动点与函数图象
【例1】如图所示，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，点M 从点A 出发沿
AE 方向向E 匀速运动，同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 的速度均为每秒1个单位
长度，运动时间为t ，连接MN ，设△EMN 的面积为S ，则S 关于t 的函数图象为（
）
A B C D
【答案】D .
【解析】解：由题意知，AD =DE =CE =BC =4，AE ， ∴∠AED =∠BEC =45°， ∴∠MEN =90°，
又∵EN =t ，EM －t ，
∴S =1
2
EM EN ??
=
()
1
2
t t ??
=(21
42
t -?-+，（0≤t ≤）
图象为抛物线，开口朝下，当x 时，S 取最大值， 故答案为D .
【变式1-1】如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O 是对角线的交点，当点 P 由
A →D →C 运动时，设 DP =x cm ，则△POD 的面积 y （cm 2） 随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）
A B
C D 【答案】B.
【解析】解：当P点在AD上运动时，0 y=1 2 ·PD×1= 1 2 x， 当P点在DC上运动时，0 y=1 2 ·PD×1= 1 2 x， 故答案为：B. 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC， BD＝DE＝2，CE＝5 2 ，BC＝ 24 5 ．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动， 运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 【答案】D . 【解析】解：∵PQ ⊥BQ ∴S △BPQ ＝ 1 2 PQ ?BQ ①当点P 在BD 上（即0s ≤t ≤2s ） BP ＝t ，BQ ＝PQ ?cos 60°＝1 2t ，PQ ＝BP ?sin t S △BPQ ＝1 2 PQ ?BQ ＝ 12?1 2t t t 2 该图象是关于t 的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线； ②当P 在DE 上时（即2s ＜t ≤4s ） PQ ＝BD ?sin BQ ＝BD ?cos 60°+（t ﹣2）＝t ﹣1 S △BPQ ＝1 2PQ ?BQ ＝1 2 t ﹣1） t ， 该图象为一条线段，由左向右上升； ③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤ 13 2 s ） PQ ＝PC ?sin 45°＝ 4﹣2t ，BQ ＝BC ﹣CQ ＝245 －4+2t S △BPQ ＝12PQ ?BQ =12）（245 t ） 通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：1 4 <0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线； 综上所述，答案为D . 【例2】如图，正方形ABCD ，对角线AC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点 B ， C 重合），过点E 作EF 的垂线交C D 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关 系的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A . 【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°，AC ⊥BD ，EB ＝EC ， ∵EF ⊥EG ， ∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CEG ， ∴△BEF ≌△CEG ， ∴EF ＝EG ， ∴∠EFG ＝45°， ∴∠CFH ＝∠BEF ， ∴△BEF ∽△CFH ， ∴ BE BE CH CF = ， ∴ x y =， ∴y ＝﹣x 2 x （0＜x ）， 图象为一段开口朝下的抛物线， 即答案为：A ． 【变式2-1】如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作 EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这 条线段可能是图1中的（ ） A ．线段BE B ．线段EF C ．线段CE D ．线段DE 【答案】D ． 【解析】解：A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而BA ＜BC ，选项A 错误； B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大而减小，选项B 错误； C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大而减小，选项C 错误； D 、由图1可知，若线段D E 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的 距离，在点A 的距离是DA ，在点C 时的距离是DC ，DA ＞DC ，选项D 正确； 故答案为：D ． 【变式2-2】 （2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（） 图1 图2 A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD 【答案】A. 【解析】解：∵∠APD=60°，△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠APB+∠CPD=120°，∠PDC+∠CPD=120°， ∴∠APB=∠PDC， ∴△ABP∽△PCD， ∴AB BP CP CD =, 即： 4 4 x x CD = - ， ∴CD= () 4 5 x x - ，当x=0时，CD=0，不符题意； ∴AD=4－CD=4－ () 4 5 x x - =()2 116 2 55 x-+，符合题意， 即答案为：A. 