第四章一元一次不等式(组)
考点一、不等式的概念（3分）
1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这
个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的
解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质（3-5分）
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果
不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
考点三、一元一次不等式（6--8分）
1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两
边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的
系数化为1
考点四、一元一次不等式组（8分）
1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等
号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
7、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
经典例题透析
类型一：解一元一次不等式组
1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：
【变式1】解不等式组：
【变式2】解不等式组：
思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：
（1）不等式组里不等式的个数并未规定；
（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.
（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别
【变式3】解不等式组：
【变式4】解不等式：－1＜≤5
总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解.
【变式5】求不等式组的整数解。
类型二、含参数的一元一次不等式组
2、若不等式组无解，求a的取值范围.
.
举一反三：
【变式 1】若不等式组
无解，则 的取值范围是什么？
【变式 2】若关于 的不等式组
的解集为 ，则 的取值范围是什么？
总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高 解这类题
目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式 2，最后归结为对不等式组
就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。
解集的确定，这
【变式 3】不等式组
的解集为 x ＜2，试求 k 的取值范围.
【变式 4】已知关于 的不等式组 的整数解共有 5 个，求 的取值范围。
＝
【变式5】若不等式组的解集为－1＜x＜1，则(a＋b)2008＿＿＿。
类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题
3、某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若
每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求预定每组学生的人数。
总结升华：列不等式(组)解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。
举一反三：
【变式1】某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：
饮料每千克含量A（单位：千克）B（单位：千克）
甲
0．5
0．3
乙
0．2
0．4
（1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。
（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请用含有x的式子来表示y。并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料
的成本总额最小？
【变式2】某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票人使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次3元。
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少多少次时，购买A类年票才比较合算。
【变式3】若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？
【变式4】某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租车公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元，
（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。
【变式5】解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程（2）解不等式（3）若的解为
≥9；
≤a对任意的x都成立，求a的取值范围
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧
(提高部分)
已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
一、化简不等式（组），比较列式求解
例1．若不等式的解集为，求k值。
例2．（2014年山东威海市中考题）若不等式组
A、m≥3
B、m=3
C、m<3
D、m≤3
的解集是x>3，则m的取值范围是（）。
例3．（2014年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1 评述：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。 二、结合性质、对照求解 例4．（2014年江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为 A、a>0 B、a>1 C、a<0 D、a<1 ，则a的取值范围是（）。 （ 例 5．（2014 年湖北荆州市中考题）若不等式组 A 、a<3 B 、a=3 C 、a>3 D 、a ≥3 的解集是 x>a ，则 a 的取值范围是（ ）。 变式（2014 年重庆市初数赛题）关于 x 的不等式(2a-b)x>a-2b 的解集是 解集为______。 三、利用性质，分类求解 ，则关于 x 的不等式 ax+b<0 的 例 6．已知不等式 的解集是 ，求 a 的取值范围。 例 7．若不等式组 有解，且每一个解 x 均不在-1≤x ≤4 范围内，求 a 的取值范围。 评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解 集不在 a ≤x 画数轴表示解集分析等号。 四、借助数轴，分析求解 例 8．2014 年山东聊城中考题）已知关于 x 的不等式组 的整数解共 5 个，则 a 的取值范围是________。 变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求 a 的范围。 (2)若上不等式组无整数解，求 a 的范围。 例9．关于y的不等式组的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。 评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点A、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。 