中考数学二次函数综合题及答案
一、二次函数
1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;
(3)点P(4,6).
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;
(2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,
设P(t,﹣1
2
t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN?AG+
1
2
PN?BM=
1
2
PN?OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数
的性质求解可得;
(3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案.
【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),
将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣1
2
,
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
(x﹣6)(x+2)=﹣
1
2
x2+2x+6;
(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
设直线AB 解析式为y=kx+b ,
将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:
660b k b =??+=?
, 解得:16k b =-??=?
, 则直线AB 解析式为y=﹣x+6,
设P (t ,﹣12t 2+2t+6)其中0<t <6, 则N (t ,﹣t+6), ∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12
t 2+3t , ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN
=12PN?AG+12
PN?BM =12PN?(AG+BM ) =
12
PN?OB =12×(﹣12
t 2+3t )×6 =﹣32
t 2+9t =﹣32(t ﹣3)2+272, ∴当t=3时,△PAB 的面积有最大值;
(3)如图2,
∵PH⊥OB于H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x轴、PD⊥x轴,
∴∠DPE=90°,
若△PDE为等腰直角三角形,
则∠EDP=45°,
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,
则当y=6时,﹣1
2
x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即点P(4,6).
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点为G.
(1)求抛物线和直线AC的解析式;
(2)如图,设E(m,0)为x轴上一动点,若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=
S△CGO,求点E的坐标;
(3)如图,设点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动,运动时间为ts,点M为射线AC上一动点,过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N.试探究点P在运动过程中,是否存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3;直线AC解析式为:y=3x+3;(2)点E 坐标为(1,0)或(﹣7,0);(3)存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角
形,t的值为或或.
【解析】
【分析】
(1)用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式.
(2)△CGE与△CGO虽然有公共底边CG,但高不好求,故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算.延长GC交x轴于点F,则△FGE与△FCE的差即为△CGE.
(3)设M的坐标(e,3e+3),分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论,利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系,用e表示相关线段并列方程求解,再根据e与AP的关系求t 的值.
【详解】
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
, 解得:,
∴抛物线解析式为:y=-x2+2x+3,
设直线AC解析式为y=kx+3,
∴-k+3=0,得:k=3,
∴直线AC解析式为:y=3x+3.
(2)延长GC交x轴于点F,过G作GH⊥x轴于点H,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴G(1,4),GH=4,
∴S△CGO=OC?x G=×3×1=,
∴S△CGE=S△CGO=×=2,
①若点E在x轴正半轴上,
设直线CG:y=k1x+3,
∴k1+3=4 得:k1=1,
∴直线CG解析式:y=x+3,
∴F(-3,0),
∵E(m,0),
∴EF=m-(-3)=m+3,
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?(GH-OC)=(m+3)?(4-3)=,