题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名:
学院: 数学与统计学院
专业: 数学与应用数学
年级班级: 2011级1班
指导教师: 刘伟
2015年 5 月 31 日
毕业论文（设计）作者声明
本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。
本毕业论文内容不涉及国家机密。
论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用
作者单位:数学与统计学院
作者签名:
2015 年5 月31 日
目录
摘要 (1)
引言 (2)
1．在一阶方程中的应用 (3)
1.1变量分离方程 (3)
1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3)
1.3一阶线性方程 (7)
1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8)
1.5伯努利方程 (9)
1.6黎卡提方程 (10)
2．在n阶微分方程中的应用 (10)
2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10)
2.2 非齐次线性微分方程 (12)
3．变系数齐次方程 (13)
3.1尤拉方程 (13)
3.2二阶变系数线性方程 (13)
3.3三阶变系数微分方程 (14)
结束语 (14)
参考文献 (16)
致谢 (17)
变换法在求解常微分方程中的应用
摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用.
关键词：常微分方程；变量分离；变换法；
Application of transform method in solving the
differential equation
Abstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations.
Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method
引言
常微分方程是在解决实际问题的过程中产生的, 而在对它研究的过程中又促进了许多实际问题的研究,与此同时也对其他学科的发展也起到了十分积极的作用. 微分方程也在很多学科领域里中有着极其重要的应用,如化学中反应的稳定性问题, 飞机导弹飞行时飞行状态的稳定性问题, 电子装置的设计等等.这些问题都可以化成常微分方程的求解问题, 或者化为研究解的性质问题, 微分方程在实际问题中的背景广泛, 应用性强.
在解决数学问题的过程中, 变换法的应用占有着重要的地位, 也是在数学的各个方面的转化运用能力的一种体现形式,本文以变换法为主线, 就一些典型的微分方程的变换法求解,对一阶常微分方程在[1-4]中给出了计算方法与类型, n阶常微分方程在[5-7]中涉及以及一些变系数常微分方程的变换法在[8-13]中给出初步的探讨, 灵活运用变换法达到更加简单直接的求解一些常微分方程的目的, 以帮助我们进一步的理解基本概念, 提高我们的理解能力、解题能力和把理论用于实践的能力.
1 在一阶方程中的应用
变换法在解微分方程中应用的实质是将我们不熟悉的微分方程通过变换法化为我们熟悉的，或者说是容易求解的微分方程，然后解出该方程, 最后将变量带回，以达到将一般的方法难以解出的方程简单的求解出的目的。
一阶常微分中许多方程的求解问题都可以转化为求解变量分离方程， 多种一阶微分方程都可通过变换法等方法， 最终转换成变量分离或者其它可求解类型的微分方程方程, 进而求出结果, 以下我们以可以转化为变量分离方程的微分方程为例子简单的阐述变量变换的应用.
步骤：（1）通过变换法将方程转化成变量分离方程. （2）分离变量.
（2）对方程两边同时积分, 整理通解. （3）根据初始条件来得到方程的特解. 1.1变量分离方程
我们定义变量分离方程为形如
)()(x g x f dx
dy
= 的微分方程为变量分离方程.
运用变量分离的方法将原方程化为
dx x f y g dy
)()
(= 的形式，然后将该方程左右两边进行积分，很容易就可以求解该方程，这是最基本的微分方程的类型，后面的许多其他类型我们最终也会通过适当的变换转化成该类型进行计算.
1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： 形如
)(x
y
f dx dy =，的方程称为齐次方程. 通过变换法引入新变量令x
y
u =
或ux y =带入得 u x dx
du
u f +=
)(， 整理一下变为
x
u u f dx du 1])([-=， 可看做变量分离方程，分离变量得
x
du
u u f du =-)(.
两端积分后得u ，再将x
y
u =
带入即可得到齐次方程的解. 一些方程可以通过简单的变量代转化为齐次方程，然后在用解其次方程的方式即可求解. 例 方程满足
)(2221
11z
c y b x a c y b x a g dx dy ++++=, 的形式，由于系数的不同可以分成三种情况进行讨论，解题过程如下： （1）当021==c c 时，原方程即为
)()(
221
1x y f x
y b a x y b a g dx dy =++=, 为齐次方程,再令y
x
u =
即为变量分离方程. （2）当21,c c 不全为零且21
21b b a a =（即行列式02
211=b a b a )时令λ==2121b b
a a 则原方程
可化为
)())((222
221
22y b x a f c y b x a c y b x a g dx dy +=++++=λ()()(
21x f c x c x g =++λ), 再令y b x a u 22+=易有
dx
dy
b a dx du 22+=. 代入上式可得
)(22u f b a dx
dy
+=, 即为变量分离方程计算依照前文所述即可得到结果.
