2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题（共12小题）
1.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∪B＝（）
A．（﹣1，+∞）B．C．D．
2.设复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（x，y），则（）
A．y＝﹣x B．y＝x
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+（y+1）2＝1
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家
经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”
建设成果显著．如图是2013﹣2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）
A．这五年，2013年出口额最少
B．这五年，2013年出口总额比进口总额少
C．这五年，出口增速前四年逐年增加
D．这五年，2017年进口增速最快
4.下列不等关系，正确的是（）
A．log23＜log34＜log45 B．log23＞log45＞log34
C．log23＜log45＜log34 D．log23＞log34＞log45
5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）
A．21 B．1 C．﹣42 D．0
6.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.函数y＝的图象大致为（）
A．B．
C．D．
8.若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x），则下列说法正确的
是（）
A．g（x）的图象关于对称
B．g（x）在[0，π]上有2个零点
C．g（x）在区间上单调递减
D．g（x）在上的值域为
9.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，圆F2与双曲线C的渐近线相切，
M是圆F2与双曲线C的一个交点．若，则双曲线C的离心率等于（）
A．B．2 C．D．
10.射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数
的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116
11.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：
①平面α分正方体所得两部分的体积相等；
②四边形BFD1E一定是平行四边形；
③平面α与平面DBB1不可能垂直；
④四边形BFD1E的面积有最大值．
其中所有正确结论的序号为（）
A．①④B．②③C．①②④D．①②③④
12.已知函数，则函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为（）
（e是自然对数的底数）．
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（共4小题）
13.已知向量＝（1，1），，且∥，则m的值等于﹣．
14.直线l经过抛物线C：y2＝12x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的长为16，则直线l的
倾斜角等于．
15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足
全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种．
16.已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥A﹣BCD的四个面都相切，球O2
与三棱锥A﹣BCD的三个面和球O1都相切，如此类推，…，球O n与三棱锥A﹣BCD的三个面和球O n
都相切（n≥2，且n∈N*），则球O1的体积等于，球O n的表面积等于．﹣1
三、解答题（共6小题）
17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，．
（1）求B；
（2）若BC边的中线AM长为，求△ABC的面积．
18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光
秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游
学校数404020
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：
（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
19.如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．
（1）证明：A1C⊥AB1；
（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的余弦值．
20.设椭圆C：（a＞b＞0）的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆
C'的半径为，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN与圆C'的位置关系，并证明你的结论．
21.已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的零点x0，以及曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线方程；
（2）设方程f（x）＝m（m＞0）有两个实数根x1，x2，求证：．
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝4cosθ+6sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为（3，1），求|AM|+|AN|．
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）
