高中数学典型题型与解析
一、选择题
1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值
1
4
B ．最小值14
C ．最大值
212
- D ．最小值54-
2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四
位同学分别给出下列四个结果：①2
6C ；②6
65
64
63
62C C C C +++；③726
-；④2
6A ．其中
正确的结论是（ ）
A ．仅有①
B ．仅有②
C ．②和③
D ．仅有③
3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①
a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a
→的坐标可以是（-3，0）或（0，
6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4. 不等式组?
??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（-1，3）
B ．（-3，1）
C ．（-∞，1） （3，＋∞）
D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2
)(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角
的取值范围为[0，4π
]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21
|a
b -
6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有
0)
()(2
121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ）
A ．)5()3(->f f
B ．)5()3(-<-f f
C ．)3()5(f f >-
D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ）
A ．
R R ?3
π3
4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ）
A ．
a 43 B ．a 45 C ．4
3a
D ．
a 410 9. 锐角α、β满足β
α
βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ）
A ．2π≠
+βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2
π=+βα
10. 若将向量a ＝（2，1）转绕原点按逆时针方向旋转
4
π
得到向量b ，则向量b 的坐标为（ ） A ．22(-
，)223- B ．22(，)223 C ．223(-，)2
2
D ．223(，)22-
11. 若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶42
2
=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆1
4
92
2=+y x 的交点个数（ ）
A ．至多一个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
12. 在椭圆22
22
1x y a b +=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有 （ ）
Ａ．４个或６个或８个 Ｂ．4个 Ｃ．6个
Ｄ．8个
13. 对于任意正整数n ，定义“n 的双阶乘n!!”如下：
当n 是偶数时，n!!=n ·(n-2)·(n-4)……6·4·2； 当n 是奇数时，n!!=n ·(n-2)·(n-4)……5·3·1
现在有如下四个命题：①(2003!!)·(2002!!)=2003!；②2002!!=21001
·1001!；
③2002!!的个位数是0； ④2003!!的个位数是5. 其中正确的命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
14. 甲、乙两工厂元月份的产值相等，甲工厂每月增加的产值相同，乙工厂的产值的月增长率相同，而７月份甲乙两工厂的产值又相等，则４月份时，甲乙两工厂的产值高的工厂是 （ ）
Ａ．甲工厂 Ｂ．乙工厂 Ｃ．一样 Ｄ．无法确定
15. 若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a
，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）
A ．123x x x <<
B ．312x x x <<
C ．132x x x <<
D ．231x x x <<
16. 现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（ ）．
A ．4.6米
B ．4.8米
C ．5.米
D ．5.2米 17. 定义
12n
k
i i i n k i
a
a a a a ++==++++∑ ，其中,i n N +∈，且i ≤n ．若
2
3
200320032003
()(1)(3)k
k k
i
i k i f x C
x a x
-===--=∑∑则2003
1
k k a =∑的值为 ( )
A ．2
B ．0
C ．-1
D ．-2
18. 设实数m 、n 、x 、y 满足a n m =+22，b y x =+2
2，其中a 、b 为正的常数，则ny my +的最大值是（ ）
A ．2b a +
B ．b a ?
C ．b a ab +2
D ．2
2
2b a +
19. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y （a ＞0）取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）
A ．
53 B ．4
1
C ．4
D ．35 20. 已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122
52
42
32
22
1=++++a a a a a ，则
54321a a a a a +-+-的值是（ ）
A ．9
B ．4
C ．2
D ．
4
1
21. 已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为（ ） A ．30 B ．12 C ．32 D ．10 22. 如果A 、B 是互斥事件，那么（ ） A ．A ＋B 是必然事件 B ．B A +是必然事件
C ．A 与B 一定不互斥
D ．A 与B 可能互斥，也可能不互斥
23. 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给量
单价 （元/kg ） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量 （1000kg ） 50
60
70
75
80
90
表2 市场需求量
单价 （元/kg ） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量 （1000kg ）
50
60
65
70
75
80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ） A.（2.3，2.6）内 B ．（2.4，2.6）内 C ．（2.6，2.8）内 D ．（2.8，2.9）内 二、填空题
1．设直线2430x y +-=与抛物线
223y x =交于Ｐ、Ｑ两点，Ｏ为坐标原点，则
POQ ∠= ．
2．函数()f x 对于任何x R +
∈，恒有()()()121
2,f
x x f x f x =+若()83,f =则
()2f
= ．
3．把11个学生分成两组，每组至少1人，有 种不同的分组方法．
4. 设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若}{n S 是等差数列，则q ＝_______．
5. 点1B 、2B 是椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的短轴端点，过右焦点F 作x 轴的垂线交于
椭圆于点P ，若||2FB 是||OF 、||21B B 的等比中项（O 为坐标原点），则=|
||
|2OB PF ________．
6. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，
远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：
①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率R
n m m
n e 2++-=；④若
以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)
()
)((m n R n R m x -++2-=，
其中正确的序号为________．
7. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么其第四个面可能是：
①等边三角形；②等腰直角三角形；③锐角三角形；④锐角三角形；⑤直角三角形．那么结论正确的是________．（填上你认为正确的序号） 8. 某工程的工序流程图如图所示，（工时单位：天），现已知
工程总时数为10天，则工序c 所需工时为__天． 三、解答题
1．设F 1、F 2分别为椭圆22
22
:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右两个
焦点．
(1) 若椭圆C 上的点3(1,)2
A 到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐
标；
(2) 设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；
已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无
关的定值．试对双曲线22
221x y a b
-=写出具有类似特性的性质，并加以证明．
2．已知函数5
)(,5
)(3
13
1313
1-
-
+=
-=x
x x g x
x x f （1）证明)(x f 是奇函数，并求)(x f 的单调区间.
