二、一元二次方程压轴题
1．已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋3)x ＋k 2＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；
（2）当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．
2．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，关于x 的方程x 2－2(a ＋b )x ＋c 2＋2ab ＝0有两个相等的实数根，又sin A 、sin B 是关于x 的方程(m ＋5)x 2－(2m －5)x ＋m －8＝0的两个实数根．
（1）求m 的值；
（2）若△ABC 的外接圆面积为25π，求△ABC 的内接正方形的边长．
3．已知关于x 的方程x 2－(m ＋n ＋1)x ＋m ＝0（n ≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m 和n ；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P （α，β）在△ABC 的三条边上运动，且△ABC 顶点的坐标分别为A （1，2），B （12
，1），C （1，1），问是否存在点P ，使m ＋n ＝54
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．请阅读下列材料：
问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝y 2
． 把x ＝y 2代入已知方程，得(y 2)2＋y 2
－1＝0． 化简，得y 2＋2y －4＝0．
故所求方程为y 2＋2y －4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x 2＋x －2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
___________________；
（2）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，
使它的根分别是已知方程根的倒数．
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a2－a＝0（a＞0）．
（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；
（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、
β3，…，α2011、β2011，求
1
α1＋
1
β1＋
1
α2＋
1
β2＋
1
α3＋
1
β3＋
…＋
1
α2011＋
1
β2011
的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．
（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；
（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；
（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．
7．已知方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．
8．已知关于x的方程x2－4|x|＋3＝k．
（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根
（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根
（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根
（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
10．已知α、β为关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．
11．已知a为实数，且关于x的二次方程ax2＋(a2＋1)x－a＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．
12．求实数a的取值范围，使关于x的方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
（1）有两个实根x 1、x 2，且满足0＜x 1＜1＜x 2＜4；
（2）至少有一个正根．
13．已知x 1、x 2是方程x 2－mx －1＝0的两个实数根，满足x 1＜x 2，且x 2≥2．
（1）求m 的取值范围；
（2）若
x 2＋m x 1－m ＋x 1＋m x 2－m ＝2，求m 的值．
14．已知关于x 的方程x 2－(m －2)x － m
24＝0（m ≠0）
（1）求证：这个方程总有两个异号实根；
（2）若这个方程的两个实根x 1、x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2．
15．已知△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，求m 的取值范围．
16．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α2＋β2，…， s n ＝αn ＋βn ．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2
)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值；
（2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n -1，s n -2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据（2）中的猜想，求(1＋52
)8＋(1－52)8
的值．
17．已知方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个实数根恰好构成△ABC 的三条边长．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当△ABC 为直角三角形时，求m 的值和△ABC 的面积．