（3）当21,c c 不全为零且02121≠=b b a a （即行列式
02
121≠b b a a ）
时联立方程组
??
?=++=++.
0,0222111c y b x a c y b x a
不妨令其解为),(βα，由于21,c c 不全为0，所以0,0≠≠βα. 进行坐标变换令
???-=-=,
,
βαy Y x X
原式转化为
)
(221
1
2211X Y
f b
Y
X a b Y X a Y b X a Y b X a dX dY =++=++=, 为齐次方程，利用分离变量的方法可以求解. 例1 解方程y
x y x dx dy 2332++=. 解: 令x
y
u =
(ux y =)代入可得 3
2)1(22+-=u u dx dy x , 分离变量，左右同时积分，化简可得
)1()1(4+=-u c x u ，
将原变量带回，易得到方程的通解
)()(5x y c x y +=-.
例2 解方程
5
644
32++++=y x y x dx dy 解: 令y x u 32+=带入可得
5
2432+++=u u dx dy . 化简可得分离变量方程
5
222
7++=u u dx dy .
分离变量左右两边积分，化简后得
)2
7
(14)722ln(9c x u u +-=+
, 将y x u 32+=带回，可得到原方程的通解
)2
3
3(14)72232ln(9c x y y x +-=+
+. 例3 解方程
8
237
32-+-+=y x y x dx dy 解: 由???=-+=-+08230
732y x y x , 解得???==1
2y x , 作如下坐标变换:
??
?-=-=12y Y x X 得?
??+=+=12
Y y X x , 代回可得
Y
X Y
X dX dY 2332++=, 左右积分后可得
)()(5X Y c X Y +=-.
代回原变量得原方程的通解
)3()1(5-+=+-x y c x y .
例4 解方程22342y x dx
dy
xy
+=. 解: 左右同时除以xy 将它化做齐次型：
)(23)(223422x
y y x xy y x dx dy +=+=. 令
x
y
v =
，vx y =，dx dv x v dx dy +=，y x v =1, 带入得到
v v dx dv x
v 2
32+=+, 即
v
v v v dx dv x 24222+=+=.
于是
??=+dx x dv v v 1
42,
可得到
c x v ln ln )4ln(2+=+,
得
x c v =+42
即 x c x
y =+422
.
3224kx x y =+∴（由于常数的任意性）.
1.3一阶线性方程： 一阶线性方程
)()(x q y x p dx
dy
=+ 其中)(x p ，)(x q 为已知函数, 0)(=x q 时为变量分离方程该方程通解为
?=-dx
x p ce y )(,
当0)(≠x q 时用常数变异法作代换
?=-dx x p e x c y )()(,
代入原方程得
?=-dx x p e x q dx
x dc )()()
(. 从中解出)(x c ，进而完成原方程求解，最后可求得其通解为：
))(()()(c dx e x q e y dx
x p dx
x p +?
?
=?（这里的c 为任意常数）.
例1 解方程
y
x dx dy +=1. 解: 令y x u +=所以
11+=u dx du ，即u
u dx du 1+=. 变量分离，有
dx du u u
=+1
, 两端积分
C x u u +=+-|1|ln .
以y x u +=带入上式得到通解为
0ln |1|ln =+++-C y x y .
1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 1）
1)(-=a a x x
y
f dx dy （a 为已知实数）形式的方程. 做变换a x
y
u =
（a ux y =）带入得 11)(--=+a a a
x u f aux x dx
du , 即为
1))((--=x au u f dx
du
, 是变量分离方程两边积分，最后变量带回便可. 2）形如
)(xy f x y dx dy =，)(xy f x y dx dy =+，)(2xy f dx
dy x =，形式的方程. 我们以最后一个为例，做变换xy u =（ux y =）有
2x
u
x dx du dx dy -=. 带入有
u u f x dx
du +=)(3
, 是变量分离方程接下来将两边积分，然后将变量带回即可得到这类方程的通解. 3）形如
)()(x
y
f x
g x y dx du +=形式的方程. 通过变量变换x
y
u =
，代入可化为 )()(u f x
x g dx du = 的形式,是变量分离方程，两边积分然后带回变量即可. 4)形如
)(cz by ax f dx
dy
++=形式的方程： 通过变量变换
cz by ax u ++=,
可以化作变量分离方程,两边积分将原变量带回，即可得到方程的通解. 1.5伯努利方程 形如
n y x q y x p dx
dy
)()(+=, )(),(x q x p 为关于x 的连续函数, ≠n 0, 1且是常数.