参考答案
一、单选题（共12小题）
1.【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵，
∴A∪B＝（﹣1，+∞）．
故选：A．
【知识点】并集及其运算
2.【分析】由已知求得z，代入|z﹣1|＝|z﹣i|，求模整理得答案．
【解答】解：由z在复平面内对应的点为（x，y），且|z﹣1|＝|z﹣i|，
得|x﹣1+yi|＝|x+（y﹣1）i|，
∴，
整理得：y＝x．
故选：B．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
3.【分析】正确理解图象带来的信息逐一进行判断即可．
【解答】解：对于A，2013出口额最少，故A对；
对于B，2013年出口额少于进口额，故B对；
对于C，2013﹣2014出口速率在增加，故C错；
对于D，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D对．
故选：C．
【知识点】收集数据的方法、进行简单的合情推理
4.【分析】先作差相减，再利用对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：∵log23﹣log34＝﹣＝＞＞
＝0，
∴log23＞log34，
同理log34＞log45，
∴log23＞log34＞log45．
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
5.【分析】利用等差数列{a n}的通项公式求出d＝1，由此能求出S7．
【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，
∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，
解得d＝1，
∴S7＝7×（﹣3）+＝0．
故选：D．
【知识点】等差数列的前n项和
6.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x，y，i的值并输出变量i的
值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
x＝4，y＝1，i＝0
x＝8，y＝1+1＝2
满足条件x＞y，执行循环体，i＝1，x＝16，y＝2+4＝6
满足条件x＞y，执行循环体，i＝2，x＝32，y＝6+16＝22
满足条件x＞y，执行循环体，i＝3，x＝64，y＝22+64＝86
此时，不满足条件x＞y，退出循环，输出i的值为3．
故选：B．
【知识点】程序框图
7.【分析】由函数为奇函数，排除D；由f（0）＝0，f（1）＞0，排除BC，进而得解．
【解答】解：，即函数f（x）在定义域上为奇函数，故排除D；
又，故排除B、C．
故选：A．
【知识点】函数图象的作法
8.【分析】首先利用函数关系式的平移变换的应用求出g（x）的关系式，进一步利用正弦型函数的性质
的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x）＝sin[2（x﹣）]＝sin（2x﹣）＝sin（2x+），
所以对于选项A：当x＝时，g（x）≠±1，故A错误．
对于选项B：当（k∈Z），整理得，（k∈Z），当k＝1时，x＝，当
k＝2时，x＝时，函数g（x）＝0，故选项B正确．
对于选项C：，所以，故函数在该区间内有增有减，
故错误．
对于选项D：x，所以，所以函数g（x）的值域为[﹣
1，]，故错误．
故选：B．
【知识点】命题的真假判断与应用
9.【分析】设出双曲线的左右焦点，以及渐近线方程，求得焦点到渐近线的距离，以及圆F2的方程，由
向量数量积的坐标表示可得x2+y2＝c2，联立方程组可得M的坐标，代入双曲线的方程，化
简可得b＝2a，由a，b，c的关系和离心率公式可得所求值．
【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为bx﹣ay＝0，bx+ay＝0，可得F2与双曲线C的渐近线的距离为d＝＝b，
可得圆F2的方程为（x﹣c）2+y2＝b2，①
若，即有M（x，y）的方程为x2+y2＝c2，②
联立方程①②可得x＝，y2＝，
代入双曲线的方程即为b2?a2?＝a2b2，
化简可得b2＝4a2，则e＝＝＝，
故选：A．
【知识点】双曲线的简单性质
10.【分析】由题意可得＝1×e﹣7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．
【解答】解：由题意可得，＝1×e﹣7.6×0.8μ，
∴﹣ln2＝﹣7.6×0.8μ，
即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．
∴这种射线的吸收系数为0.114．
故选：C．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
11.【分析】运用正方体的对称性即可判断①；
由平行平面的性质可得②是正确的；
当E、F为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得③正确；
当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，当F与A重合，当E与
C1重合时，BFD1E的面积有最大值，可得④正确
【解答】解：如图则：
对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；
对于②：因为平面ABB1A1∥CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面
CC1D1D＝D1E，∴BF∥D1E，同理可证：D1F∥BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故
②正确；
对于③：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF?平面BFD1E，所以平面BFD′E
⊥平面BB′D，故③不正确；
对于④：当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，故④正确．
正确的是①②④，
故选：C．
【知识点】命题的真假判断与应用
12.【分析】注意到当x≤0时，函数值恒小于0，当x＞0时，函数值恒大于等于0，进而考虑换元后，
