高中三角函数知识点及其经典例题、[1]

高中三角函数公式大全

2009年07月12日 星期日 19:27

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB -1tanB

tanA +

tan(A-B) =tanAtanB 1tanB

tanA +-

cot(A+B) =cotA cotB 1

-cotAcotB +

cot(A-B) =cotA

cotB 1

cotAcotB -+

倍角公式

tan2A =A

tan 12tanA

2

- Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA

tan3a = tana 2tan(3π+a)2tan(3

π

-a)

半角公式 sin(

2

A )=2cos 1A -

cos(

2

A

)=2cos 1A +

tan(

2

A

)=A A cos 1cos 1+-

cot(2

A )=A A cos 1cos 1-+

tan(

2

A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +

和差化积

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2

b

a -

sina-sinb=2cos

2b a +sin 2b

a - cosa+cos

b = 2cos 2b a +cos 2b

a -

cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2

b

a -

tana+tanb=b

a b a cos cos )

sin(+

积化和差

sinasinb = -21

[cos(a+b)-cos(a-b)]

cosacosb = 21

[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb = 21

[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosasinb = 2

1

[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa

sin(2π

-a) = cosa

cos(2π

-a) = sina

sin(2π

+a) = cosa

cos(2

π

+a) = -sina

sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa

tgA=tanA =a

a

cos sin

万能公式

sina=

2

)2(tan 12tan

2a

a + cosa=

2

2

)2

(tan 1)2(tan 1a

a

+-

tana=

2

)2

(tan 12tan

2a

a - 其它公式

a?sina+b?cosa=)b (a 22+3sin(a+c) [其中tanc=a

b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+3cos(a-c) [其中tan(c)=

b

a ] 1+sin(a) =(sin

2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2

a

)2

其他非重点三角函数

csc(a) =a sin 1

sec(a) =a

cos 1

双曲函数 sinh(a)=2e -e -a

a

cosh(a)=2

e e -a

a +

tg h(a)=

)

cosh()

sinh(a a

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα

tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六： 2

π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （2π

+α）= cosα

cos （2π

+α）= -sinα

tan （2π

+α）= -cotα

cot （2π

+α）= -tanα

sin （2π

-α）= cosα

cos （2π

-α）= sinα

tan （2π

-α）= cotα

cot （2π

-α）= tanα

sin （23π+α）= -cosα

cos （23π+α）= sinα

tan （23π+α）= -cotα

cot （23π+α）= -tanα

sin （2

3π-α）= -cosα

cos （

23π

-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα

cot （2

3π-α）= tanα

(以上k ∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) =)cos(222?θ?++AB B A 3sin

)

cos(2)

Bsin in arcsin[(As t 2

2

?θ?θω?++++AB B A

三角函数公式证明（全部） 2009-07-08 16:13 公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h

-----------------------三角函数积化和差和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前

正减正余在前

余加余都是余

余减余没有余还负

正余正加余正正减

余余余加正正余减还负

.

3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................

已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ

sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

三角函数题解

1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移

2

π个单位，再沿y 轴向

下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）

A.（1－y ）sin x +2y －3=0

B.（y －1）sin x +2y －3=0

C.（y +1）sin x +2y +1=0

D.－(y +1)sin x +2y +1=0 1.答案：C

解析：将原方程整理为：y =

x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π

个单

位和1个单位，因此可得y =

)

2

cos(21

π

-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.

17.（1997全国，3）函数y =tan （

3

1

21-x π）在一个周期内的图象是（ ）

17.答案：A 解析：y ＝tan （

3121-x π）＝tan 2

1

（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A.

4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）

A.［2k π－

2π，2k π＋

2

π］（k ∈Z ）

B.［2k π＋2

π，2k π＋

2

3π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 4.答案：A

解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增

区间.

6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）

A.（0，1）∪（2，3）

B.（1，

2

π

）∪（

2

π，3）

C.（0，1）∪（

2

π，3） D.（0，1）∪（1，3） 6.答案：C

解析：解不等式f （x ）cos x ＜0???

??<<>?300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或

∴???<<<

??<<<<10102

3

1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3

7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2

π

，π）上为

减函数的是（ ）

A.y =cos 2x

B.y ＝2|sin x |

C.y ＝(

3

1)cos x

D.y =－cot x

7.答案：B

解析：A 项：y =cos 2x =2

2cos 1x +，x =π，但在区间（2π

，π）

上为增函数.

B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2

π，π）上

为减函数.

C 项：函数y =cos x 在(

2

π，π)区间上为减函数,数y =（

31）x 为减函数.因此y =（3

1）cos x 在（

2

π

，π）区间上为增函数

.

D 项：函数y ＝－cot x 在区间（

2

π，π）上为增函数.

8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）

8.答案：C

解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋?）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋?）在［a ，b ］上（ ）

A.是增函数

B.是减函数

C.可以取得最大值－

D.可以取得最小值－m

13.答案：C

解法一：由已知得M ＞0，－

2

π＋2k π≤ωx ＋?≤

2

π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在

［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋?＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.

