字。这与“0”在数值中的位置有关。下面将要点列举如下： (1) 如：“0”在数字前，仅起定位作用，则“0”本身不是有效数字。如：某一测量结果记录为0.02315g，为四位有效数字。 (2) 数值中间的“0”为有效数字。如：2.04和5005分别为三位和四位有效数字。 (3)“0”在数字后面为有效数字。如6.230和0.1420均为四位有效数字。 (4) 以“0”结尾的整数，有效位数不确定。此时应根据测定值的准确度改写成指数44，分别为三位和五位有效数字。10 和2.4200形式。如2.42×10×(三) 有效数字修约规则 测量结果的数据处理和结果表达是测量过程的最后环节，由于测量结果含有测量误差，测量结果的有效位数应保留适宜，太多会使人误认为测量准确度很高，同时也会带来计算上的繁琐；太少则会损失测量准确度。测量、计算结果的数值应按《数值修约规则》（GB/T8170-1987）进行修约，即按“四舍六入五余进，奇进偶舍”规则修约。 “四舍六入五余进，奇进偶舍”规则，即当尾数不大于4时，舍去；尾数不小于6时进位；当尾数为5时，则视保留的末位数是奇数还是偶数：5前为偶数应将5舍去，5前为奇数则将5进位。这一规则具体运用如下： (1) 拟舍弃的第一位数字小于5，则舍去，拟保留的末位数字不变。如2.7258修约到只保留一位小数时，其被舍弃的第一位数字为2（小于5），则修约后的数值应为2.7。 (2) 拟舍弃的第一位数字大于5，则进1，即拟保留的末位数字加1。如2.78修约到只保留一位小数时，其被舍弃的第一位数字为8（大于5），则修约后的数值应为2.8。 (3) 拟舍弃的第一位数字为5，而其后的数字不全为零，则进1。如2.7502修约到只保留一位小数，其被舍弃的第一位数字是5，5后面为“01”，则修约后的数值应为2.8。 (4) 拟舍弃的第一位数字为5，而其后无数字或数字全部为零，则视被保留的末位2.735、2.705如末位数字为偶数时舍去。，1末位数字为奇数时进数字为奇数
测量误差及数据处理技术规范 JJG 1027-1991 本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到得一些问题做出统一规定，以便正确地给出和使用测量结果。 本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其平时结果的表达。 本规范所研究的测量结果的方差是有限的，例如，在品振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。除非特别指明，本规范所述处理方法与误差分布无关。 1.一般原理 由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。 误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。 2.测量误差的种类 测量误差是指测量结果与被测量真值之差，它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 2．1系统误差 在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。按其变化可分为两类： a 固定值的系统误差。其值（包括正负号）恒定。如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。 b 随条件变化的系统误差。其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。如，随温度周期变化引起的温度附加误差。 2．2随机误差 在同一被测量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。 2.3粗大误差 指明显超出规定条件下预期的误差。它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应该按一定规则剔除。 3.误差来源及分解 任何详细的误差评定报告，应包括各项误差的完整材料，其中应有评定方法的说明。 3.1误差来源及分解 设被测量的真值为0Y ，而测量结果为Y ，则绝对误差Y ?可表示为： 0Y Y Y -=? （1.1） 本条叙述由测量绝对误差Y ?分解成可以评定的误差分量K Y ?的法则。
《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案
第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
《测量误差与数据处理》复习资料 一、填空题 1、若用L表示观测值，L~表示真值，则观测误差的计算方法为：。 2、测量上传统的直接测量数据为、和。 3、误差椭圆研究的是待定点相对于的精度，相对误差椭圆研究的是任意两个之间相对位置的精度。（起始点/待定点） 4、某测角网共有n个角度观测值，t个必要观测，如按条件平差进行时，此三角网可以列出 个条件方程，如按间接平差进行时，此三角网可以列出个误差方程。 5、设某角度观测值的协因数为9，则其观测值的权为。 6、偶然误差的统计规律性是指：、聚中性、和抵偿性。 7、观测误差按其性质不同可以分为系统误差和偶然误差，其中误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或消弱，而误差在观测结果中必然存在。8、观测误差产生的原因可归结为：、、，当观测条件好时，观测质量就会；反之，观测条件差时，观测成果质量就会；如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是。 9、根据观测误差对观测结果影响的性质，可将误差分为和。 10、误差具有累积性，对成果的影响较大，应当设法消除或减弱的。 11、消除系统误差的方法有两种：（1）；（2）。 12、为了提高最后结果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无错误存在，通常要，也就是要进行。 13、测量平差的任务是：（1）；（2）。 14、由偶然误差的对称性和抵偿性可知，误差的理论平均值为。 15、若误差的理论平均值不为0，且数值较大，说明观测成果中含有和。 16、在一定观测条件下进行的一组观测，如果分布较为密集，则表示该组观测质量较 也就是说，这一组观测精度较。 17、在一定观测条件下进行的一组观测，如果分布较为离散，则表示该组观测质量较 也就是说，这一组观测精度较。 18、判定观测误差中粗差的标准是，即超过这个标准的误差就列入粗差，相应的观测值应予以剔除或返工重测。 19、我们把衡量单位长度的精度叫做，一般来说，当观测误差随着观测量的
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对 误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
测量误差和数据处理 （一） 测量与误差 １． 测量 在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的标准物理量通过一定的比较，其倍数即为待测物理量的测量值。测量按测量方式的不同分为直接测量和间接测量两类： ①直接测量（简单测量） 运用量具或仪表能直接得到物理量的数值，称为直接测量。例如，用米尺、游标卡尺、千分尺测量长度；用秒表测时间；用电流表测电路中的电流强度等。它的特点是：测量结果直接得到。 ②间接测量（复合测量） 多数物理量，不便或不能直接测量。但是我们可以先对可直接测量的相关物理量进行测量，然后依据一定的函数关系，计算出待测的物理量，这称为间接测量。例如，要测量一圆柱体的体积Ｖ，可以先用米尺（或卡尺）对直径d 和高度h 进行直接测量，然后根据公式h d V 24 1π=计算出它的体积。 当然一个物理量应直接测量还是间接测力测量，不使绝对的。要根据所有的仪器和测量方法来定。如上例中的圆柱体投入盛有一定量水的量筒中，从液面的上升即可直接得到体积。 ２． 真值和近似真值 物质是客观存在的，有各种特性。反映物质特性的物理量在一定条件下，对应有一个确定的客观真实值。这个数值就称为真值。 从测量者的主观愿望来说，总想测出物理量的真值。然而任何实际测量中是在一定环境下，用一定的仪器、一定的方法，由一定的人员完成的，由于周围环境不理想、测量方法不完善、仪器设备不精密，而且受到测量人员技术经验和能力等因素的限制，使任何测量都不会绝对精确。 测量值与真值之间的差别，称为误差。任何测量都有误差，误差贯穿于测量的全过程。 某一物理量的误差，定义为该量的测量值x 与真值μ之差，即： μδ-=x 由于真值测不出来，误差又不可避免，所以测量的目的硬是：在给定的条件下，求出被测量的最可信赖值，并对它的精确程度给予正确的估计。
测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理 量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内 容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其 数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量, 提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。 第一节测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单 位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同 等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比 较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等, 都是直