1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)
1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放
置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。
答案：
1200!52
5=?C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12?a 2?a 33的系数是 -81000 。
答案：81000
3)2(5!3!1!2!
632-=?-????
3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第
二组的最大数，共有12
1
+?-n n 种方案。
4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特
定引擎开始点火有 12 种方案。
答案：121
2
1213=??C C C
5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。 6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。现
要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。
答案：
604800!4!63
7=??C 7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有
2)!(2n ? 种排列方法；
若围成一圆桌坐下，又有
)2/()!(22n n ? 种方法。
8) n 个变量的布尔函数共有
n
n
2 个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，
而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为
),1(r r n P -+ 。
答案：)
,1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+???++
2. (本题10分)
核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则
???
??==+==---0
,1230
0111b a b a b b a t t t t t
?
)(3
,03210211
*???
??==+==---b b b b b b a t t t t t
（*）式的特征方程为0322
=--x x ，
解得3,121=-=r r ，即t
t t A A b 3)1(21?+-?=
代入初始值3,010
==b b ，解得43
,4321
=-=A A t
t t b 343
)1(43?+-?-=∴ 1
11343
)1(43---?+-?-==t t t t b a
)
13(43),13(43100
10099100-=+=∴b a
3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)
①设1212n a a a n n P P P =???，12,,n P P P ???是互不相同的素数，
设求能除尽n 的正整数数目为多少？
解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数
有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+???++n a a a 个。
②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。 证明：根据题①中结论，
n
a n
a
a P P P n ???=2
121，能被)1()1)(1(21+???++n a a a 个
数整除，而
n
a n
a a
P P P n 2222122
1???=能被
)12()12)(12(21+???++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。
4. (本题10分) 证明等式
2222
2012n n n n n n n ??????????+++???+= ? ? ? ? ???????????
求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。
次方系数即可证。比较证明：
n ,11,010221202)1()1()1(2
22∴??????
?
??-=???? ?????? ??=???? ???
????????? ??+???+???
? ??+???? ??=???? ??+???+???? ??+???? ??∴+?+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n n
n n n ΘΘ
[]
。
三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项
时有，的结构可知仅当分析）
（解：,
5,4,35,43k )(1)()(1105510034410023310020841000
10084100100
8
4
100
84C C k C C k C C k x x x x x C x x
x x k k k
k k ?==?==?===+?+=++=++∑=-Θ
5. (本题10分)
求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求3和7出现次数为偶数。
位数。
）个不同的（所以可以组成解：n r x e e e e e e e e e x x x x x G n n r
r r r x x x x x
x x x x 532141
!
)5321(41)2(414
2)2()!
4!21()!2!11()(e 053223232
423
2+?++?+=++=++?=+?=?+??+++??+??+++=∑∞=--
6. (本题10分)
6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？
7. (本题10分)
求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1≤x1≤5，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6。
.
36788 . 0 1
! n 368
. 0 720 / 265 720 / ) 1 6 30 120 360 720 720 ( 720 / ) 1 6 2 15 6 20 24 15 120 6 720 ( 720
/ ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 720 ( ! 6 1
! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 5
6 4 6 3 6 2 6 1 6 6 ≈ ≈ ≈ = + - + - + - = + - ? + ? - ? + ? - = + - + - + - = + - + - + - = =
e
n D C C C C C D P n 比较大时， 可以证明，当 解：
.
84396961-4660
,0,0,0-4-4-7-4.
5603161316131-413,
40,40,70,40,
13,2,4,,143214321,44,33,22,114321432144332211=???
?
??=???? ??=???? ??+=+++≥≥≥≥=====???
?
??=???? ??=???? ??+≤≤≤≤≤≤≤≤=+++-=-==-=整数解数目为于是问题转为变换
对于有上届的问题要作根据公式应为若不附加有上届条件的解：设εεεεεεεεεεεεy y y y y y y y y y y y x y x y x y x y
8. (本题10分)
长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案)
.
202/)22(211,1132415),
5)(4)(3)(2)(1(35215211=+=∴==l P OO P P ，个个置换格式：），）（）（（翻转绕第二类置换：解：第一类置换：
试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？
.
