多边形及其内角和
基础过关作业
1、四边形ABCD中，假如∠A+∠C+∠D=280°，那么∠B旳度数是〔〕
A、80°
B、90°
C、170°
D、20°
2、一个多边形旳内角和等于1080°，那个多边形旳边数是〔〕
A、9
B、8
C、7
D、6
3、内角和等于外角和2倍旳多边形是〔〕
A、五边形
B、六边形
C、七边形
D、八边形
4、六边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、
5、正十边形旳每一个内角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏，每一个外角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、
6、如图，你能数出多少个不同旳四边形？
7、四边形旳四个内角能够差不多上锐角吗？能够差不多上钝角吗？能够差不多上直角吗？?什么缘故？
8、求以下图形中x旳值：
综合创新作业
9、〔综合题〕：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF平分∠ADC、
BE与DF有如何样旳位置关系？什么缘故？
10、〔应用题〕有10个都市进行篮球竞赛，每个都市均派3个代表队参加竞赛，规定同一都
市间代表队不进行竞赛，其他代表队都要竞赛一场，问按此规定，?所有代表队要打多少场竞赛？
11、〔创新题〕如图，以五边形旳每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合旳面积、
12、〔1〕〔2005年，南通〕一个多边形旳内角和为540°，那么那个多边形为〔〕
A 、三角形
B 、四边形
C 、五边形
D 、六边形
〔2〕〔2005年，福建泉州〕五边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、
13、〔易错题〕一个多边形旳每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角〔?〕
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
培优作业
14、〔探究题〕
〔1〕四边形有几条对角线？
五边形有几条对角线？
六边形有几条对角线？
……
猜想并探究：
n 边形有几条对角线？
〔2〕一个n 边形旳边数增加1，对角线增加多少条？
15、〔开放题〕假如一个多边形旳边数增加1，?那么那个多边形旳内角和增加多少度？假设将n 边形旳边数增加1倍，那么它旳内角和增加多少度？
数学世界
攻其不备
壁虎在一座油罐旳下底边沿A 处、它发觉在自己旳正上方──油罐上边缘旳B?处有一只害虫、壁虎决定捕捉这只害虫、为了不引起害虫旳注意，它有意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击如图7-3-5、结果，?壁虎旳偷袭得到成功，获得了一顿美餐、
请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短旳路程吗〔线段AB 除外〕？
【答案】:
1、A 点拨：∠B=360°-〔∠A+∠C+∠D 〕=360°-280°=80°、应选A 、
2、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，那么〔n-2〕·180=1080、解得n=8、应选B 、
3、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，依照题意，得〔n-2〕·180=2×360、解得n=6、应选
B 、
4、720
5、144°；36° 点拨：正十边形每一个内角旳度数为：(102)18010
-??=144°， 每一个外角旳度数为：180°-144°=36°、
6、有27个不同旳四边形、
7、解：四边形旳四个内角不能够差不多上锐角，不能够差不多上钝角，能够差不多上直角、
因为四边形旳内角和为360°，假如四个内角差不多上锐角或差不多上钝角，?
那么内角和小于360°或大于360°，与四边形旳内角和为360°矛盾、?