五、运用消元法，求混台组中参数范围 例10.下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食品混合成100kg，混合后每kg含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量。要想成本最低，问三种食品各取多少kg? 硒（单位含量/kg）锌（单位含量/kg）单位（元/kg）A 4 6 9 B 4 2 5 C 6 4 10 八年级上册数学第6章《一元一次不等式》学案 § 6.1不等关系和不等式(1) 教师寄语：处处留心皆学问 学习目标： 1.通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式的意义，使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程，感受不等式 和等式都是刻画现实世界中数量关系的工具，发展学生的符号感. 学习重点：不等式的概念 学习难点：不等关系的表示学习过程： 一、自主探究： 1.学生自主阅读课本第162页，你能利用不等号分别表示出上述3个问题中的不等关系 吗？与同学交流一下。 2.相关知识链接： 某中学八年级(1)班50名学生在上体育课，老师说了这样一句话：我拿来了一些篮球，如果每5名同学玩一个篮球，有些同学没有篮球玩，如果每6名同学玩一个 篮球，就会有一个篮球玩的人数少于6人，请同学们回答下面的问题： (1)你能把老师的这句话用三个式子表示出来吗？ (2)你列出的式子与我们以前学过的等式有什么不同？ 学习新知： 1.___________________________________________ 不等式的概念：叫做不等式。 并举例说明，阅读课本第162页的“加油站”。 2.例题讲解： 判断下列式子哪些是不等式？哪些不是？ ①3>—1;②3x< —1;③2x — 1; ?s=vt;⑤2mK 8 — m;⑥5x — 3=2x+1; ⑦a+b> c；⑧ 1+1M 2 规律总结： 一个式子是不是不等式， 关键是看它是否含有常用的五中不等号其中的一种或几种, 若有则是不等式；否则便不是。 强化练习： 1. 设a < b,用“V”或“〉”填空。 ⑴ a+1 b+1 ⑵ a-3 b-3 ⑶-a ⑷-4a-5 -4a-3 2. 用不等式 表示： ⑴.a ⑵.X ⑶.8 不明白的地方（或 ' 容易出错的地方）： ② .a 的平方的相反数不是正数 -b 四、 课堂小结: 我学会了: 与b 的和不是负数：_ 的2倍与3的差大于4: 与y 的2倍的和是负数： 达标测试: 基础把握： 1. 五、 ( A 2. A 3. 在数学表达式 ①-2 < 0②3x-k > 0③x=1④X 丰2⑤X+2 > x-1中是不等式的有 ） .2个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 若a > b,那么仍能成立的不等式是 .ac > bc B. ac < bc C.a+1 > b+2 用不等式表示下列数量关系： ①.X 的相反数大于X 的倒数. () D.a-c > b-c 聚能教育学科教师辅导教案 学员编号：年级:七年级课时数：3 学员姓名: 辅导科目:数学学科教师:授课主题一元一次不等式与不等式组 教学目标 1、掌握不等式的性质; 2、理解一元一次不等式（组）的概念及一元一次不等式(组）的解； 会依据不等式的性质解一元一次不等式（组）。 授课日期及时段 教学内容 类型一：不等式的性质 例1、若a，ｂ,c为任意实数,且a＞b，则下列不等式恒成立的是（) (A）ac>bc（B）|a+c|＞|b+c| （C)ａ2>b2（D）a+c〉ｂ＋c 例2、设x２＋y2 = 1，则x +y（) (A)有最小值1 （B）有最小值2 (C)有最小值-１（D) 有最小值－2 1、①若a ⑩判断正误：因为5＜6，所以5x<６x （ ） 类型二：解不等式 例3、下列说法中，错误．． 的是( ） A 。 不等式2 八年级下册第二章（2） 一元一次不等式组计算练习 1、不等式组的解集是； 2.解不等式组：．3． 4、解不等式组 5、解不等式组 6、解不等式组 7、解不等式组： 8、解不等式． 9、解不等式组 10、(1)（2） 11.将一筐苹果分给若干个儿童,如果每人分4只,则多9只,如果每人6只,则最后一个儿童分得的苹果将少于3只,试问共有几个儿童分多少只苹果? 12.小东用60元班费买了钢笔和笔记本各若干,作为班会活动的奖品,已知钢笔每支3元,笔记本每本2元,所买的钢笔比笔记本多,但少于笔记本的2倍,试问小东买了钢笔和笔记本各多少? 13.某校三(2班)学生到洞庭湖春游，有一项活动是划船．游船有两种，甲种船每条船最多只能坐4个人，乙种船每条船最多只能坐6个人．已知学生数是5的倍数，若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船，则不多于9条． (1)求参加春游的学生数； (2)如果甲种船的租金是每条船10元，乙种船的租金是每条船12元．应怎样租船，才能使每条船都坐满，且租金最少？请说明理由． 1.得 得 所以不等式组的解集为空集（无解）. 2.①得：x≥1， ②得：x＞3， ∴不等式组的解集为x＞3。 3. 4. 5. 6.解得：＜x≤2 7.﹣1＜x＜2 8.x＜﹣2．9. x＜-2.5 10.(1) (2) 11.设儿童有人,根据题意,可得0≤(4+9)-6(-1)＜3,解得6＜≤7.5,于是取=7. 则4+9=4×7＋9＝37 答:有儿童7人,苹果37只. 12.设小东买了钢笔支,笔记本本,根据题意,可得 ＞解方程, 得, ＜2 所以, ＞解得7.5＜＜12, ＜2 因为y取整数，所以y取8，9，10，11，因为X也取整数所以y=9，X=14 又m是5的倍数，所以m＝50.即参加春游的学生数为50人. (2)设租用甲船x条，乙船y条，则有4x+6y＝50，即2x+3y＝25. 由于x，y都是正整数，所以（x，y）的可能取值为(2，7)，(5，5)，(8，3)，(11，1). 所需租金：w＝10x+12y＝2x+100. 因为2>0，所以w随x的增大而增大，所以当x＝2时，租金w最少. 所以租用甲种船2条，乙种船7条时，每条船都坐满，且租金最少. x x x x x x x y 60 2 3= +y x x y60 2 3= +y x 3 2 60y x - = x y 3 2 60y - y y 3 2 60y - y 二元一次方程归类讲解及练习 知识点： 1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。 2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值） 无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成???= =y x 的形式。 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。 （1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。主要步骤： 变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。 代入——消去一个元。 求解——分别求出两个未知数的值。 写解——写出方程组的解。 （2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。 变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。 加减——消去一个元。 求解——分别求出两个未知数的值。 写解——写出方程组的解。 （3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： ① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。 ② 找：找出能够表示题意两个相等关系。 ③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。 ④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。 ⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。 6、二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即01221≠-b a b a ）时，方程组有唯一的解 7、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 8、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。 练习题： 1、已知代数式b a b a y x y x +---23132 1与是同类项，那么a= ，b= 。 2、已知n m n m y x y x +-212-31 与是同类项，那么()2013m n -=_______。 3、解下列方程组： 一元一次不等式组 知识点专题复习讲义 一.知识梳理 1.知识结构图 (二).知识点回顾 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。 说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点） (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果 a b >，那么__a c b c ±± (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或 ___a b c c ） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或 ___a b c c ） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或 0a b >， 则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。 任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ?a>b ；②a -b=O ?a=b ；③a-b 八年级上册数学-一元一次不等式应用题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一元一次不等式应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 1、某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。 （1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？ （2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？ 2、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 （1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 3、（2008?厦门）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过多少cm？ 4、某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每时可处理垃圾55吨，每时需费用550元；乙厂每时可处理垃圾45吨，每时需费用495元。 （1）若甲厂每天处理垃圾x时，则乙厂每天应处理垃圾多少时间刚好处理完（用关于x的代数式表示）？ （2）若规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，则甲厂每天处理垃圾至少需多少时间？ 5、某汽车租凭公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆 轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元。（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1 500元，那么应该选择以上哪种购买方案？ 6、（2012?益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． （1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？ （2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 7、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来,并求出最低的租车费用． 新人教版七年级上册数学 第三章一元一次方程教案 （2015年秋季学期） 授课者：蒋宏亮 学校：东兴市京族学校 第三章一元一次方程 单元要点分析 教案内容 方程就是将众多实际问题“教案化”的一个重要模型?因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用. 本章内容主要分为以下三个部分： 1 ?通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，？展开方程是刻画现实生活的 有效数学模型. 2 .运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，？归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行 的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 3 .运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，？展现运用方程解决 实际问题的一般过程. 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识. 三维目标 1 ．知识与技能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际 问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2 ．过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，?求解 方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观培养学生求实的态度。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．重、难点与关键 1 ．重点：一元一次方程有很多直接应用，?解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题． 2 ．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题． 3 ．关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质． （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，?并找 出能够表示应用题全部含义的相等关系． 3.1 从算式到方程 §3.1.1 一元一次方程（一）教案目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教案重点：从实际问题中寻找相等关系 教案难点：从实际问题中寻找相等关系 教案过程： 一、情境引入 提出教科书第78 页的问题，并用多媒体直观演示： 问题1：从题中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、等方面去考虑。）可以在学生回答的基础上做回顾小结问题2:你会用算术方法求出A,B两地的距离吗？