（2）分别计算)3()3(5)9()2()2(5)4(g f f g f f --和的值，由此概括出涉及函数)(x f
和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明. 3.非负实数x 1、x 2、x 3、x 4满足：x 1+x 2+x 3+x 4=a （a 为定值，a >0） （1）若x 1+x 2≤1，证明：11112121+--≥-+-x x x x
（2）求43211111x x x x +++++++的最小值，并说明何时取到最小值. 4．已知
2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列
{}
n a 满足
112,()()()0n n n n a a a g a f a +=-+=．
（1）用n a 表示1n a +；
（2）求证：{}1n a -是等比数列；
（3）若13()()n n n b f a g a +=-，求{}n b 的最大项和最小项．
5．如图，MN 是椭圆C 1：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一条弦，A （－2,1）是MN 的中点，
以A 为焦点，以椭圆C 1的左准线l 为相应准线的双曲线C 2与直线MN 交于点B （－4，－1）。设曲线C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2。
（1）试求e 1的值，并用a 表示双曲线C 2的离心率e 2； （2）当e 1e 2=1时，求|MB|的值。 6．已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=． （1）求函数f （x ）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f （x ）在区间[2
π
-
，]2
π
上的图像． 7.已知双曲线122
22=-b y a x )0(>>b a 右支上一点P 在x 轴上方，A 、B 分别是椭圆
122
22=+b
y a x 的左、右顶点，连结AP 交椭圆于点C ，连结PB 并延长交椭圆于D ，若△ACD 与△PCD 的面积恰好相等． （1）求直线PD 的斜率及直线CD 的倾角；
（2）当双曲线的离心率为何值时，CD 恰好过椭圆的右焦点？
8. 如图．已知斜三棱柱ABC -111C B A 的各棱长均为2，侧棱
1BB 与底面ABC 所成角为
3
π
，且侧面11A ABB 垂直于底面AB C ．
（1）求证：点1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点； （2）求二面角C -1AB -B 的大小；
（3）判断C B 1与A C 1是否垂直，并证明你的结论． 9. 如图所示，以原点和A （5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求AB 和点B 的坐标．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD ，O 为原点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，E 在BA 上，且BE ∶EA ＝1∶3，
F 在BD 上，且BF ∶FD ＝1∶4，用a ，b ，c ，d 分别表示OE 、OF 、EF 、EC ，并判断E 、F 、C 三点是否共线．
11. △ABC 中，a BC =||，b AC =||，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两根，且2cos （A ＋B ）＝1．求：
（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）ABC S ?
12. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为负，对任意实数x 都有)2()2(x f x f +=-
，问当
x
y
A
P
B
C
D 0
)21(2x f -与)21(2x x f -+满足什么条件时才有-2＜x ＜0？
题型示例答案
一、选择题
1. C
2. C
3. D
4. A
5. B
6. D
7. B
8. D
9. D10. B11. B12.A13.D14.Ａ15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C 二、填空题 1. 900
2.
2
1
3. 1023
4. 1
5. 2
26. ①③④7. ①②③④⑤8. 4
三、解答题
1. （1）椭圆C 的方程为22143
x y +=，焦点F 1(-1,0)、F 2(1,0)； （2）2214()123y x ++= ；（3）定值为 22
PM PN b k k a
= 2. （1）证明 函数定义域为)(5
5)
()()(},0|{3
13
13
13
1x f x x x x x f R x x x -=--
=---=-∈≠-
- 且
∴)(x f 为奇函数.
设)
(5
1)(51)(51)()(,31
231
131
231
231
131
12121x x x x x x x f x f x x o -=---=-<<--则
),0()(,0)1
1(312
311+∞∴<+在x f x x 上是增函数，又)(x f 是奇函数.
∴)(x f 在（－∞，0）上也是增函数.