因此四个内角不能够差不多上锐角或差不多上钝角、
假设四个内角差不多上直角，那么四个内角旳和等于360°，与内角和定理相符，因此四个内角能够差不多上直角、
8、解：〔1〕90+70+150+x=360、
解得x=50、
〔2〕90+73+82+〔180-x〕=360、
解得x=65、
〔3〕x+〔x+30〕+60+x+〔x-10〕=〔5-2〕×180、
解得x=115、
9、解：BE∥DF、
理由：∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°、
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°、
∵∠ABE=1
2
∠ABC，∠ADF=
1
2
∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=1
2
〔∠ABC+∠ADC〕=
1
2
×180°=90°、
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF〔同位角相等，两直线平行〕、
10、解：1
2
n〔n-3〕=
1
2
×10×〔10-3〕=
1
2
×10×7=35〔场〕、
答：按此规定，所有代表队要打35场竞赛、
点拨：问题类似于求多边形对角线旳个数、
11、解：〔5-2〕×180°÷360°×12=1.5、
点拨：不能直截了当求出扇形旳度数，用整体法圆与五边形重合部分旳角度和正好是五边形旳内角和、
12、〔1〕C点拨：设那个多边形旳边数为n，
依题意，得〔n-2〕×180°=540°，解得n=5，应选C、
〔2〕540点拨：〔n-2〕×180°=〔5-3〕×180°=540°、
13、C
14、解：〔1〕四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
……
n边形有
(3)
2
n n-
条对角线、
〔2〕当n边形旳边数增加1时，对角线增加〔n-1〕条、
点拨：从n边形旳一个顶点动身，向其他顶点共可引〔n-3〕条对角线，n个顶点共可引n〔n-3〕
条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n边形旳对角线条数为
(3)
2
n n-
、
15、180°，n·180°、
数学世界【答案】:
是最短旳路程、可用纸板做一个模型，沿AB剪开便可看出结论、
课题:7.3.2 多边形的内角和 教材:义务教育课程标准实验教科书人教版七年级下册 授课教师:辽宁省抚顺市第十五中学赖涛 一、教材分析： 本节课是《义务教育课程标准实验教科书》人教版七年级下册第七章第三节《多边形内角和》的第2课时。《三角形》这一章章节结构是“与三角形有关的线段”、“与三角形有关的角” 、“多边形及其内角和”、“课题学习镶嵌”。按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级，而新教材是一种专题式设计，以内角和为主题，先三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌。这样看来“多边形及其内角和”就起到了将知识应用到生活中的桥梁作用。在前一节已经学习了多边形以及多边形的对角线、多边形的内角、外角等该概念，三角形是多边形的一种，学生已经掌握了三角形和特殊的四边形（如长方形、正方形）内角和，所以这节课很适合于让学生自己去发现和总结多边形内角和公式。借助三角形的内角和将多边形可以分割成若干个三角形的方法研究多边形。 二、教案目标 知识与技能： 通过实验探索多边形内角和公式。 数学思考： 1、经历归纳、猜想、推理等过程，发展合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。 2、通过把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想在几何中的运用，感受从特殊到一般的认识问题的方法。 解决问题： 通过探索多边形内角和的公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，积累解决问题的经验。 情感态度： 通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。同时，
体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。 三、教案重点、难点 重点：探索多边形内角和公式。 难点：分割多边形为三角形这一过程。 四、教案方法：教师引导下的自主探究。 五、教案过程设计
多边形的内角和及角的计算（人教版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 答案：C 解题思路： ∵多边形的外角和都等于360°， ∴这个多边形的内角和为720°， ∴(n-2)×180°=720°， ∴n=6， 故选C． 试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和 2.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ） A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形 答案：C 解题思路： ∵多边形的外角和都等于360°，正多边形的每个外角都相等， ∴n=10， 故选C． 试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和 3.若一个n边形的每一个内角为135°，则边数n的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.10 答案：C 解题思路： 多边形每个外角都相等，均为180°-135°=45°， 由多边形外角和为360°，知n=360°÷45°=8， 故选C． 试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和
4.某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了( )米． A.8 B.9 C.10 D.12 答案：A 解题思路： 每走1米，左转45°，则机器人走过的轨迹为边长为1的正多边形．题目所求的是正多边形的周长，故只需求边数n即可． ∵正多边形的每个外角都相等， ∴n=360°÷45°=8， ∴机器人共走了：8×1=8（米）． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：多边形的外角和定理 5.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数( )． A.50° B.60° C.70° D.80° 答案：C 解题思路：
