教学合班 1：专业班合计人授课
合班 2：专业班合计人日期对象
合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划
内容
第一节导数的概念
2学时
（课题）
通过学习，学生能够：
1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数；
2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线；
3.理解可导与连续的关系。
具体目标如下：
教学
目的
知识目标：技能目标：素养目标：
教学重点难点教学资源
1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维
2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能
3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力；
2．培养学生严谨、求实
的作风。
重点：导数的定义。
难点：理解导数的几何意义。
教材、例子（幻灯片）、课件。
教学后记
对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：
教学活动流程
教学步骤与内容教学目标教学方法时间
对前面的知
识进行复习
A. 复习内容与巩固，并简述
1．极限的定义为新知识和6mins
2.极限的计算方法新技能的学
习奠定必要
的基础。
板书 ( 或 PPT展
B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介
明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示
标
C.讲授新知
导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数
的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过
程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践
中都有非常广泛的应用。
一、瞬时速度、曲线的切线斜率
1.变速直线运动的瞬时速度
设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的
关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度．
分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins
那么质点在时刻 t0与时刻 t0t
间隔内的平均速度也就是
辅以 PPT展示
引入导数概念
质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 )
t
在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作
变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算
瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由
t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 )
t
当时间间隔
t 很小时，其平均速度就可以近似地看作
时刻 t 0 的瞬时速度．且 t 越小，接近的程度就越好．因此，
当 t
0 时，如果平均速度
s
的极限存在，那么，就把
t
这 个 极 限 称 为 物 体 在 t 0 时 刻 的 瞬 时 速 度 ， 即 ：
v 0 lim v lim s(t 0
t ) s(t 0 )
．
t 0
t 0
t
2.曲线切线的斜率 定义
设点 P 0 是曲线 L 上的一个定点， 点 P 是曲线 L
上的动点，当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P 0 时，如果割线 PP 0 的极限位置 P 0T 存在，则称直线 P 0T 为曲线 L 在点 P 0 处的切 线
设曲线方程为 y =f(x) 在点 P 0(x 0， y 0)处的附近取一点
P( x 0
x, y 0 y)
那么割线 P 0 P 的斜率为
tan
y
f ( x 0
x)
f ( x 0 )
如果当点 P 沿曲线趋
x
x
向于点 P
0 时，割线 P P 的极限位置存在，即点
P 0
处的切
，割线斜率 tan
线存在，此刻
x
0,
趋向切线
P 0 T 的斜率 tan a ，即， tan
lim f ( x 0
x)
f ( x 0 ) .
x 0
x
二、导数的定义
定义 : 设函数 y
f ( x) 在点 x 0 的一个邻域内有定
义。在 x 0 处给 x 以增量 x （ x 仍在上述邻域内 ) ，函数 y
相应地有增量
y
f ( x 0
x) f (x 0 ) ，如果 lim
y 存
x
x 0
总 结 概 括 导 数 讲解 在，则称此极限值为函数
y f ( x) 在点 x 0 处的导数 .记作：
定义
5mins
或 dy
f ' (x) 或 y' x x ，即
dx x
x 0
f '( x) lim f ( x 0
x)
f ( x 0 )
x 0
x
此时也称函数
f ( x) 在点 x 0
处可导 .
如果上述极
限不存在，则称 f ( x) 在 x
处不可导 .
例
求函数 f (x) = x 2 在 x
0 = 1 处的导数， 即 f /
(1).
1、
解: 第一步求
y ：
y
f (1
x) f (1)
(1
x)
2
1
2
2 x
( x)
2
第二步求
y ：
x
y 2 x
( x)2 2
x ( x
0).
x
x
第三步求极限：
lim
y lim (2
x)
2所以，
x
f ' (1) 2
x
x 0
三、导数的几何意义
函数 y = f ( x)
在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲
线 y = f ( x) 在点 ( x 0 ， f ( x 0)) 处的切线的斜率 , 即：
tan
f ' (x 0 ) ，图 P46
会 用 定 义 求 函 讲解数 在 一 点 处 的导数
理 解 导 数 的 几 讲解何意义
7mins
10mins
由此可知曲线
y = f (x) 上点 P 0 处的切线方程为：
y
y 0 f ' ( x 0 )( x x 0 )
法线方程为：
y
y 0
1 ( x x 0 ) ( f (x 0 )
0) ，其中 y = f ( x ).
f ( x 0 )
例 2 求曲线 y = x 2 在点 (1, 1)
处的切线和法线方程 .
讲练结合
解： 从例 1 知 ( x 2
)'
2 即点 (1, 1) 处的切线斜率
会 求 曲 线 的 切
线
x 1 为 2 ，所以 ,
切线方程 y –1 = 2( x - 1).，即 y = 2 x - 1.法线方程 1 1 x 3
y 1
( x 1). ，即 y
2
2 2
四、导数的物理意义
对于不同的物理量有着不同的物理意义
. 例如变速直 了 解 导 数 的 物 简单介绍
线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即
'( t 0 ) ( t 0 ) .理意义
s
v
我们也常说路程函数
s(t) 对时间的导数就是速度 .
五、导函数
一般地，函数
f (x) 的导函数
f ( x) lim
f (x
x) f ( x) 讲解
x 0
x
理 解 导 函 数 的
例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x (
, ) ).
定义
7mins
3mins
5mins
解： f ( x)
sin( x
lim
x 0
2 cos x
lim
x
lim
y lim f ( x
x) f ( x) x 0 x x
0 x
x) sin x
x
x
sin
x
2 2
x
讲解
导 函 数 的 计 算
10mins
x sin x
lim cos x
2
cosx
，
即 ：
x
2
x
(sin x)' cos x.
2
类似可得： (cos x)' - sin x.
定义
如果 lim f ( x 0
x)
f ( x 0 )
存在 ，则称此极
x 0
x
限值为 f (x) 在点 x 0 处的左导数 ，记作 f ’(x 0)；同样，如 果 lim f ( x 0
x)
f ( x 0 )
存在， 则称此极限值为
f (x)
x 0
x
在点 x
0 处的右导数 ，记作 f ’ (x ) .
+
显然， f (x) 在 x
处可导的充要条件是
f ’(x ) 及 f
- 0
‘ (x ) 存在且相等 .
+
0 定义 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导， 则称 f
(x) 在区间 I 上可导 . 如果 I 是闭区间 [a, b]，则端点处可
导是指 f ’(a)、 f ’(b) 存在 .
+ -
方法
讲解
理 解 左 导 数 和
8mins
右导数的概念
六、可导与连续的关系
定理
如果函数 y = f (x) 在点 x 0
处可导 , 则 f (x)
讲解
8mins
在点 x 0
处连续 ，其逆不真 .。
理 解 可 导 与 连续的关系
D.课堂小结
建 立 系 统 的
一、导数的定义 知识结构，明
确 本 节 的 重 7mins
二、导数的几何意义 点，对重点内
三、可导与连续的关系
容 进 行 复 习
E. 布置作业
与提高。
2mins
巩 固 所 学 的
知识，培养自
学能力
例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?， 即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业
导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数
处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数
在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知