（2）解 (4)5(2)(2)0,(9)5(3)(3)0,f f g f f g -=-=猜想：2()5()()0f x f x g x -=
5
5
55
)()(5)(3
13
13
13
13
23
22
-
-
-
+?
-?
--=
-x x x x x
x x g x f x f 0)(5
1
)(5132
323232=---=--x x x x 3. 证：（1）01,01,01,1,0,021212121≥--≥-≥-∴≤+≥≥x x x x x x x x
要证11112121+--≥-+-x x x x ， 只要让221221)11()11(+--≥-+-x x x x
即证：2121212121122122x x x x x x x x x x --+--≥+--+-- 只要证：021≥x x 021≥x x 成立，故原不等式也成立。
解（2）从（1）的证明过程可知当1111,0,0212121+++≥+++≥≥x x x x x x 成立 ，等号当0021==x x 或时取到．
≥+++++++∴43211111x x x x
≥++++++≥+++++++432143*********x x x x x x x x 31314321++=+++++a x x x x
等号当a x x x x ====4321,0取到。
4. 解：（1）因为1()()()0,()4(1)n n n n n n a a g a f a g a a +-+==-
2()(1)n n f a a =- 所以1(1)(341)0n n n a a a +--+=，又12a =，所以1314
4
n n a a +=+
（2）因为13131(1)
134441114
n n n n n n a a a a a a ++---===---
所以，{}1n a -是以111a -=为首项，公比为
3
4
的等比数列． （3）由（2）可知，131()4
n n a --=， 所以13()14
n n a -=+， 从而21111
22
334333()[()1]444
n n n n n n n b ------?=
=?-． 因3()4x y =为减函数，所以b n 中最大项为b 1＝0． 又b n ＝123133
3[()]4244n ---≥-，
而此时n 不为整数才能有131()42n -=，所以只须考虑13()4n -接近于1
2．
当n=3时，13()4n -＝916与12相差116；当n=4时，13()4n -＝2764与12相差5
64，
而
564＞116，所以b n 中项3189
256b =-． 5.解（1）［法一］由A （－2,1），B （－4，－1）得直线AB 即直线MN 方程为y=x+3，代
入椭圆C 1的方程并整理，得(a 2
+b 2
)x 2
+6a 2
x+9a 2
－a 2b 2
＝0 (*)
设M （x 1,y 1），N(x 2,y 2)，则 x 1＋x 2＝－2
22
6b a a +
∵A （－2,1）是弦MN 的中点，∴x 1+x 2=-4，故由462
22-=+-b
a a 得a 2=2
b 2
, 又b 2
=a 2
－c 2
，∴a=c 2，从而椭圆离心率e 1=
2
2
=
a c . ∵A 为C 2的焦点，且相应准线l 方程为c
a x 2
-=，即a x 2-=，过B 作BB 0⊥l 于B 0，
则由双曲线定义知，e 2=|
22|2|
42|22|
)2(4|)11()42(|
|||2
20-=
-=
---+++-=a a a BB BA .
法二：设M （x 1，y 1）,N （x 2,y 2）,则x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2,且?????
??=+=+112
2
222222
1221b y a x b y a x )ii ()i (，
（i ）－（ii ）得 0)
)(()
)((2
21212
2121=-++
-+b
y y y y a
x x x x ，
∴1421
12222121-=-+==-=--=AB MN
k a
b x x y y k ，以下同法一。 （2）由22
1=
e ，121=e e 得22=e ，即
2|
22|2=-a ，∴23=a 或2。 当23=a 时，b 2
=9，椭圆方程为19
182
2=+y x ；
当2=a 时，b 2
=1，代入（*）知Δ＜0，不合题意，舍去；
（另法：此时A （－2,1）在椭圆外，不可能为弦MN 中点，舍去）
∴椭圆C 1方程只能为19182
2=+y x 。
以下法一：将a 2=18,b 2=9，代入（*）得x 2
+4x=0，∴x 1+x 2＝－4，x 1x 2＝0，
∴|MN|＝]4))[(1()()(212212
221221x x x x k y y x x AB -++=-+-24]0)4)[(11(2=--+=，
又|AB|＝22)11()42(22=+++-
∴|MB|＝|MA|＋|AB|＝
2
1
|MN|+|AB|＝224222=+. 以下法二：具体求出M 、N 点的坐标。
以下法三：先验证点B （－4，－1）在椭圆19
182
2=+y x 上，即B 与N 重合，从而|MB|＝|MN|，
故转化为求弦长|MN|即可。
6. 解：（1）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=
)4
π
2sin(21)4πsin 2cos 4πcos 2(sin 21-+=-+=x x x
所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+． （2）由（1）知
x 8
π3-
8π-
8π 83π 8
5π y
1
21- 1 21+
1
故函数)(x f y =在区间2π[-，]2