应用变量代换的方式，对于0≠y , 将n y -乘至方程的左右两端可以得到方程
)()(1x q x p y dx
dy
y n n
+=--. 做变量变换：n y z -=1,带入易有
dx
dy y n dx dz n --=)1(, 将上式代入变形方程
)()(1x q x p y dx
dy
y n n
+=--. 可以得到
)()1()()1(x q n z x p n dx
dz
-+-=, 是线性微分方程，可按前面面介绍的线性方程的求解方式得到通解.
例1 求方程
2xy x
y
dx dy -=的通解 解: 这是2=n 时的伯努利方程左右同时乘以2-y ,再令1-=y z 易得
dx
dy y dx dz 2--=, 代入原方程得
x z x
dx dz +-=1
, 是线性微分方程求得它的通解为
C x z +=2
2.
代回原变量y ，得到：
C x z +=2
2（C 为任意常数）,
得到了原方程的通解. 方程还有解0=y . 1.6黎卡提方程 形如
)()()(2x r y x q y x p dx
dy
+=+ 的方程我们称之为黎卡提方程,在一般的情况下亦不能使用用初等积分法求解. 但若知道它的一个特解为)(1x y ,则能作求解, 先做变换)(1x y a y +=, 代入原方程, 可以转化为
21)()]()()(2[z x P z x Q x y x P dx
dz
++= 的伯努利方程形式, 从而能对该形式的方程用初等积分法来求解.
若方程满足
m bx ay dx dy
=+2（a,b,m 均为常数，且0≠a 时）的形式： 则当124--=k k m , 1
24+-k k
, 0, 2-( ,2,1=k 时)可经过变量变换转化为可分离变
量方程.
2 在n 阶微分方程中的应用
2.1 在n 阶非齐次线性微分方程： 形如
)()()()(1111t f x t a dt
dx
t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (),,2,1)((n i t a i =，)(t f 都为区间b t a ≤≤上的连续函数)的方程我们称之为n 阶非齐次线性微分方程.
1)形如0),()1()(=-n n y y F 的形式的高阶方程：
做变量代换令1-=n y z ，如果能从中解出n n y y f =-)(1，带入有则有
z z f =)(.
然后分离变量两侧积分可求出通解. 如果可以得到解),(1c x z ψ=，则有
),(11c x y n ψ=-,
接着进行1-n 次积分可求得通解.
如果不能解出n y 则通过变量代换引进参数t 令
)
1()(-=n y
t f , )
()(n y
t g =， )
()()()1(t g dt
t f y dy dx n n ==-,
可以求出方程参数形式的通解.
例1 求方程04
455=-xdx
y
d dx y d 的解. 解: 令u dx
y
d =44，方程为
01
=-u x
dx du ， 这是一阶方程. 积分后得
cx u =,
即
cx dx u
d =4
4, 继续积分于是：
54233241c x c x c x c x c u ++++=(其中54321,,,,c c c c c 为任意常数).
2)形如0),,,,()()1()(=+n k k y y y x F 的形式：
做变量代换)()(x f y k =, 带入可得到关于)(x f 的k n -阶方程,
0))(),(),(,()('=-x f x f x f x F k n 若能求的方程的通解),()(C x q x f =, 将此解进行k 次积分就能得出原方程的通解. 3)形如0),,,()('=n y y y F 的形式：
做变量代换)('y f y =则可以将方程转化为关于)(x f 的1-n 阶方程， 某些
方程便能求出齐解, 热别是二阶方程),,('''y y y F 通过上述代换可以化为一阶方程, 然后利用一阶方程求解的方式来解决问题. 例2 求解方程0)(2'''=+x xx 解: 令y x ='，可得
dx
dy
y
x ='',
于是可化为
02=+y dx
dy
xy
, 得
0=y 或 0=+y dx
dy
x
. 积分可得
x
c y =
， 所以
)2(1212c c c t c x =+=.