多边形及其内角和 一、选择题： 1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) 3.若正n 边形的一个外角为60°,则n 的值是( ) 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) ° ° ° ° 5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 6.下列命题：① 多边形的外角和小于内角和,② 三角形的内角和等于外角和,③ 多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( ) 个 个 个 个 7.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加 ( ) ° ° C. 360° ° 8.过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的( ) 倍 倍 倍 倍 9.在四边形ABCD 中，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数之比为2∶3∶4∶3，则D ∠的外角等于( ) ° ° ° ° 10.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11.如图，AB ∥CD ∥EF,则下列各式中正确的是 ( ) A.∠1＋∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠2－∠3＝90° C.∠1－∠2＋∠3＝90° D.∠2＋∠3－∠1＝180° 12.在下列条件中：①C B A ∠=∠+∠②321::C :B :A =∠∠∠③B A ∠-?=∠90 ④C B A ∠=∠=∠中，能确定ABC ?是直角三角形的条件有( ) Ａ.①② Ｂ.③④ Ｃ.①③④ Ｄ.①②③
知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 分类1： 分类2： 多边形 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6/。 镶嵌拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共 面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果 整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形凹多边形 图 1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。
多边形的内角和 [教学内容]苏教版四年级下册第96页~97页探究多边形内角和计算规律。 [教材简析] 这部分内容是一次探索规律的活动，主要引导学生通过观察、操作、归纳、类比等具体活动，发现多边形内角和的计算方法。多边形内角和是在学生认识了三角形内角和等于180°，了解多边形基本特征的基础上教学的。通过活动，使学生经历由特殊到一般的学习过程，发现多边形内角和和边数之间的关系，获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验，感悟一些基本的数学思想的方法，体会三角形内角和以及相关数学方法的价值，使学生经历发现数学规律的过程，积累数学活动经验，感悟转化的数学思想。 [教学目标] 1.使学生经历提出问题、自主探索、观察分析、归纳概括等活动，了解多边形与它最少能分成三角形个数之间的关系，掌握多边形的内角和与边数之间的关系，掌握多边形的内角和的计算方法，能正确计算多边形的内角和。 2.使学生经历分一分、算一算、比较归纳等探索、发现规律的过程，加深感受探索数学规律的一般方法，积累相应的数学活动经验，提高解决问题的能力,进一步体会转化思想，培养观察、比较、归纳和概括等的思维能力，进一步发展空间观念。 3.使学生主动参与探索规律的活动过程，进一步产生对数学的好奇心，感受数学活动的挑战性和趣味性，增强学好数学的自信心。 [教学重点]探索多边形内角和的规律。 [教学难点]获得规律探究的一般方法。 [教学过程] 一、创设情境，提出问题 提问：三角形的内角和是多少度？（PPT出示：三角形） 引导：我们知道了三角形的内角和是180°，那四边形、五边形、六边形等多边形的内角和各是多少度呢？（ppt出示教材中的图形）其中有没有什么规律呢？这就是我们要研究的问题——多边形的内角和（板书课题）。我们就从边数较少的简单的图形开始研究不同边数的多边形内角和。 [设计说明：先回顾三角形的内角和再提出探讨四边形、五边形、六边形等多边形的内角和，使得新课导入亲切自然，使学生明确学习任务，激发孩子学习
多边形内角和 第一部分知识点回顾 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6/。 镶嵌拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形 2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。 第二部分经典习题 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形 【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数. 【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少 . 【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。 类型二：多边形对角线公式的运用 2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗 【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。
多边形知识要点梳理 边形的内角和等于180°（n-2）。 360°。 边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 3、4、6/。 拼成360度的角 ：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形． 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的 一条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为 ，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即. 要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为 ，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数；