π
上的图像是
7. 解：（1）设),(00y x P ，),(11y x C ，),(22y x D ，又)0,(a A -，)0,(a B ，
PCD ACD S S ??= ，∴C 为AP 的中点，即201a x x -=
，2
01y
y =， 代入椭圆方程得：4)(2
2
220=+-b
y a a x ①； 又122
022
0=-b y a x ② ①+②得5)(2
2
02
0=+-a x a x ，即
a x 20=a x -=0(舍去），代入（2），并注意00>y ，得
b y 30=．
)3,2(b a P ∴，从而a
b
a x y k k PB PD 300=-=
=．
∴直线PD 方程为)(3a x a
b
y -=，代入椭圆方程得：03222=+-a ax x ，
2
2a x =∴舍去）
（a x =， 2
201a a x x =-=
∴，21x x
=∴，即CD ⊥x 轴，CD ∴直线倾角为90°．
（2）当CD 过椭圆右焦点时，有c a =2
，c c a b 322=-=
，
在双曲线中，半焦距22b a c +='，半实轴a a ='，
∴双曲线离心率2
7234222
2=
+=+=
''=c c c a b a a c e ，
此时，CD 恰好过椭圆右焦点．
8. （1）如图，在平面1BA 内，过1B 作D B 1⊥AB 于D ， ∵ 侧面1BA ⊥平面ABC ， ∴ D B 1⊥平面ABC ，BA B 1∠是1BB 与平面ABC 所成的角，∴ BA B 1∠＝60°． ∵ 四边形11A ABB 是菱形， ∴ △1ABB 为正三角形， ∴ D 是AB 的中点，即1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点． （2）连结CD ，∵ △ABC 为正三角形，
又∵ 平面B A 1⊥平面ABC ，平面B A 1 平面ABC ＝AB ，
∴ CD ⊥平面B A 1，在平面B A 1内，过D 作DE ⊥1AB 于E ，连结CE ，则CE ⊥1AB ，
∴ ∠CED 为二面角C -1AB -B 的平面角．在Rt △CED 中，360sin 2==
CD ，连结1
BA 于O ，则3=BO ，2
32
1==BO DE ，
∴ 2tan ==∠DE CD CED ． ∴ 所求二面角C -1AB -B 的大小为arctan2．
（3）答：A C C B 11⊥，连结1BC ，∵ 11CC BB 是菱形 ∴ C B BC 11⊥ ∴ CD ⊥平面B A 1，AB D B ⊥1， ∴ C B 1⊥AB ， ∴ C B 1⊥平面1ABC ， ∴ C B 1⊥A C 1．
9. 设点B 的坐标为（x ，y ），则x OB (=，)y ，5(-=x AB ，)2-y ∵ AB OB ⊥ ∴ 0250)2()5(2
2
=--+?=-+-?y x y x y y x x ①
又∵ ||||AB OB = ∴ 29410)2()5(2
222=+?-+-=+y x y x y x ②
解①②得???????-==232711y x 或???
????==272322y x ∴ 点B 的坐标为（
27，23-）或（23，27）2(3-=AB ，)27-或27(-=AB ，)2
3
10. 解：由EA BE 31=，FD BF 41=，可直接求得 433
1131a b a b OE +=++=，5
44
1141d b d b OF +=++=． ∴
a
d b a b d b OE OF EF 4
15120141435154-+=--+=
-= )34(4
1
4143a b c a b c OE OC EC --=--
=-=． 由平行四边形性质，知b c a d -=-． 即b c a d -+= 所以)34(20
14
1)(5
120
1a b c a b c a b EF --=--++=
∴ EF EC 5=，从而E 、F 、C 三点共线．
11. 解：（1）21)cos()](cos[πcos -=+-=+-=B A B A C ，=C 120°
（2）∵ a ，b 是02222=+-x x 的两个根， ∴ 32=+b a ，2=ab
∴ )2
1(2cos ||||2||||||22222--+=-+=?ab a b C BC AC BC AC AB
102)32()(2222=-=-+=++=ab b a ab b a ∴ 10||=AB
（3）2
32
322
1sin 2
1===???C ab S ABC
12. 解:由已知h x a y +--=2)2(，)0(>a ． ∴)(x f 在（-∞，]2上单增，在（2，＋∞）上单调．
又∵ 1212≤-x ，22)1(2122≤+--=-+x x x ． ∴ 需讨论221x -与221x x -+的大小． 由)2()21(2122+=---+x x x x x 知
当0)2(<+x x ，即02<<-x 时，222121x x x -<-+． 故)21()21(22x f x x f -<-+时，应有02<<-x
高中数学必修四 题型归类 山石 第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 题型一：终边相同角 1.与 2003-终边相同的最小正角是______________，最大负角是_________。 2.终边在y 轴上的角的集合为________。 3.若角α与5α的终边关于y 轴对称，则角α的集合________ __ 。 题型二：区域角 1.第二象限的角的集合为______ __ 2.如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______ __ 3.若α是第二象限的角，确定2α的终边所在位置 .确定2 α 的终边所在位置 . 题型三：弧度制 1.若扇形的面积是1cm 2，它的周长是4cm 2，则扇形圆心角的弧度数为 . 2.若扇形周长为一定值c (c >0)，当α= ，该扇形面积最大． 1.2任意角的三角函数 题型一：三角函数定义