64323,5214,5313,4512.1025同方案数为为同一种方案，此时不为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则
P
9. (本题共10分，共2小题，每小题5分)
①给出120110n m m m m m m n m n n n n --??????????????++???+= ??? ??? ??? ?-??????????????
的组合意义。 等于右边。
所有的方案数相加应该个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第方案数。
两种方法，得到可能的个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边：i -n i i n n m
②证明222223(1)2123n n n n n n n n n -????????
+?+?+???+?=+ ? ? ? ?????????
。
22221
22222
1
121
11
21
322)1(33221,133221)1()1()1(33221)1(233221,133221)1(3210)1(---------+=???? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=???
? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=+-++???
? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=+=???
? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=???? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=+???
? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??+???? ??=+n n n n n n n n n n
n
n n n n n n n n x x
n n n x n x n n x x n n x n x x
n n n x n x n n x n n n n n n n n x x
n n n x n x n n x n x x
n n x n x n x n n x 即得式：也令后并求导得：
两端同乘以再给式子：即得式：令求导可得：
的两端对在二项式证明：
往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
太原理工大学机械考研经验 关于初试：太原理工大学初试考试科目为五选一，即机械制图、理论力学、材料力学、机械原理、机械设计五门任选其中一门。当然，对于每个人肯定是选自己擅长的，我选的是理论力学。现就说一下理论力学。 选择理论力学作为初试考试科目的需要的准备资料：首先，理论力学课本，太理研究生院网站上有指定版本。我用的是哈工大编写的理论力学第七版，此版分为上下两册。官方并没有说明考试大纲即可以理解为该版本上下两册均在考试范围内。但2014年之前的所考内容全部在前十五章范围内，即第一册全部加第二册第一章。此外，最好能有一本课后习题解析，课后习题解析最好是包含习题解析、经典例题和名校考研真题的版本。我用的往年考研真题是在网上下载的04--11年的（无答案）。我会在后面附上我做的部分答案以供参考，不保证全对。 理论力学所考题型：07年之前为6-8道小题加4-6道大题，07年--14年改为七道大题无小题。题出的不难，每年变化不大，知识点基本相同。14年之前我自己总结所考知识点我会在末尾附上。 学习方法：把课本详细复习一遍，把课后习题做完就基本没问题了。真题有好多直接就是例题或课后习题，只是稍微变变说法。如果开始复习的很晚，真的没时间，就按照真题上的知识点复习吧，但必须把与知识点相关的例题和习题做完。做题是遇到不会的一定要先独
立思考，实在做不出来再看答案。 关于复试：机械工程专业复试考五门，即机械制图、理论力学、材料力学、机械原理和机械设计。题型全部为选择题，共一百道，每科20道，每道1分。 我用的复试试卷是在网上下载的，只有2010年和2011年的。需要说明的是不管是在网上下载的还是在网上买的都是没有标准答案的，如果有也是学长们自己做的，不一定全对。其实买的和下的是一样的，只是买的比下的更清晰些。我会在末尾附上我自己做的答案以供参考，不保证全对。 面试经过：面试分为综合面试和英语面试，分开进行。综合面试主要是关于专业知识的，问的问题都很基本，面试场面和气氛也很宽松，面试的教授们也很友好。面试的专业知识问题如：什么是粗基准和精基准，粗基准和精基准的的选择原则是什么，什么是高副和低副，高副和低副各限制几个自由度，有曲柄的条件，齿轮的加工方法，机械的定义，机械加工的顺序和原则，什么是差动轮系等，一般提问3-5个问题。至于具体提问哪一门，这个也有章可循。一般老师会问你：你学的最好的专业课是什么或者你分数最高的专业课是什么再或者你感兴趣的研究方向是什么？你回答的是什么老师就会问你关于哪个方面的专业知识问题。所以在回答问题的时候一定要向你最擅长的那个方向回答。对于老师提问的专业知识问题，不懂得一定不要瞎胡说，老师一般对这都比较反感，不会就是不会，答不出来对你的录取不会有太大影响，主要还是看初试和复试的笔试成绩。需要特别说
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
07-1 PART II VOCABULARY (10 minutes, 10 points) Section A (0.5 point each) 21. If innovators are not financially rewarded for their innovations, the incentive forpath-breaking innovation will eventually dry up. A. investment B. resource C. inspiration D. stimulus 22. These illegal immigrants have to work long hours a day despitethe appalling workingconditions. A. bewildering B. exasperating C. dismaying D. upsetting 23. Many critics agreed that by and large, this movie was a success in terms of acting andphotography. A. all at once B. by and by C. to some extent