6．多边形的内角和 预习归纳 n 边形的内角和为______________，外角和为_____________． 例题讲解 【例】求下列图形中的x 值． (1) x 82° 73° (2) x x x -30°x +30° 60° 基础题训练 1．（2014·遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是_______． 2．多边形的外角和为________． 3．（2012·北京）正十边形的每个外角等于（ ） A ．18° B ．36° C ．45° D ．60° 4．（2014·衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 5．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是_______． 6．当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ） A ．都不变 B ．内角和增加180°，外角和不变 C ．内角和增加180°，外角和减少180° D ．都增加180° 7．（2012·贵州铜仁）一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_______． 8．若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ） A ．180° B ．720° C ．1080° D ．540° 9．（2012·江苏南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A ＝120°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数． E D C B A 4 3 2 1 10．在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠C ＝240°，∠C ＝∠D ＝∠E ＝2∠B ，求∠B 的度数． 中档题训练 11．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数之比为5：1．则这个多边形的边数是_______．
多边形的内角和 教学目标 1．掌握多边形内角和及外角和公式． 2．能把多边形问题转化为三角形问题，体现了转化的数学思想，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法． 教学重点 探索并证明多边形内角和与外角和公式． 教学难点 探索多边形内角和时，将多边形转化成三角形来解决问题的思路． 教学设计 一、创设情景，明确目标 问题：1.三角形的内角和是180°；正方形的内角和是360°；一般四边形的内角和是多少呢？ 2．五边形的内角和呢？ 3．n边形的内角和是多少呢？ 二、自主学习，指向目标 学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一多边形的内角和 活动一：探究：教材P21“思考”． 内角和公式吗？ 反思小结：n边形的内角和等于(n－2)·180°. 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二多边形的外角和 活动二：见教材P22例1(答案见课本) 展示点评：任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？你能归纳出多边形外角和的求法吗？ 小组讨论：多边形的外角和与这个多边形的边数之间有数量关系吗？ 反思小结：多边形的外角和等于360°. 针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习的数学知识是：多边形的内角和公式，及外角和．2．数学思想：转化、数形结合． 五、达标检测，反思目标 1．填空： （1）八边形的内角和等于( ) （2）已知一个多边形的内角和等于2340°， 它的边数是( ) （3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？ （4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4， 那么这个四边形中最大角的度是。 （5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是n°，则n= 。 （6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是。 （7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？ ●布置作业，巩固目标教学难点 1．上交作业课本P257、8、9、10. 2．课后作业见《学生用书》．
多边形的内角和教案 一、教学目标 1、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。 2、通过探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力，体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、通过探索多边形内角和公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。 4、通过猜想，推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习热情。 二、教学重点、难点 重点：探索多边形的内角和公式。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形，利用三角形内角和180度求出多边形内角和。 三、教学方法： 学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合. 四、教具准备 ①每个小组一张“探究实验报告单”（活动1） ②每人一张“类比探索五边形、六边形、七边形的内角和的答题纸”（活动2） ③多媒体课件 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 问题1：把一个长方形纸片剪去一个角还剩几个角？ 【学生给出的答案可能是 ---三个角、四个角、五个角，教师演示动画。】 问题2：你知道所得图形的内角和吗？你知道102边形的内角和吗？ 【根据学生的回答，教师指出本课内容，板书课题: 多边形的内角和。】 （二）合作交流，探索新知 活动1：猜想验证四边形的内角和 问题：（1）任意四边形的内角和等于多少度？ （2）你是怎样得到的？你能找到几种方法？ 【问题（1）学生很容易猜到360°，问题（2）组织学生四人一组拿出课前老师发给每个小组的探究实验报告，讨论并记录探究方法。 在讨论的过程中，教师给出合格、良好、优秀的“自我评价标准”，每个小组对照评价表给出自我评价，教师深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”的形式，适时对各小组进行点拨。 讨论结束后，小组学生代表用实物投影展示探究实验报告，说明求四边形内角和的方法，并讲述想法。教师对学生找到的不同方法都给予肯定和评价，并加以总结，归纳学生提出的探究方法：度量、剪拼、分割。 教师将常用的3种分割方法板书到黑板上。重点引导学生比较三种不同的分割方法----即从四边形的一个顶点引对角线；从四边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段；从四边形的内部任取一点，连接这点与各顶点的线段,分别将四边形分成了几个三角形，如何利用三角形的内角和180°求出四边形的内角和360°，如何将四边形内角和的表示与边数n联系起来。】