通过分类讨论结合数形结合思想得解．
【解答】解：不妨设，，
易知，f1（x）＜0在（﹣∞，0]上恒成立，且在（﹣∞，0]单调递增；
，设，由当x→0+时，g（x）→﹣∞，g（1）＝e﹣1＞0，且函数g（x）在（0，+∞）上单增，
故函数g（x）存在唯一零点x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即，则
，
故当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f2'（x）＜0，f2（x）单减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，
f2'（x）＞0，f2（x）单增，
故＝0，故f2（x）≥0；
令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣et＝0，
当t≤0时，﹣e﹣t﹣et＝0，解得t＝﹣1，此时易知f（x）＝t＝﹣1有一个解；
当t＞0时，te t﹣t﹣1﹣lnt﹣et＝0，即te t﹣t﹣1﹣lnt＝et，作函数f2（t）与函数y＝et如下图所
示，
由图可知，函数f2（t）与函数y＝et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1＞0，t2＞0，
而由图观察易知，f（x）＝t1，f（x）＝t2均有两个交点，故此时共有四个解；
综上，函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为5．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
二、填空题（共4小题）
13.【分析】根据题意，求出+2的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得1+2m＝﹣3，解可得m
的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（1，1），，
则+2＝（1+2m，﹣3），
若∥，则有1+2m＝﹣3，解可得：m＝﹣2；
故答案为：﹣2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
14.【分析】求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式，转化求解直
线的斜率，得到倾斜角．
【解答】解：直线l经过抛物线C：y2＝12x的焦点F（3，0），斜率为k，直线方程为：y＝k（x﹣3），且与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，可得k2（x﹣3）2＝12x，
即k2x2﹣（6k2+12）x+9k2＝0，可得x1+x2＝，
弦AB的长为16，
+6＝16，解得k＝±．
所以，直线的倾斜角为：或．
故答案为：或．
【知识点】抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系
15.【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，②，分析2篇文章
学习顺序不相邻的排法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，在4个视频中任选2个进行学习，有C42＝6种情况，
②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，有A44＝24种情况，其中2篇文章学习顺序
相邻的情况有A22A33＝12种情况，
则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6×12＝72种；
故答案为：72
【知识点】排列、组合及简单计数问题
16.【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n}是以r1＝为首项，公比为
的等比数列，代入计算即可
【解答】解：如图，设球O1半径为r1，…，球O n的半径为r n，E为CD中点，球O1与平面ACD、BCD切于F、G，球O2与平面ACD切于H，
作截面ABE，设正四面体A﹣BCD的棱长为a，
由平面几何知识可得＝，解得r1＝，
同时＝，解得r2＝a，
把a＝6代入的r1＝，r2＝，
由平面几何知识可得数列{r n}是以r1＝为首项，公比为的等比数列，
所以r n＝，故球O1的体积＝r13＝（）3＝π；
球O n的表面积＝4πr n2＝4π×[]2＝，
故答案为π；
【知识点】类比推理
三、解答题（共6小题）
17.【分析】（1）根据正弦定理化简，求出cos B，得出角B；
（2）由余弦定理求出c，再利用面积公式求出面积即可．【解答】解：（1）在△ABC中，，且，
∴，
∴，
又∵sin B≠0，∴．
∵B是三角形的内角，∴；
（2）在△ABM中，，
由余弦定理得AM2＝c2+（BM）2﹣2c?BM?cos B，∴，
∵c＞0，∴．
在△ABC中，a＝2，，，
∴△ABC的面积．
【知识点】正弦定理、余弦定理
18.【分析】（1）学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，若这3所学
校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，利用n次独立重复试验中事件A
恰好发生k次的概率计算公式能求出这两种类型都有学校选择的概率．
（2）X可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学
期望．
【解答】解：（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，
则这两种类型都有学校选择的概率为：．
（2）X可能取值为0，1，2，3．
则，
，
，
，
∴X的分布列为：
X0123
P
∴．
或解：∵随机变量X服从，∴．
【知识点】离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差
19.【分析】（1）连结AC1．证明A1C⊥AC1．BC⊥AC，B1C1⊥A1C．得到A1C⊥平面AB1C1，然后证
明A1C⊥AB1．
（2）取A1C1的中点为M，连结CM．以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间