为原方程的通解.
2.2 非齐次线性微分方程
我们讨论如下的n 阶非齐次线性微分方程
)()()()(11
11t f x t a dt dx
t a dt
x d t a dt x d n n n n n n =++++--- , 其中),,2,1)((n i t a i =及)(t f 都是区间b t a ≤≤上的连续函数.
例 1 求方程t
x x cos 1
'''=+的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为t t sin ,cos .
解: 令t t c t t c x sin )(cos )(21+=, 将它代入方程， 则可得决定)('1t c 和)('
2t c 的
两个方程：
0)(sin )(cos '
2'1=+t tc t tc ,t
t tc t tc cos 1
)(cos )(sin '2
'1=+- 解得
t
t t c cos sin )('1-
=，1)('
2=t c , 由此有
2211)(,cos ln )(γγ+=+=t t c t t c .
于是原方程的通解为：
t t t t t t x sin cos ln cos sin cos 21+++=γγ（其中21,γγ为任意常数）.
3 变系数齐次方程
如今关于高阶变系数线性微分方程我们不能找到其一般的解法，所以得到一般解法是很困难, 或许是不可能的, 因此, 以下只就二阶与三阶变系数线性方程进行研究. 3.1尤拉方程
（0'1)1(11)(=+++--+y a xy a y x a y x n n n n n n ）（n a a a ,,21是常数）我们可以通过变量代换将t e x =带入, 就能将尤拉方程化成常系数其次微分方程,
0'1)1(1)(=++++--y b y b y b y n n n n （n b b b ,,,21 为常数）求出该方程的解然后将变量带回即可.
3.2二阶变系数线性方程：
0)()('''=++y x q y x p y 其中)(),(x q x p 是关于x 的连续函数.
令)()(x u x a y =()(x a 是关于x 的待定函数)则可以将该二阶变系数线性方程转化,如果最终需要转化为常数方程0''=+cu u 还需要满足的条件为
c x p x p x q =--
)(2
1
)(41)('2是（c 为常数）. 例1 求0)4
1
(2'''2=-++y x xy y x 的通解, 已知0''=+u u 的通解为
x c x c u s i n c o s 21+=.
解: 能将原方程转化为0)41
1(12'''=-++y x
y x y , 则
121
41411)(21)(41)(222'2=+--=--x
x x x p x p x q (为常数). 令
x
u dx x y 1)121exp(=-=?代入得0'
'=+u u , 易求出其通解
x c x c u s i n c o s 21+=. 代回原变量y 得原方程的通解 x
x c x
x c y s i n c o s 2
1
+=.
3.3三阶变系数微分方程：
0)1()1()(1)(3
20221222233=++++++y x a dx dy x x a dx y
d x x a dx y d （0a 为常数）. 能使三阶变系数方程0)1()1()(1)(3
20221222233=++++++y x a dx dy x x a dx y
d x x a dx y d , 作变换t x tan =化为常系数微分方程
001
2
2233=+++y a dt dy c dt y d c dt y d . 需要增加的条件是：
???==+++=.6)(,
226)(221221c x x a c x c x x a .
例2 将方程
0)1(1
)1(6163
222222233=++++++y x dx dy x x dx y d x x dx y d 化为常系数微分方程。
解: 对题中方程作三角变换t x tan = 易得到方程组
?
??=+++=.6,
226621222c x c x c x x
据上述条件可知0,221=-=c c ,可化为为常系数微分方程：
023
3=+-y dt dy dt y d . 结束语
通过以上对几类常微分方程的分析，不难看出，变换法的使用，是我们解微分方程的重要方法之一，而恰当的使用变换法又可以极大地简化微分方程，使方程形式变的相对简单，求解相对容易. 因此, 我们在使用变换法来求解微分方程时, 应当根据方程的特点, 依照具体问题来进行具体分析，然后将方程化为易于求解的类型.
微分方程在很多领域中都有这重要的应用，而变换法在常微分方程的求解过程起到十分重要作用， 因此对变换法进行深入的探讨以求更加简单、正确的的求解常微分方程显得尤为重要. 本文就常微分方程的变换法进行初步的探讨达
到更加简单直接的求解一些常微分方程的目的, 以帮助我们进一步的理解基本概念, 提高我们的理解能力、解题能力和将理论用于实践的能力.