列算式试试。 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、对于客车，1km所用的时间为—h，而卡车所用的时间为—h；所以1km， 70 60 1 1 客车比卡车少用的( ---------- )h。路程多少千M时客车才比卡车少用1h呢？ 60 70 1 1 一元一次不等式组（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解不等式组的概念； 2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集； 3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用． 【要点梳理】 要点一、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式 组．如 25 62010 x x -> ? ? -< ? ， 70 2116 3159 x x x -> ? ? +> ? ?+< ? 等都是一元一次不等式组． 要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 要点二、解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点诠释： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 要点三、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点诠释： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数． 【典型例题】 类型一、不等式组的概念 1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系． 一元一次不等式与一元一次不等式组 一.知识梳理 1.知识结构图 (二).知识点回顾 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。 说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点） (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果 a b >，那么__a c b c ±± (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或 ___a b c c ） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或 ___a b c c ） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或 0a b >， 则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。 任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ?a>b ；②a -b=O ?a=b ；③a-b 第四章一元一次不等式(组) 考点一、不等式的概念（3分） 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这 个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的 解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质（3-5分） 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果 不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式（6--8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两 边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的 系数化为1 考点四、一元一次不等式组（8分） 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等 《一元一次方程》全章复习 【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a =(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =?+?+?+. 【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念 1．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】 解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程， 所以3m -4＝0且5-3m ≠0． 由3m -4＝0解得43m =，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ??--?= ?? ?，解得83x =-． 所以43 m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三： 【变式】下面方程变形中，错在哪里： 一元一次不等式组 温故而知新： 例题精讲： 1、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来 2x－1≥0 （2）4＜1－3x＜13 3x＋1＞0 3x－2＜0 2、已知a＝ 23 + x ，b＝ 32 + x ，且a＞2＞b，那么求x的取值范围。 3、已知方程组 2x＋y＝5m＋6 的解为负数，求m的取值范围。 X－2y＝－17 4、若不等式组 x＜a 无解，求a的取值范围。 21 3- x ＞1 5、当x取哪些整数时，不等式 2（x＋2）＜x＋5与不等式3(x－2)＋9＞2x同时成立？ 6、某工厂现有A种原料290千克，B种原料220千克，计划利用这两种原料生产甲、乙两种产品共40件，已知生产甲种产品需要A种原料8千克，B种原料4千克，生产乙种产品需要A种原料5千克，B种原料9千克。问有几种符合题意的生产方案？ 7、已知有长度为3cm,7cm,xcm的三条线段，问，当x为多长时，这三条线段可以围成一个三角形？ 8、把一批铅笔分给几个小朋友，每人分5支还余2支；每人分6支，那么最后一个小朋友分得的铅笔小于2支，求小朋友人数和铅笔支数。 一元一次不等式组(作业) 一、填空 1、不等式组()122431223 x x x x ?--≥???-?>+??的解集为 2、若m 至善教育宁波分部11.26 一元一次不等式讲义 【精讲】 一、知识点回顾 一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。 注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。 ⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。 例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。 ①3 2 ；②2x 1 ；③2x 1 ；④s vt ；⑤2m 8x 3 ；⑥1 x 2 4x ；⑦3x 8 ；⑧ 5x 2 2x 3 ；⑨ 2 4 0 x ；⑩2x 3 0 。 ⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：“正数( ＞0) ”，“负数（＜0）”，“非正数（≤0）”，“非负数（≥0）”， “超过(＞0) ”，“不足（＜0）”，“至少（≥0）”，“至多（≤0）”， “不大于（≤0）”，“不小于（≥0）” ⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于 b ；④若a－b ≤0，则a不大于 b ；⑤若ab＞0 或a 0 b a ，则a、b 同号；⑥若ab＜0 或0 b ，则a、b 异号。 ⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a＜b 可转换为b＞a，c≥ d 可转换为d≤c。 例：规定一种新的运算： a b a b a b 1，比如： 2 3 2 3 2 3 1 ，请你比较： 3 4 4 3 ， 3 4 4 3 。（填不等号） 练习：1、用不等式表示：⑴ a 是正数：；⑵x 的平方是非负数：； ⑶a 不大于b：；⑷x 的3 倍与－2 的差是负数：； ⑸长方形的长为x cm，宽为10cm，其面积不小于200cm 2 ：。 2、试判断 2 3 7 a a 与3a 2 的大小。 3、如果a b 0 ，b 0，则a, b, a, b 的从打到小的排序是：。2、不等式的基本性质： 有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。 等式的基本性质不等式的基本性质一般形式 两边同时加上（或减去）同一个代性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，若a b ，则数式所得结果仍是等式。不等号的方向不变。 a c b c 两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果 仍是等式。性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变。 性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变。 若a b ，c 0 则 ac bc 若a b ，c 0 则 a c b c 例：用最确切的不等号填空： ①若3＜x，则x 3 ；②若-2 ＜x，则0x+2；③若－2a≥8，则a 4 ；④若x＞y，则m 2 x m 2 x m ⑵关于x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8 的解是负数，则m的取值范围是。 2 y。 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532>+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 第八章一元一次不等式 8．1认识不等式 教学目标 1．知道不等式的定义。 2．理解不等式的解和方程的解的异同。 3．会根据问题列不等式。 4．会将实际问题抽象成数学问题，并用学到的知识解决问题，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点：不等式的定义、不等式的解及列不等式。 难点：总结归纳不等式及不等式的解。 教学过程 一、创设问题情境。 公园(或本地区的某个旅游景点)的票价是每人5元。团体参观旅游优惠，一次购票满30张，每张票可少收1元。某班有27名学生去公园进行参观活动，假如要你去买票，请问你打算买多少张?你向每位学生收多少钱? 这里可先由学生自己思考，是买27张还是买30张?然后让学生自己算一算。 买27张票，要付款：5×27=135元。 买30张票，要付款：4×30=120元。 引导学生：你说是买30张票花钱少还是买27张票花钱少? 通过计算发现，用120元就可以买到30张票，而用135元却只能买到27张票，是什么原因? 列出两个不等式： 27张<30张， 135元>120元。 二、探索学习。 1．我们继续探讨上面的问题。 问题1：我们只用120元买了30张票，我们是不是就买30张票?请大家讨论。 如果买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那剩下的票怎么办?是卖掉?扔掉?还是送给困难的学生和门外的一些穷人?从而培养学生怜贫悯苦的友爱之心。(对学生进行思想教育。) 问题2：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说多买票反 而花钱少?如果你一个人去参观，是不是也买30张呢? 请你计算10人、20人、21人、22人、23人、24人、25人、26人…… 问题3：至少要有多少人去参观，多买票反而便宜?能否用数学知识来解决? 引导学生分析。 设有。人要去公园参观。 (1)如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只要付4元。 (2)如果x<30，那么：按实际人数买票。张，要付款5x元；买30张票要付款4×30=120元。 如果买30张票合算，则120<5x。 问题4：x取哪些数值时，上式成立? (1)你能否结合前面学的解方程的知识，尝试解这个不等式。 (2) 问题 要有25人进公园时，买30张合算。即当x>24时，5x，120。 2．概括总结。 (1)像上面出现的135>120，27<30，5x>20，x<30那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式。 不等号有：<、>、≠、≤、≥。 (2)不等式120<5x中含有未知x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解可以有无数个。 如上例中，x=25，26，27，…等都是120<5x的解，x=24，23，22，21则都不是不等式的解。 三、应用举例。 例1 用不等式表示： 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5 ⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的5倍不大于3可表示为 . ③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 . ④.x 和y 的差是正数可表示为 . ⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________. 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc ，则c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0. 4、如果不等式两边同乘以0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 352≥+x 532 2y x y x ++0 y x ≥+ 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由3a>2得a> 理由： . ②. 由a+7>0得a>-7 理由： . ③.由-5a<1得a> 理由： . ④.由4a>3a+1得a>1 理由： . 2、若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ） A.x-3＞y-3 B. ＞ C. x+3＞y+3 D.-3x ＞-3y 3、判断正误 ①. 若a ＞b ，b ＜c 则a ＞c. （ ） ②.若a ＞b ，则ac ＞bc. （ ） ③.若 ，则a ＞b. （ ） ④. 若a ＞b ，则 . （ ） ⑤.若a ＞b ，则 （ ） ⑥. 若a ＞b ，若c 是个自然数，则ac ＞bc. （ ） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（ ） A.x=2是不等式x+3＜2的解 B.x =3是不等式3x ＜7的解。 C.不等式3x ＜7的解是x ＜2 D.x=3是不等式3x ≥9的解 2.下列说法错误的是（ ） A.不等式x ＜2的正整数解只有一个 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 2 2bc ac ＞）（）＞（1c b 1c a 2 2++32 51 -3x 3y 2 2bc ac ＞完整版一元一次不等式教学案全章
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