1.α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝ 4 2x ，则sin α的值为 . 2.已知角α的终边在直线3x+y=0上，则sin α= ,tan α= 题型二：三角函数值的符号与角所在象限的关系 1.4tan 3cos 2sin 的值。A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 无法确定 （ ） 2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2 的终边在 ( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 题型三：三角函数线 1.设MP 和OM 分别是角 18 19π 的正弦线和余弦线，则MP 、OM 和0的大小关系为______ 2.1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为_______________ 题型四：同角公式 1.化简1－2sin200°cos160°＝________. 2.222tan1tan 2tan 88tan 89sin 1sin 2sin 89 οοοοοοο ???????++???+的值为________． 3.已知ααcos sin 2 1 =,求下列各式的值： （1） α αααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2 α. 4.tan110°＝k ，则sin70°的值为 ( ) A ．－k 1＋k 2 B.k 1＋k 2 C.1＋k 2k D ．－1＋k 2 k
高中数学考试反思 高中数学考试反思 是什么原因。是学生不接受这样的讲解方式，还是认识上有差异;是学生不感兴趣，还是教师点拨，引导不到位;是教师制定的难点与学生的认知水平上的难点出现了不合拍;是教师期盼过高，还是学生接受新知识需要一个过程;……教师在教学目标设计时要全面了解学生的现有认知水平，在学生现有认知水平的基础上，利用多媒体等多种有效手段调动学生的积极性，激发兴趣，让学生在教师的帮助下通过自己的努力向高一级的认知水平发展。让学生体会到成功的喜悦，形成良性发展。教师千万不能埋怨责怪学生，不反思自己，只会适得其反，以致把简单的问题都变成学生的难点。因此教学设计要能激发学生学习数学的热情与兴趣，要教给学生需要的数学。 二、对教学计划反思在教学设计中，对教学内容的处理安排还存在以下几个缺乏： 缺乏对教材内容转译;缺乏对已学知识的分析、综合、对比、归纳和整体系统化;缺乏对旧知识分析应用的螺旋上升的应用设计;缺乏对教学内容的教育功能的挖掘和利用;缺乏对自我上课的经验总结。 三、对听课的反思听课决不是简单地评价别人之优劣，不是关注讲课者将要讲什么，而是思考自己如何处理好同样的内容，然后将讲课者处理问题的方式与自己的预想处理方式相对照，以发现其中的出入。 四、征求学生意见潜心于提高自己教学水平的教师，往往向学生征询对自己教学的反馈意见，这是教师对其教学进行反思的一个重要
的渠道。若在课堂上设计了良好的教学情境，则整堂课学生的学习积极性始终很高.课后我总结出以下两点成功体会： 抓住知识本质特征，设计一些诱发性的练习能诱导学生积极思维，刺激学生的好奇心问题的设计不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应设计一些既能让学生动手触摸、又能动脑思考的问题，这样可使学生在"观察、实践、归纳、猜想和证明"的探究过程中，激发起他们对新知识的渴望.学生在学习中遇到的困惑，往往是一节课的难点.将解决学生困惑的方法在教学后记中记录下来，就会不断丰富自己的教学经验。 五、记教学中学生的独特见解学生是学习的主体，是教材内容的实践者，通过他们自己切身的感觉，常常会产生一些意想不到的好的见解。有时学生的解法独具一格，对此，教师应将这些见解及时地记录下来。 六、记教学再设计教完每节课后，应对教学情况进行全面回顾总结。根据这节课的教学体会和从学生中反馈的信息，考虑下次课的教学设计，并及时修订教案。我相信，当教学反思行为成为一种习惯时。我必然会冲破经验的束缚，使自己从“经验型”教师走向“学者型”教师。形成“学会教学”的能力。上面的高一数学教学反思，对于大家的学习非常有帮助，希望大家好好利用。我： 附送： 高中数学考试反思2000字 高中数学考试反思2000字
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
常见题型归类 第一章集合与函数概念 1.1集合 题型１集合与元素 题型2 集合的表示 题型3 空集与0 题型4 子集、真子集 题型5 集合运算 题型５.1 已知集合，求集合运算 题型5.2 已知集合运算,求集合 题型５.３已知集合运算,求参数 题型6 “二维”集合运算 题型６自定义的集合 1.2函数及其表示 题型1 映射概念 题型2 函数概念 题型3 同一函数 题型4 函数的表示 题型5 已知函数解析式求值 题型6 求解析式 题型７定义域 题型7．1 求函数的定义域 题型7.2 已知函数的定义域问题 题型8 值域 题型8．1 图像法求函数的值域 题型８.2 转化为二次函数，求函数的值域 题型8.３转化为反比例函数,求函数的值域 题型8.4 利用有界性,求函数的值域 题型８.5单调性法求函数的值域 题型8.6 判别式法求函数的值域