直角坐标系，求出平面C1AB1的一个法向量，平面ABB1的法向量，利用空间向量的数
量积求解二面角C1﹣AB1﹣B的余弦值即可．
【解答】（1）证明：连结AC1．
∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1．
∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面AA1C1C．
又∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1C1C，∴B1C1⊥A1C．
∵AC1∩B1C1＝C1，
∴A1C⊥平面AB1C1，而AB1?平面AB1C1，
∴A1C⊥AB1．
（2）取A1C1的中点为M，连结CM．
∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，∴CM⊥A1C1，CM⊥AC．
又∵CM⊥BC，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图．
设CB＝1，AC＝2CB＝2，AA1＝AC，∠A1AC＝60°，
∴C（0，0，0），A1（1，0，），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（﹣1，1，）．
由（1）知，平面C1AB1的一个法向量为＝．
设平面ABB1的法向量为，则并且，
∴．
令x＝1，得，即＝．
∴＝＝＝，
∴二面角C1﹣AB1﹣B的余弦值为：．
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
20.【分析】（1）设椭圆的半焦距为c．由椭圆的离心率为，设圆C'的半径为r，，
转化求解a，b，
然后求解椭圆C的方程．
（2）M，N关于原点对称，|PM|＝|PN|，OP⊥MN．设M（x1，y1），P（x2，y2）．当直
线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为y＝kx+m．由直线和椭圆方程联立得x2+2
（kx+m）2＝6，利用去奠定了以及向量的数量积，点到直线的距离公式推出结果即可．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c．由椭圆的离心率为知，．
设圆C'的半径为r，则，
∴，解得，∴，
∴椭圆C的方程为．
（2）∵M，N关于原点对称，|PM|＝|PN|，∴OP⊥MN．
设M（x1，y1），P（x2，y2）．
当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为y＝kx+m．
由直线和椭圆方程联立得x2+2（kx+m）2＝6，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
∴．
∵＝（x1，y1），＝（x2，y2），
∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝
＝，
∴m2﹣2k2﹣2＝0，m2＝2k2+2，
∴圆C'的圆心O到直线PM的距离为，∴直线PM与圆C'相切．
当直线PM的斜率不存在时，依题意得N（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1）．
由|PM|＝|PN|得|2x1|＝|2y1|，∴，结合得，
∴直线PM到原点O的距离都是，
∴直线PM与圆C'也相切．
同理可得，直线PN与圆C'也相切．
∴直线PM、PN与圆C'相切．
【知识点】椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系
21.【分析】（1）求出函数的零点，进而求得切线斜率，由此即可得到切线方程；
（2）先证当x∈（﹣1，1）时，2e（x+1）＞f（x），再利用分析法求证．【解答】解：（1）由，得x＝±1，
∴函数的零点x0＝±1，，f'（﹣1）＝2e，f（﹣1）＝0．
曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝2e（x+1），，f（1）＝0，
∴曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为；
（2）证明：，
当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）
＜0．
∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为
．
由（1）知，当x＜﹣1或x＞1时，f（x）＜0；当﹣1＜x＜1时，f（x）＞0．
下面证明：当x∈（﹣1，1）时，2e（x+1）＞f（x）．
当x∈（﹣1，1）时，．
易知，在x∈[﹣1，1]上单调递增，
而g（﹣1）＝0，
∴g（x）＞g（﹣1）＝0对?x∈（﹣1，1）恒成立，
∴当x∈（﹣1，1）时，2e（x+1）＞f（x）．
由得．记．
不妨设x1＜x2，则，
∴．
要证，只要证，即证x2≤1﹣m．
又∵，
∴只要证，即．
∵，即证．
令φ（x）＝e x﹣（x+1），φ'（x）＝e x﹣1．
当时，φ'（x）＜0，φ（x）为单调递减函数；
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）为单调递增函数．
∴φ（x）≥φ（0）＝0，
∴，
∴．
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程
22.【分析】（1）由曲线C的方程的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）把直线代入曲线C得．由此能求出|AM|+|AN|．
【解答】解：（1）曲线C的方程ρ＝4cosθ+6sinθ，
∴ρ2＝4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2＝4x+6y，
即曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13．
（2）把直线代入曲线C得，
整理得，．
∵，
设t 1，t2为方程的两个实数根，则，t1t2＝﹣8，∴t1，t2为异号，
又∵点A（3，1）在直线l上，
∴．
【知识点】参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程