此方法也可以说是变换数学思想的一种灵活运用，所以说在使用时，应根据方程的特点，具体问题具体分析，才能将方程化为易于求解的类型从而起到简化计算和求解微分方程的作用.
参考文献
[1]王高雄.常微分方程（第四版）[M].高等教育出版社，2006.
[2]陈湘涛. 一类一阶非线性微分方程的求解方法[J]. 数学理论与应用, 1997, 17( 4) : 96- 98.
[3]张小惠, 袁有霞解一阶微分方程的变换法[ J ]. 商丘职业技术学院报2006(2): 11-12.
[4]张小惠, 王亚南浅谈用一阶变换解一阶微分方程[ J ]导刊. 科技论坛, 2007
(4): 153.
[5]王高雄，周之铭，王寿松.常微分方程（第二版）[M]. 北京高等教育出版社，1983.
[6]魏俊杰，潘家齐，蒋达清。常微分方程（专升本）[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[7]王树禾.微分方程模型与混沌[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1999.
[8]王兴涛.常微分方程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003.
[9]钱祥征. 常微分方程解题方法[M] . 长沙: 湖南科学技术出版社, 1984:
242-245.
[10]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，1991.
[11]东北师范大学数学系微分教研室.常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社，1982.
[12]姜磊. 几类应用变量带换法求解的常微分方程[J]. 成都纺织高等专科学校学报, 2005(4): 19-20.
[13]高素志，马遵路，曾昭著，陈平尚. 常微分方程[M]. 北京：北京师范大学出版社，1988.
致谢
在论文写作的过程中,刘伟老师从论文的选题，资料的收集到论文的书写等方面给予了悉心的指导.尤其是在论文设计的初期以及论文后期处理这两个方面给予了大量帮助,让我克服了设计中遇到的诸多问题.在老师提供的许多知识和方法的助益下,我顺利的完成本论文的撰写.请允许我向关心我和支持我论文设计的老师们致以最诚挚的感谢!
最后，我也要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢。
题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名: 学院: 数学与统计学院 专业: 数学与应用数学 年级班级: 2011级1班 指导教师: 刘伟 2015年 5 月 31 日
毕业论文（设计）作者声明 本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。 本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。 本毕业论文内容不涉及国家机密。 论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用 作者单位:数学与统计学院 作者签名: 2015 年5 月31 日
目录 摘要 (1) 引言 (2) 1．在一阶方程中的应用 (3) 1.1变量分离方程 (3) 1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3) 1.3一阶线性方程 (7) 1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8) 1.5伯努利方程 (9) 1.6黎卡提方程 (10) 2．在n阶微分方程中的应用 (10) 2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10) 2.2 非齐次线性微分方程 (12) 3．变系数齐次方程 (13) 3.1尤拉方程 (13) 3.2二阶变系数线性方程 (13) 3.3三阶变系数微分方程 (14) 结束语 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17)
变换法在求解常微分方程中的应用 摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用. 关键词：常微分方程；变量分离；变换法； Application of transform method in solving the differential equation Abstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations. Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)
上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋
于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
§2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种. 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换 为 (2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示 为 (2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)上式为复变函数积 分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为
(2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为， 脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因 此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分 下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其 积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 dt d ，2 s 代替 2 2dt d ，…就可得到。 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下： （1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程） （2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。 （3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。 （4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。 举例说明 【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压 )0(c u 。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。 解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。故网络微分方程为 ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为 )(t u u dt du RC r c c =+ （2-44） 对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式s u s U r 0)(= 代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式
拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解. 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]. 若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]. 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt
=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换. 解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt =[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p2+ω2) (p＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p2+ω2) (p＞0) (4) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求
變換解微分方程 題過程: 分方程 題 02///=--y y y …..(*) 0)0(,1)0(/==y y 式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {=--}2///y y y L }0{ 性性質，得 L {}//y - L {}/y -2 L {0}=y 2L {)}(t y -s y sy --)0()0(/L 2)0()}({-+f t y L 0)}({=t y 始條件，得L )}({t y 之代數方程 2s L )}({t y s -L 2)}({-t y L 1)}({-=s t y --------- (a) 數方程(a)，得 簡 單 L 1-L ODE L {})()(s t y 之代數方程或低階ODE )(t y L {})()(s t y