解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a ，b ］为［－

2

π

，

2

π］，M ＝1，则

g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.

评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋?）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.

14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－

2

π

＜α＜

2

π

)，则α∈（ ）

A.（－

2

π，－

4

π） B.（－

4

π，0）

C.（0，

4

π） D.（

4

π，

2

π）

14.答案：B 解法一：取α＝±

3

π，±

6

π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－

6

π适合，

又只有－

6

π∈（－

4

π，0），故答案为B.

解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－

2

π

，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－

4

π

，0）

20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋

4

π

）＋3cos （3x ＋

4

π）的最小正周期是（ ）

A.6π

B.2π

C.

3

2π

D.

3

π

20.答案：C 解析：y ＝4sin （3x ＋

4

π）＋3cos （3x ＋

4

π）＝5［

54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4

π）］＝5sin （3x ＋

4

π

＋?）（其中tan ?＝

4

3

） 所以函数y ＝sin （3x ＋4

π）＋3cos （3x ＋

4

π）的最小正周期是T ＝

3

2π. 故应选C.

评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝

22b a +sin （α＋?），其中sin ?＝

2

2

b

a b +，

cos ?＝

2

2

b

a a +，及正弦函数的周期性.

21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝

9

5

，那么sin2θ等于（ ） A.

3

2

2 B.－

3

2

2 C.

32

D.－

3

2 21.答案：A

解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝

9

5 于是1－

21sin 22θ＝95，sin 22θ＝9

8

，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋

2

3π

从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝

3

2

2，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋

2

3π

，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝

322，得2sin 2θcos 2θ＝9

4

，并与sin 4θ＋cos 4θ＝

9

5

相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.

22.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8

π对称，那么a

等于（ ）

A.

2

B.－

2

C.1

D.－1

22.答案：D

解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－

8

π对称，表明：当x =－

8

π时，函数

取得最大值12+a ，或取得最小值－12

+a ,所以有［sin （－

4

π

）+a 2cos （－

4

π

）］2=a 2+1，

解得a =－1.

27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+

3tan20°2tan40°的值是_____.

27.答案：

3

解析：tan60°=

??-?

+?40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，

∴tan20°+tan40°+

3tan20°tan40°=3.

29.（1995上海，17）函数y ＝sin

2x ＋cos 2

x

在（－2π，2π）内的递增区间是 . 29.答案：［2

,23π

π-

］

解析：y ＝sin

2x ＋cos 2x ＝2sin （4

2π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π

（k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π

（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－2

3π，2π］

（－2π，2π）.

30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝

5

1

，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 30.答案：－

4

3 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值.

将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝25

1

变形得1－2sin θcos θ＝2－

25

1， 即（sin θ－cos θ）2＝

25

49 又sin θ＋cos θ＝

5

1

，θ∈（0，π） 则

2

π＜θ＜

4

3π

，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝

5

7

，于是 sin θ＝

54，cos θ＝－5

3，cot θ＝－43

. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ2cos θ＝－

25

12

，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－

51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－5

3，

sin θ＝

5

4，得cot θ＝－43

.

32.（2000全国文，17）已知函数y ＝

3sin x ＋cos x ，x ∈R .

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解：（1）y ＝

3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos

6

π

＋cos x sin

6

π）＝2sin （x ＋

6

π），x ∈R

y 取得最大值必须且只需x ＋

6

π

＝

2

π＋2k π，k ∈Z

即x ＝

3

π＋2k π，k ∈Z .

所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3

π＋2k π，k ∈Z ｝

（2）变换的步骤是：

①把函数y ＝sin x 的图象向左平移

6

π，得到函数y ＝sin （x ＋

6

π）的图象；

②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋

6

π）的图象；

经过这样的变换就得到函数y ＝

3sin x ＋cos x 的图象.

33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值.

33.解：原式＝

21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋2

1

（sin70°－sin30°） ＝1＋

21（cos100°－cos40°）＋21

sin70°－4

1 ＝

4

3－sin70°sin30°＋21

sin70°

＝

43－21sin70°＋21

sin70°＝4

3.

评述：本题考查三角恒等式和运算能力.

34.（1994上海，21）已知sin α＝

53，α∈（2

π，π），tan （π－β）＝21

，

求tan （α－2β）的值.