题型8．7 几何法求函数值域 题型9 已知函数值域，求系数 1.3函数的基本性质单调性 题型1 判断函数的单调区间 题型２已知函数的单调区间，求参数 题型3 已知函数的单调性,比较大小 题型4 已知函数的单调性，求范围 1.4函数的基本性质奇偶性 题型1 判断函数的奇偶性 题型2 已知函数的奇偶性，求解析式 题型3 已知函数的奇偶性，求参数 题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像 题型1 函数图像 题型2 去绝对值作函数图像 题型3 利用图像变换作函数图像 题型4 已知函数解析式判断图像 题型5 研究函数性质作函数图像 题型6 函数图像的对称性 第二章基本初等函数 2.1指数函数 题型1 指数运算7 题型２指数函数概念 题型３指数函数型的定义域、值域 题型4 指数函数型恒过定点 题型5 单调性 题型6 奇偶性 题型７图像 题型８方程、不等式 ２.２对数函数
期中考试引发的数学教学反思 在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，这对于每位教师来讲，都是一个很重要的课题。因此我们在教学过程中要不断地反思，寻求不足，改进教学方法，提高课堂效率。下面就我在教学实践过程中的反思浅谈几点： 一、对基础知识的思考 初、教材间的跨度过大。教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代数知识，紧接着就是函数的问题（在函数中，又分二次函数，指数函数，对数函数，它们具有不同的性质和图象）。函数单调性的证明又是一个难点，向量对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于数学。因此，教师对教学的反思首先从概念开始，应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展，这个时候就需要重视概念的阅读。 教学过程应遵循“教为主导、学为主体”的原则，学生是学习主人，学生始终是学习的主体，教师是学习过程的组织者、引导者、合作者。重视阅读数学课本，首先要教师引导，特别在讲授新，应当纠正那种“学生闭着书，光听老师讲”的教学方法，在讲解概念时，应该让学生翻开课本，教师按课本原文逐字、逐句、逐节阅读。在阅读中，让学生反复认真思考，对书中叙述的概念、定理、定义中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间所蕴含的内容，读出从课文中提炼的数学思想、观点和方法。 二、对学数学的反思 当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白布——对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看成“白色画布”，按照自己的意思往这些“白色画布”上“涂抹数学”。这样常常会进入误区，因为教师和学生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。
高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生 一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集. 2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??. ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R + =?,求a 的取值.(答：0a ≤) ④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =；A B C A B C =（）（）； A B C A B C =（）（）. ⑤A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=?U C A B R ?=. ⑥A B 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+-. ⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为 21n -；非空真子集个数为22n -. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32 (3,)-) 4.原命题: p q ?；逆命题: q p ?；否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件). 6.注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???. 命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. 如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 二.函数 1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?). ②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴
高中数学经典例题、错 题详解
【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）