【例3】如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q 从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s）， △BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则CD BE 的值为（） A B C D 图1 图2 【答案】D. 【解析】解：由图象可知，t=8时，P点与E点重合；t=10时，P与D点重合，∵P点的运动速度为2cm/s，∴DE=4，BE=16， S△BCE=1 2 ·BC·CD=8 CD，即8 CD ，即CD ， ∴CD BE , 故答案为：D. 【变式3-1】如图 1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图 2 所示，其中点Q为曲线部分的最低点， 若△ABC 的面积是，则a的值为图1 图2 【答案】 【解析】解：由图可知，Q点对应的是AK⊥BC的位置，即△ABC边BC上的高为5， 由△ABC 的面积是，得：BC =， 由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK的长度相等，说明AB=AC， 由勾股定理得：AB = 即a = 图1 图2 故答案为：【变式3-2】如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN ⊥AM 交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN ＝y ，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是（ ） A ．20 B ．18 C ．10 D ．9 【答案】A ． 【解析】解:由图2知：AB +BC ＝9，设AB ＝m ，则BC ＝9﹣m ， 如图所示，当点M 在BC 上时， 则AB ＝m ，BM ＝x ﹣a ，MC ＝9﹣x ，NC ＝y ， ∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ， tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即 BM CN AB CM = , 即9x m y m x -= -，化简得：y ＝﹣1m x 2+9m m +x ﹣9， 当x ＝92m +时，y 取最大值45，即45 ＝()2 94m m +﹣9， 解得：m ＝5或m =16.2（舍）， ∴AM ＝5，BC ＝4， ABCD 的面积为20， 故答案为：A ． 1.如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝k x （k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A 出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM 的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（） A．B． C．D． 【答案】D. 【解析】解：设点P的运动速度为x， （1）当点P在AB上时， S=1 2·OA·AP =1 2·OA·at， 该段函数图象为一条线段，且S随t的增大而增大，（2）点P在曲线BC上时， S=1 2 k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段； （3）点P在OC上时， S=1 2·PM·OM 设∠AOC=β，P运动全路程为s，则OP=s－at， 则S=1 2·PM·OM =1 2 OPsinβ·OPcosβ =1 2 （s－at）2sinβcosβ 函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小； 综上所述，答案为：D. 2.如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（） A．B． C．D． 【答案】A. 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°， ∵DE∥AC， ∴∠EDF＝∠A＝60°，∠DEB＝∠B＝60° ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°； ∵∠EDB＝∠DEB＝60°， ∴△EDB是等边三角形． ∴ED＝DB＝2﹣x， 在Rt△DEF中，EF2﹣x）． ∴y＝1 2 ED?EF ＝1 2 （2﹣x（2﹣x）， （x﹣2）2，（0≤x≤2）， 图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小； 所以答案为：A． 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B 时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（） A．B． C．D． 【答案】A. 【解析】解：由题意知， （1）当点F在PD上运动时，△AEF的面积为y=1 2 AE?AD＝2x（0≤x≤2）， 为一次函数，图象为直线； （2）当F在AD上运动时，△AEF的面积为： y=1 2 AE?AF =1 2 x(6－x) =－1 2 x2+3x, 为二次函数，且开口朝下； 故答案为：A． 4.如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C 停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论： ①当0＜t≤5时，y=2 5 t2 ②tan∠ABE= 3 4 ③点H的坐标为（11，0）④△ABE与△QBP不可能相似． 其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③. 【解析】解：①过点P作PF⊥BC于F， 根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得：AB=4， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB=4 5 ， ∴PF=PBsin∠PBF=4 5 t， ∴当0＜t≤5时，y=1 2 BQ·PF= 2 5 t2 即①正确； ②由图知：ED=2， ∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3， ∴tan∠ABE= 3 4 AE AB =，②正确； ③由图象知，在D点时，出发时间为7s，由CD=4，得H（11，0），③正确； ④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上， ∵tan∠PBQ=tan∠ABE=3 4 ， ∴ 3 4 PQ BQ =，即113 54 t- =， 解得：t=29 4 ．