L )}({t y 21 2---=s s s 上式兩邊做反拉普拉斯變換，得 =) L -1 {L {)(t y }}= L -1 ??????---212s s s ??? ??++??? ??-11322131s s 及L {} at e = a s -1 ， 解為 =)t 31 L -1 ??????-21s + 32 L -1 ??????+11s 31= +t e 2 32 t e - 題t y y 2sin //=+ , …..(**) 1)0(,2)0(/==y y *)式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {} =+y y // L {}t 2sin 換的微分性質以及L 22}{sin a s a at += ，得 L {}y +--)0()0(/y sy L 42 }{2+=s y 入初始條件，得L )}({t y 之代數方程 )1+L {}y 42122+=--s s --------- (b) 代數方程(b)，得 {}y ??? ??+-??? ??+++=+++++=4132113512)4)(1(6822222223s s s s s s s s s 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 t t t 2sin 31sin 35cos 2-+ (由 L 22}{sin a s a at += ，L 22}{cos a s s at += )
第7章 常微分方程与拉普拉斯变换 7.1.1(单项选择) 微分方程x y y y sin 2='+''是 （ ） A ．一阶线性方程 B ．一阶非线性方程 C ．二阶线性方程 D ．二阶非线性方程； (难度:A;水平:a ) 7.1.2(单项选择) 微分方程0=''y 的通解是 （ ） A ．C y = B ．Cx y = C ．x C x C y 21+= D ．21C x C y +=； (难度:B;水平:a ) 7.1.3(单项选择) 微分方程x y sin -=''的通解为 （ ） A ．x y sin = B ．21sin C x C y += C ．21cos C x C x y ++= D ．21sin C x C x y ++= (难度:C;水平:c ) 7.2.1(填空) 用拉氏变换法解常系数线性齐次微分方程得出的解为 。（填“通解” 或“特解”） (难度:A;水平:a ) 7.2.2(填空) 若L[f （t ）]=F （P ），则L[f ’（t ）]= ， L[f ’’（t ）]= 。 (难度:A;水平:a) 7.2.3(填空) L -1[4/（P 2+4P+20）]= 。 (难度:C;水平:c) 7.2.4(填空) 线性方程组有解的充要条件是 。解的个数的结论是： 如果 ，则方程组有惟一解。如果 ，则方程 组有无穷多个解。如果 ，则方程组无解。 (难度:B;水平:b ) 7.2.5(填空) 微分方程n my y =+'（其中n m ,为常数，且0≠m ），则满足条件()00=y 的 特解为 。 (难度:B;水平:b ) 7.2.6(填空) 微分方程 满足条件的通解 为 . (难度:C;水平:c ) 7.3.1(判断) 方程的阶数即未知函数导数的最高阶数.( ) (难度:A;水平:a) 7.3.2(判断) x y =，则1='y ，0=''y ，于是1='+''y y ，所以x y =是方程的解.（ ） (难度:B;水平:b ) 7.4.1(计算) 求的通解. (难度:A;水平:a )
例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt 这个积分在p> a时收敛,所以有 L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p > a) (1) 例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt) =-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt 根据罗必达法则, 有 lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e 上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0 因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt 2 -pt +m 2 =-[a/p e p ]o =a/p (p > (2) 0) 例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt 2 2 -pt +m =[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 0
2 2 2 =3 /(P +3 ) (p > 0） ⑶ 用同样的方法可求得 2 2 L[cos 3t]=p/(p +3 ) (p > 0) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四 拉普拉斯变换的应用 2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利 用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初 始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。 而且，如果所有初始条件都为零，那么求 取微分方程的拉氏变换式就更为方便， 只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 —,s 2 代替 dt dt 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下: d 2 …就可得到。
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。 拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为 L[f(t)]=F(s)= 式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法 F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。 拉普拉斯变换的基本性质 本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 一、唯一性 定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一 一对应关系。根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之， 根据，可以唯一的确定时间函数。 唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。 二、线性性质 若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为 和，和是两个任意常数，则有
证根据拉氏变换的定义可 根据拉氏变换的定义可得 例求的拉氏变换。 解 三、时域导数性质（微分性质） 例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则） 例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质） 作业：书后习题1、2、3、4。 课后记事： 注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。 常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。 8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页） 教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。 教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。 教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法，各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。 教学方法：1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。2、具有复根情况下如何求反变换。3、具有重根情况下如何求反变换。4、
目录 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华 摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含 特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界 与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收 敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换 式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =, 则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=, 1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=. ⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.