34.解：由题设sin α＝

53

，α∈（2

π，π）， 可知cos α＝－

54

，tan α＝－4

3 又因tan （π－β）＝

21，tan β＝－2

1

，所以tan2β＝34tan 1tan 22

-=-ββ tan （α－2β）＝24

7

1134

432tan tan 12tan tan =++

-

=+-βαβα

37. 求函数f (x )=12

1

log cos()3

4

x π+

的单调递增区间

解：∵f (x )=12

1log cos()3

4

x π+

令4

3

1π+=x t ,∴y=t cos log 2

1,t 是x 的增函数,又∵0<2

1<1,∴

当y=t cos log 2

1为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+

2

π

(k ∈Z),∴2k π≤431π

+x <2k π+2π (k ∈Z) ,6k π-43π≤x<6k π+43π (k ∈Z),∴f (x )=)431cos(log 2

1π+x 的单调递减区间是[6k π-43π,6k π+4

3π) (k ∈Z)

三角函数知识点及题型归纳

三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

高中三角函数典型例题(教用)

【典型例题】： 1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又1cos sin 22=+a a ， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=???????==x x x x 2、求) 330cos()150sin()690tan() 480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值。 解：原式) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o ο οοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3、若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求x x cos sin 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=- 得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=???????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =10 3 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-， 所以2 2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-，

【全】初中数学 三角函数知识点总结

锐角三角函数 锐角三角函数 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边 正割（sec)等于斜边比邻边 余割(csc)等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ?积的关系： sinα=tanα?cosα cosα=cotα?sinα tanα=sinα?secα cotα=cosα?cscα secα=tanα?cscα cscα=secα?cotα ?倒数关系： tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1

直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. 特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinα 1 √3/ 2 √2/2 1/2 0 ←cosα 0 √3/3 1 √3 None ←tanα None √3 1 √3/3 0 ←cotα 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

三角函数知识点及典型例题

三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式： R 4、扇形面积公式： S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=） _______ sin r y =α，________cos r x =α，_____tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k （Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：2 2 sin cos 1αα+=.2、 商数关系：sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??-

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

高中数学基础知识典型例题4——三角函数

高中数学基础知识典型例题4——三角函数

数学基础知识与典型例题 第四章三角函数 三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表 角的概念1.①与α（0°≤α<360°）终边相 同的角的集合 （角α与角β的终边重 合）:{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ; ②终边在x轴上的角的集 合:{}Z k k∈ ? =, 180 | β β; ③终边在y轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β; ④终边在坐标轴上的角的集 合：{}Z k k∈ ? =, 90 | β β. 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2π180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数， 例1.已知2弧度的圆心 角所对的弦长为2,那么 这个圆心角所对的弧长 为( ) ()2 A ()sin2 B 2 () sin1 C ()2sin1 D 例 2. 已知α为第三象 限角,则 2 α 所在的象限 是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 负角的弧度数为负数，零角的 弧度数为零,熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下，扇形弧长公式 1 2 r α =，扇形面积公 式2 11 || 22 S R Rα ==，其中α为弧所对圆心角的弧 度数。 三 角 函 数 的 定 义 1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角 形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边 上任取一点(,) P x y（与原点不重合），记 22 || r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由 角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 kπ αα ±→或 90 2 k αα ±→ 之间函数值关系() k Z ∈，其规律是“奇变偶不变， 符号看象限”；如sin(270) α -=cosα - ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商 数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 例 3.已知角α的终边经 过P(4,-3),求 2sinα+cosα的值. 例 4.若α是第三象限 角,且cos cos 22 θθ =-, 则 2 θ 是( ) ()A第一象限角 ()B第二象限角 () C第三象限角 () D第四象限角 例5. 若cos0, θ>sin20, θ< 且

三角函数知识点汇总

三角函数知识点 考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan =

考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图

三角函数知识点总结及练习题

高中数学必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ； 第四象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3 α所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零； 任一角α的弧度数的绝对值r l =||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 （6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（22cm ） 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0） 练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。 II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切 线； 练习： （1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<） （2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系

初中三角函数知识点总结(中考复习)

初中三角函数知识点总结(中考复习)

锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C

切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α

三角函数典型例题剖析与规律总结00

学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结 阶段 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课 课前 检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一：函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。 分析：要求1 sin 2+ = y的定义域，只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合，即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Z k∈即可。 解：由题意知需0 1 sin 2≥ + x，也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此 可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域 （1）x y2 sin 2 3- =（2）2 sin 2 cos2- + =x y x 分析：利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。 解：（1） 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y （2） ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。

高中部分三角函数知识点总结

★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）

三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如

(； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】 三角函数的诱导公式 【知识点1诱导公式】 【知识点2诱导公式的记忆】 诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a , cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a, cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z 诱导公式四: cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^?-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z 诱导公式六: Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿

记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数 时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角 时原函数值的符号. 【考点1利用诱导公式求值】 【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化 过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完 成求值. 【例1】(2018秋?道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值. T 、 COS (Λ^ + α)sin(^? - a) (I )------------------------------------- ； tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a) sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召—— cos^ a - sm^ a + tan(;T - a) 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要 求式子的值. 【答案】解：?.?角α终边上有一点P(l,l), .x = l , y = l , r =|OP I= √7, Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X ([) cos(∕r + α)sin(%-α) 、 -、，兀 、 tan(^? + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π ([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r - a) cos 2a - sin 2a 一 tan a 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思 想，属于基础题. 【变式1-1】 (2019春?龙潭区校级月考)己知tan(^+ ?) = -!,求下列各式的值: -COSa ?smα ton a + cos 2(x

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<

三角函数的易错点以及典型例题与高考真题

三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=

三角函数知识点汇总

1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数

考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.