④错误； 故答案为：①②③． 5.如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设x AP=，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为 . 【答案】 【解析】解：由垂线段最短可知，当DP⊥AB时，y 此时，由∠B=60°，得：BD tan60°=2， ∴BC=4， S△ABC24 即答案为： 6.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（） A B C D ． 【答案】B . 【解析】解：当0≤ x ≤1时，重叠部分为△A ’B ’C 21= 当1 ())22 2244 x x ?-=-，为开口朝上的抛物线， 综上所述，答案为：B . 7.如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿 A →D →E →F →G → B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着 时间t 变化的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B． 【解析】解：当点P在AD上时，S=1 2 AB·AP=AP，则S随着时间t的增大而增大； 当点P在DE上时，S=2，S保持不变； 当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，S=1，面积S不变； 当点P在GB上时，S=1 2 AB·BP=BP，S随着时间t的增大而减小； 故答案为：B． 8.如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛 物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=6 5 时，t= 3 5 或6． 下列结论正确的是（） A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对【答案】A. 【解析】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点P在AC上移动， ∴AC=t×1=3×1=3cm．故①正确； 在Rt△ABC中，S△ABC=6，即1 2 BC×3=6，得：BC=4． 由勾股定理可知：AB=5．（1）当0＜t≤3时， S = 1 2BC ?PC = 1 2 ×4t =2t ． （2）当3 过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，则 3 5 PH AC PB AB ==， ∴PH = 35PB =3 5 （8-t ）， S = 1 2 BC ?PH = 12×4×3 5（8-t ） =- 65t +485 ， （3）当4＜t ＜8时，过点P 作PH ⊥BC 于H ． 同理：S = 2324961055 t t -+ 当0＜t ≤3时，2t = 65，解得t ＝3 5 ， 当3≤t ≤4时，?65t + 485 ＝6 5，解得：t =7（舍去）， 当4＜t ＜8时， 2324966 10555 t t -+=，解得t =6或t =10（舍去）， ∴当t 为 35或6时，△PQC 的面积为65 ． 故②正确． 故答案为：A ． 9.如图，平行四边形ABCD 中，AB cm ，BC =2cm ，∠ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，∠B =30°，点P 从点B /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为： . 【答案】y =( )() 2 2023242 t t t ≤≤? ?-+<≤??. 【解析】解：当点Q 在线段AB 上运动时，即0≤t ≤2， 过点Q 作QH ⊥BC 于H ，由题意知，BQ ，BP =2t ， ∵∠B =30°， ∴QH t ， y =12·BP ·QH =1 2 ×（2t t t 2， B 当点Q在线段AC上运动时，即2 过点Q作QH⊥BC于H，由题意知，CQ=8 ，BP=2t， ∵∠C=30°， ∴QH （8 ）， y=1 2 ·BP·QH= 1 2 ×（2t （8 ） （8t 2） =2 3 2 t -+， 综上所述，y = ( ) () 2 2 02 3 24 2 t t t ≤≤ ? ?-+<≤ ?? . 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，DC=4 cm，BC=6 cm，AD=3 cm，动点P，Q同时从点B 出发，点P以2 cm/s的速度沿折线BA-AD-DC运动到点C，点Q以1 cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q 同时出发t s时，△BPQ的面积为y cm2，则y与t的函数图象大致是（） A B C D 【答案】B. 【解析】解：过A作AF⊥BC于E， B P C 则四边形ADCF是矩形， ∴AD=CF=3，CD=AF=4， ∴BF=3， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=5， P点从B运动到A点需2.5 秒， （1）当0≤t≤2.5时，过P作PE⊥BC于E，∴ PE∥AF， ∴BP PE AB AF =, ∴2 54 t PE =，即PE= 8 5 t ， y=1 2·BQ·PE =1 2 t· 8 5 t = 2 4 5 t ， 是一段开口朝上的抛物线； （2）当2.5 y=1 2·BQ·CD =2t，是一条线段； （3）当4 y=1 2 ·BQ·CP= 1 2 t(12－2t)=6t－t2， 函数图象为一段开口朝下的抛物线， 综上所述，选项B 符合要求， 故答案为：B . 12.如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B =60°，动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C . 【解析】解：当点Q 在线段BC 上时，即0≤t ≤2时， S =1 2 BQ ·BP ·sin ∠B = 1 2 2t ·（4－t =)2 42 t t -， 图象为开口朝上的抛物线； 当点Q 在线段CD 上时，即2 D
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