7．3 多边形及其内角和 基础过关作业 1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（） A．80° B．90° C．170° D．20° 2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（） A．9 B．8 C．7 D．6 3．内角和等于外角和2倍的多边形是（） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 4．六边形的内角和等于_______度． 5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？?为什么？ 8．求下列图形中x的值：
综合创新作业 9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF 平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？ 10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，?所有代表队要打多少场比赛？ 11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
12．（1）（2005年，南通）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （2）（2005年，福建泉州）五边形的内角和等于_______度． 13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（? ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 培优作业 14．（探究题） （1）四边形有几条对角线？ 五边形有几条对角线？ 六边形有几条对角线？ …… 猜想并探索： n边形有几条对角线？ （2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？ 15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，?那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？ 数学世界 攻其不备 壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B?处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，?壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐． 请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗（线段AB除外）？
11.3.2多边形的内角和（教学设计） 一、教学目标 1、知识与技能： （1）探索并了解多边形的内角和公式。 （2）能对多边形的内角和公式进行应用，解决实际问题。 （3）掌握多边形的外角和定理，并能运用。 2、过程与方法： （1）通过量，拼，分，类比，推理等教学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。 （2）通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、情感态度与价值观： （1）通过师生共同活动，培养学生创新精神，增强学生对数学的好奇心与求知欲。 （2）向学生渗透类比、转化的数学思想，并使学生学会与他人合作。 二、教学重难点 重点：多边形内角和定理与外角和定理的推导及运用。 难点：将多边形的内角和转化为三角形的内角和，找出它们之间的关系。 三、教法：启发式、探索式 四、学法：自主探索、合作交流 五、前置作业： 1、做一个不规则四边形学具； 2、用尽可能多的方法探究多边形的内角和。 （目的：一是让学生结合自己已有的生活经验，尝试应用更多的方法来探究多边形的内角和。二是制作一个学具，
通过操作学具来触发学生的思考，为重难点的突破打好基础。） 六、教学过程： （一）创设问题情境，导入新课 课件出示一组生活中的图片 问题1：看完这组图片，你能抽象出哪些几何图形 问题2：生活中有如此多几何图形，你对它们有多少了解？ 设置意图：学生能说出发现了三角形、四边形、五边形、六边形、八边形…进而指出什么是多边形。老师指出三角形是最简单的多边形，三角形的内角和是180度，那多边形的内角和是多少呢？从而顺利引入新课。 过渡语：我们知道三角形的内角和等于180度，正方形，长方形的内角和等于360度，那么四边形、五边形、六边形呢？ 今天，老师想和同学们一起走进多边形的家园去揭开多边形的内角和的奥秘。”（板书课题） 二、合作交流、探究新知 活动一：探究“任意四边形的内角和” 问题1：任意四边形的内角和是多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？ 活动任务：用用尽可能多的方法探索四边形的内角和 活动要求： 1.先自己想，再小组交流。 2.然后每个小组派两名同学代表展示，并说出方法。
多边形的内角和 建议 1．教材分析 （1）知识结构： （2）重点和难点分析： 重点：四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用。 难点：四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面讲解三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思学生不好理解，所以是难点。 2．教法建议 （1）本节的引入最好使用我们提供的多媒体课件，通过这个课件，使学生认识到这些四边形都是常见图形，研究它们具有实际应用意义，从而激发学生学习数学的兴趣。
（2）本节的，要以三角形为基础，可以仿照三角形，通过类比的方法建立四边形的有关概念，如四边形的边、顶点、内角、外角、内角和、外角和、周长等都可同三角形类比，要结合三角形、四边形的图形，对比着指给学生看，让学生明确这些概念。 （3）因为在三角形中没有对角线，所以四边形的对角线是一个新概念，它是解决四边形问题时常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解决.结合图形，让学生自己动手作四边形的一条对角线，并观察四边形的一条对角线把它分成几个三角形？两条对角线呢？使学生加深对对角线的作用的认识。 （4）本节用到的数学思想方法是化归转化的思想和类比的思想，在讲解本节知识时要渗透这两种思想方法，并且在本节小结中对这两种数学思想方法进行总结，使学生明白碰到复杂的、未知的问题要转化为简单的、已知的问题。 目标： 1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和定理； 2．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力； 3．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归转化的数学思想； 4．讲解四边形的有关概念时，联系三角形的有关概念向学生渗透类比思想.