高一数学期中考试总结与反思 许中银 高一数学期中考试按事先约定的计划已圆满地结束了。从考试的结果看与事前想法基本吻合。考试前让学生做的一些事情从成绩上看都或多或少有了一定的效果。现将考前考后的一些东西总结。（1）考试的内容： 本次考试主要考查内容为高中数学必修1全册，必修4到1.2.1任意角的三角函数。 从卷面上看，必修1集合部分占29分，约占总分的18％。函数概念与基本初等函数I 部分140分，约占总分的88％。必修4三角函数部分14分，占总分约为8.5％。从分值分布看基本合理。（2）考试卷面题型分析。 卷面上只有填空和解答两种题型。 第I卷第1小题“设集合M＝{}{}R y y y y x∈ x x x 22 ＝ , ，， = R =, ∈ N 则M∩N＝”为集合交集问题，放在此处对于学习能力差的同学较难。第2题考查补集、子集问题。第3小题为计算题，根式计算问题。4，5，6，7为一般性问题应准确性还可以。第10题为偶函数定义域为[]a a2,1-，要考虑端点关于原点对称，有不少学生不太熟悉这种形式。第12题是关于恒成立问题，因为组内集体备课未强调，有的人讲，有的人没有讲，但也有很同学做对。13题为考 1，但是在考场上没有做出来的还是很多。14前讲过的原题答案为 24 题较难考虑画图后比较端点大小，没有讲过这种问题的班级做对的学
生很少。 第II卷解答题15题一般性集合问题， 16题一般性二次函数问题，考查奇偶性，图象，单调区间，值域等等。17题为三角函数问题，学生初学又没有复习深化，大多数人被扣分，对m的讨论不全。第1小题对第2小题有诱导错误嫌疑。18题因为没有将分段函数总结在一起扣分，其实扣分也不太合理。 19题，第1小题用定义证明单调性过程比较规范，第2小题有同学用特值法求出m的值但缺少验证奇函数过程。 20题，较难要求学生有较强的思维能力和表达能力。一般学生只能做第1小题和部分第2小题，第3小题较难又涉及到参数和恒成立问题，全校仅有数人能完整解答出来。 （3）考试成绩分析与反思 笔者教两个班，高一（2）班为普通班，入学成绩较低一些，高一（24）班为二类重点班，入学成绩介于高分与低分之间。从考试结果看，好的入学成绩的学生基本上考出较好成绩，差的入学成绩基本上考出一个差的成绩。无论教育制度怎么改，量化出来的分数始终是最让师生关注的，总结大会上各级领导也基本上以分数或者分差多少来评论教师的个人业绩，多少年来似乎从未改变过。每一个师生的成绩总要拿出来晒一晒，分数好一点的人暗自庆幸我终于不在“批评”之列，不管其他学校老师的书是怎么教的，不管其他班级的学生是怎么学习的，师生的目标就是过了本校的对手，这样，日子也许会好过一些。这也是多少年没有改变过的事情。因而在平时的教学中就要注
第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．． 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的 取值？还是曲线上的点？… ； 2.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及 {}x y y x lg |),(= 3．数形结合．．．． 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 4．（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n －1； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 5．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)] 的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域， 相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函 数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识
期中考试反思800字 反思一： 光阴似箭，日月如梭。转眼间，我们迎来了期中考试，考试前，我们紧张地准备复习。考试虽然过去了，但是也不能放松。就像妈妈说的，学习就像行车，而每一次考试就像到了加油站。要认真检查自己的车辆，做好加油、加水、维修等一系列的工作。这样，才能更安全迅速地行驶。经过检修，我发现我的“车子”上有四处急需“维修”的地方，否则它将影响到今后的正常行驶。 一是基础知识不太牢固。语文有生字，数学有概念，英语有单词等基础知识。俗语说“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海”。基础知识就像是涓涓河流，就像是高楼大厦的地基，是学好各门功课的基础。我的一些生字就没有学牢固,比如“波涛滚滚”的“滚”字，到现在也不知道写的对还是错，总是稀里糊涂，应付了事。老师给我打错了，改一遍，又忘了。总是这样，写了忘，忘了写，天长日久，什么时候才会呀?数学概念、英语单词像这样的情况比比皆是。今后，不能再稀里糊涂了，对待学习一定要认真细致。 二是数学开拓思维的题目不愿思考。以前，我们的卷子上总有一些拓展思维的思考题，让我们开拓思路，举一反三。而我总是怕麻烦，不想动脑子,等着第二天老师讲了我一抄黑板的答案就ok了。妈妈说：人的大脑就像一部机器,越运转越灵活。可是我就是偷懒，遇到难题，囫囵吞枣，不求甚解，只怕我的大脑要慢慢地生锈了。今后，我要勤于思考，善于思考，使我的大脑越来越灵活。 三是读书不善于思考，作文质量不高。我非常喜欢看课外书，但是总是看个热闹，从不认真思考，没有真正吸收其中的营养,没有理解其中的含义、道理。因为读书没有用心,所以作文水平也没有提高。妈妈说我作文“假大空”, 总是用一些华丽的语言来堆砌文章,老是写不出自己的真情实感。好的文章既使语言朴实,只要感情真挚，同样能感染人，影响人。我的作文语言流畅,条理清晰,如果能融入自己的真实情感,体现自己的思想，妈妈说我的作文就能上一个大台阶。 最后,我还有一个粗心的毛病。这个“恶魔”已经跟了我好几年了,害的我丢了不少分，挨了不少的打。