创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验 [学习目标] 1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)； 2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解； 3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换； 4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。 一、常微分方程(组) Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )， 其中自变量是X 。 DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。 DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的通解。 DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。 例1 解下列常微分方程(组)： 5 2 (1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ， (3) x 1 (x x ) y 解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)， y[x]，x] Out[1] = y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1] In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x] 求满足初始条件y ( x o ) = y o (4) 的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。 Out[2]={{ y[x] ｝， {y[x]
拉普拉斯变换就是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法、其基本思想就是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解、 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]、 若F(p)就是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]、 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a就是常数)的拉氏变换、 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a就是常数)的拉氏变换、 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt
=-[a/p 2e -pt ]0+∞=a/p 2(p ＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换、 解 L[sinωt]=∫0+∞sinωte -pt dt =[-1/(p 2+ω2) e -pt (psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p 2+ω2) (p ＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p 2+ω2) (p ＞0) (4) 二 拉普拉斯变换的基本性质 三 拉普拉斯变换的逆变换 四 拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法就是解线性微分方程的一种简便方法,利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程,在利用现成的拉普拉斯变换表(参见附录一的附表1),即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点就是在求解微分方程时,可同时获得的瞬态分量与稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解就是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值,这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且,如果所有初始条件都为零,那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便,只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt d ,2s 代替
目录 引言 (1) 1 拉普拉斯变换以及性质 (1) 1.1拉普拉斯变换的定义 (1) 1.2拉普拉斯变换的性质 (2) 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3) 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (4) 3.1初值问题与边值问题 (4) 3.2常系数与变系数常微分方程 (5) 3.3含 函数的常微分方程 (6) 3.4常微分方程组 (7) 3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (7) 3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (11) 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (12) 4.1齐次与非齐次偏微分方程 (12) 4.2有界与无界问题 (15) 5 综合比较，归纳总结 (19) 结束语 (20) 参考文献 (20) 英文摘要 (21) 致谢 (21)
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华 摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯 变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的 某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式 为函数()f t 的Laplace 变换式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件:
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分0 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内收敛，则 此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的拉氏变 换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00 []()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =-=-+? ?? 二、单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电 流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即 t t Q t t Q dt t dQ t i t ???) ()(lim )()(0-+== →，
精心整理 目录 引言 (1) 1 拉普拉斯变换以及性质 (1) 1.1拉普拉斯变换的定义 (1) 1.2拉普拉斯变换的性质 (1) 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3) 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3) 3.1初值问题与边值问题 (3) 3.2常系数与变系数常微分方程 (4) 3.3含 函数的常微分方程 (5) 3.4常微分方程组 (6) 3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6) 3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9) 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10) 4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10) 4.2有界与无界问题 (11) 5 综合比较，归纳总结 (14) 结束语 (15) 参考文献 (15) 英文摘要 (21) 致谢 (16) 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华
摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收敛， 则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换式.记为 ()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为 1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得 c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 1.2 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,
Laplace 变换在微分方程(组)求解例 引言 Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质. Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞ -?对s 的某一取值围是收敛的.则称 ()F s =()+0st e f t dt ∞-? 为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =????. 性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在. 性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有 ()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+???????????? 其中α和β是常数. 性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则 ()()()0L f t sL f t f '=-????????
或更一般地，有 ()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---??'=----??????. 性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =????,则 ()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞ -'=-=-????? 或一般地有 ()()()()()()011n n n n st n F s t e f t dt L t f t +∞ -??=-=-???. 主要结论及推导 对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到 ()()()0st F s t f t e dt +∞ -'=-? （*） 即 ()()()L t f t F s '-=???? 再对（*）式求导，可得 ()()2L t f t F s ''??=?? 在一般情况下，对于任一正整数n ，有 ()()()1n n n n d L f t F s ds ??-=?? 即 ()()()1n n n n d L t f t L f t ds ??=-?????? 从而 ()()()1n n n m m n d L t f t L f t ds ????=-???? （1） 对性质3及（1）式，可得 ()()L x t X s =????