4.7(1)自学提纲 湖北省鹤峰县邬阳民族学校吴韦君 主题：多边形的内角和及边角关系 学习目标：明确多边形内角和公式和对角线条数公式的来历，并能熟练运用这两个公式 自学指导： 一、新课准备 什么是多边形？什么是多边形的边、顶点、内角、内角和？ 二、新知探索 思考一：多边形的内角和怎样求？ 三角形的内角和是，那么四边形的内角和是多少？五边形的内角和又是多少？六边形的内角和又是多少？你是怎么求出来的，请画图说明. 那么，对于任一个n多边形，内角和是多少？怎样理解这个公式？ 思考二：多边形的边角关系 1.如果一个三角形的两边相等，那么是否就有两个内角对应相等？那么反过来若知道一个三角形的两个内角相等，那么是否就有两条边相等？对于三角形的这个特点，我们可以用一句话来概括
C 2.那么对于任一多边形，如果它的各边都相等，那么是否可以得到它的各个 内角也相等，如果不是，请举出一个反例。 3. 那么对于任一多边形，如果它的各内角都相等，那么是否可以得到它的 各边也相等，如果不是，请举出一个反例。 4.什么是正多边形？对于一个正n 边形，它的每个内角是多少？ 思考三：多边形的对角线 1.什么是对角线？三角形有没有对角线？ 2.四边形有没有对角线？过四边形的一个顶点可以画多少条对角线，总共可 以画多少对角线？ 3.过五边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？ 4. 过六边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？ 5.那么过n 边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角 线？ 三、自学能力检测 1.求七边形的内角和与对角线的总条数. 2.已知一个多边形的内角和是1080°，求它的边数。 3.在一个四边形中，若两对角互补，那么另两个内角是什么关系？ 4.把一个长方形桌面，锯掉一个角之后，剩下残余桌面的内角和是多少? 5.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 6.如图，在六边形ABCDEF 中，每个内角都相等，且AB=1，BC=2，CD=3.5，DE=2.5，边形的周
9.2 多边形的内角和与外角和练习一一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是___. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数. 15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.11．3 多边形及其内角和 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2/3, 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. 19.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数. 20.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形? 21.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地 板的理由. 22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.
知识要点梳理 边形的内角和等于180°（n-2）。 360°。 边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 3、4、6/。 拼成360度的角 ：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形． 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的 一条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为 ，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即. 要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为 ，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数.
专题23 多边形内角和问题 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 8.多边形对角线的条数： （1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。 （2）n边形共有 2 3) - n(n 条对角线。 【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（） A．360°B．540°C．630°D．720° 【答案】C． 【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°． 专题知识回顾 专题典型题考法及解析
【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（） A．108°B．120°C．135°D．140° 【答案】D． 【解析】先根据多边形内角和定理：180°?（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°， 则每个内角的度数＝． 【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（） A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形 【答案】D 【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。 多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，列方程可求解． 设所求多边形边数为n， 则（n﹣2）?180°＝1080°， 解得n＝8． 【例题4】（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度． 【答案】144． 【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠E＝∠A＝＝108°． ∵AB、DE与⊙O相切， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°， ∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。
11.3多边形及其内角和 一、选择题： 1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 6.下列命题：①多边形的外角和小于内角和,②三角形的内角和等于外角和,③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加( ) A.180° B.90° C. 360° D.540° 8.过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的( ) A.4倍 B.5倍 C.6倍 D.3倍 ABCD?A?B?C?D?D的外角等于、( ) 、9.在四边形的度数之比为中，、2∶3∶4∶3，则A.60° B.75° C.90° D. 10.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的 边数是 ( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11.如图，AB∥CD∥EF,则下列各式中正确的是( ) A.∠1＋∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠2－∠3＝90° C.∠1－∠2＋∠3＝90° D.∠2＋∠3－∠1＝180° ?A??B??C?A:?B:?C?1:2:3?A?90???B在下列条件中：①③②12.?A??B??C?ABC是直角三角形的条件有中，能确定( ) ④Ａ.①②Ｂ.③④Ｃ.①③④Ｄ.①②③ 二、填空题 1.五边形的内角和等于______度. 2.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.
知识要点梳理 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形． 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一 条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为 ，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即. 要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为 ，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数；