可是我不明白，它怎么这么顽强，赶也赶不走呢?现在我知道了，只要细心，这个无恶不作的坏蛋就无路可逃了。妈妈说，细心还在于平时生活中就要有条理，不莽撞。我可不愿成为张飞、李逵那样的英雄好汉，我要成为“智多星”。我一定从点滴小事中养成细心、细致的好习惯。 再过两个月就要期末考试了,我一定不把遗憾再带到下一个“加油站”,要努力学习,争取取得满意的成绩。 同学们,让我们共同努力吧，到时再一起分享成功的喜悦! 反思二： 期中考试和期末考试一样重要，有时还意义非凡。考好了，心里甜滋滋的，随之而来的是老师的赞扬、同学们的羡慕和父母的喜悦;考得不好，老师会失望，父母会生气，还可能会面对同学轻视得眼光和讥讽的话语。以我微薄之见，考好则已，考不好也别灰心，如果上要考虑长辈的夸奖，下要考虑同学的冷嘲热讽，则必败无疑。考好不骄，考不好不气馁，以平平和和的心态应考，反而能考好。但是，说到容易，做到却难。 这次期中考试不仅给我们查找自己不足的机会，还让我们知道自己的真实水平。给我们指明了努力的方向!考试就像捕鱼，每一次考试你都会发现鱼网上的漏洞，经过一次次的修补，一次次的捕捞，在中考的时候，你的知识与能力编成的鱼网一定已经是牢不可破的。这次期中考试，我们每一位同学都经受了失败、痛苦和成功的洗礼，得到了磨练、反省和升华自我的机会，这正是我们最大的收获。期中考试取得了高分，固然可喜，因为它是过去一个阶段汗水的结晶。但这个成绩不能代表全部，不能代表将来。成功自有成功的喜悦，以此为动力，
数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a = ，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{} A B x x A x B =∈∈ 且，若A B A = 则A B ? ②{}A B x x A x B = ∈∈ 或，若A B A = 则B A ? ③ { } U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与之 对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： y = 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为
美国教育家波斯纳 ( )认为：“没有反思的经验只是狭隘的经验，至多是肤浅的认识。”他提出了教师成长的公式：成长=经验十反思。反思，可以使存在的问题得到整改，发现的问题及时探究，积累的经验升华为理论。又一个学期过去了，回想起来，我已经工作了五个年头，一份春华，一分秋实，在教书育人的道路我付出了许许多多的汗水，同时也收获了很多很多。由于这一学年担任学校实验班的数学课，压力之大，责任之重，可想而知。现将本学期教学情况简要总结如下，以便总结经验，寻找不足。 一、加强理论学习，积极学习新课程 俗话说，理论是行动的先导。自山东省实行新课程以来，我是第一年带新课程的新授课，对新课程的认识了解还不够，因此，必须积极学习新课程改革的相关要求理论，仔细研究新的课程标准，并结合山东省的考试说明，及时更新自己的大脑，以适应新课程改革的需要。同时为了和教学一线的同行们交流，积极利用好互联网络，开通了教育教学博客，养成了及时写教学反思的好习惯。作为一位年轻的数学教师，我发现在教学前后，进行教学反思尤为重要，在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会独特的见解，教学前后，都要进行反思，对以后上课积累了经验，奠定了基础。同时，这些见解也是对课堂教学非常重要的一部分，积累经验，教后反思，是上好一堂精彩而又有效课的第一手材料。 二、关心爱护学生，积极研究学情 所谓“亲其师，信其道”，“爱是最好的教育”，作为教师不仅仅要担任响应的教学，同时还肩负着育人的责任。如何育人?我认为，爱学生是根本。爱学生，就需要我们尊重学生的人格、兴趣、爱好，了解学生习惯以及为人处世的态度、方式等，然后对症下药，帮助学生树立健全、完善的人格。只有这样，了解了学生，才能了解到学情，在教学中才能做到有的放矢，增强了教学的针对性和有效性。多与学生交流，加强与学生的思想沟通，做学生的朋友，才能及时发现学生学习中存在的问题，以及班级中学生的学习情况，从而为自己的备课提供第一手的资料，还可以为班主任的班级管理提高一些有价值的建议。 三、充分备课，精心钻研教材及考题 一节课的好坏，关键在于备课，备课是教师教学中的一个重要环节，备课的质量直接影响到学生学习的效果。备课中我着重注意了这样几点：1、新课程与老课程之间的联系与区别;2、本节内容在整个高中数学中的地位;3、课程标准与考试说明对本节内容的要求;4、近几年高考试题对本节内容的考查情况;5、学生对本节内容预习中可能存在的问题;6、本节内容还可以补充哪些典型例题和习题;7、本节内容在数学发展史上有怎样的地位;8、本节内容哪些是学生可以自学会的，哪些是必须要仔细讲解的;哪些是可以不用做要求的;9、本节内容的重点如何处理，难点如何突破，关键点如何引导，疑惑点如何澄清等 在教学过程过，特别重视学生对数学概念的理解，数学概念是数学基础知识，是考生必须牢固而又熟练掌握的内容之一。它也是高考数学科所重点考查的重点内容。对于重要的数学概念，考生尤其需要正确理解和熟练掌握，达到运用自如的程度。从这几年的高考来看，有相当多的考生对掌握不牢，对一些概念内容的理解只浮于表面，甚至残缺不全，因而在解题中往往无从下手或者导致各种错误。还特别重视学生对公式掌握的熟练程度和基本运算的训练，重点抓解答题的解题规范训练.
高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 01x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=