D. on the whole 24. The country carried on nuclear tests without feeling apprehensive about theconsequences. A. optimistic B. anxious C. uncertain D. scared 25. There is the fear that babies might be genetically altered to suit the parents' wishes. A. enhanced B. revised C. alternated D. modified 26. The American Civil War is believed to have stemmed from differences over slavery. A. arisen from B. contributed to C. patched up D. participated in 27. Experts said the amount of compensation for sick smokers would be reduced if cooler jurorsprevailed. A. resigned B. compromised C. persisted D. dominated 28. Hamilton hoped for a nation of cities while Jeffersoncontended that the countryshould remain chiefly agricultural. A. inclined B. struggled C. argued D. competed 29. There have been some speculations at times as to who will take over the company. A. on occasion B. at present C. by now D. for sure 30. TWA was criticized for trying to cover up the truth rather than promptly notifyingvictims' families. A. briefly B. quickly C. accurately D. earnestly Section B (0.5 point each) 31. New York probably has the largest number of different language _________ in the world. A. neighborhoods B. communities C. clusters D. assemblies 32. Nuclear wastes are considered to _____ a threat to human health and marine life. https://www.doczj.com/doc/2d5600226.html,pose B. impose C. expose D. pose 33. Some states in the US have set _____ standards concerning math and science tests. A. energetic B.vigorous C. rigorous D. grave 34. This school promised to make classes smaller and offer more individualized ___________. A. presentation B. instruction C. conviction D.obligation 35. Because of ______ ways of life, the couple has some difficulty getting along witheach other. A. incomprehensible B. incomparable C. inconceivable D. incompatible 36. As __________China and other emerging export powers, efforts to strengthenanti-corruption activities are gaining momentum. A. in the light of B. in the event of C. in the case of D. in the course of
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
组合数学课后标准答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
修订时间：2013年3月 太原理工大学 博士研究生入学考试专业基础课考试大纲 一、参考书目 《数值分析》(第5版)，李庆扬，王能超，易大义著，清华大学出版社，2008 二、考查要点 一、数值分析与科学计算引论 1. 误差的基本概念：误差来源与分类，截断误差，舍入误差，绝对误差、相对误差和误差限，有效数字。 2. 误差定性分析与避免误差危害：算法的数值稳定性，病态问题与条件数，避免误差危害。 3. 数值计算中算法设计的技术：多项式求值的秦九韶算法，迭代法与开方求值，以直代曲与化整为“零”，加权平均的松弛技术。 重点：误差、避免误差的若干原则。 二、插值方法 1. 插值问题的基本概念：插值问题的提法，插值多项式的存在唯一性。 2. Lagrange插值：线性插值与抛物线插值，Lagrange插值，插值余项公式。
3. Newton插值：均差的概念与性质，Newton插值公式及其余项，差分的概念与性质，等距节点的Newton插值公式。 4. Hermite插值：两点三次Hermite插值及其余项，n点Hermite插值，非标准Hermite插值及其余项。 5. 分段低次插值：Runge现象，分段线性插值，分段三次Hermite插值。 6. 三次样条插值：三次样条函数与三次样条插值，构造三次样条插值的三弯矩方法。 重点：Lanrange插值、Newton插值。 三、函数逼近与曲线拟合 1. 正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，Legendre多项式。 2. 曲线拟合的最小二乘法：最小二乘拟合问题的提法，最小二乘拟合问题的解法，非线性拟合问题（指数模型、双曲线模型），最小二乘法的其他应用（算术平均、超定方程组）。 3. 连续函数的最佳平方逼近：最佳平方逼近问题的提法，最佳平方逼近的解法，基于正交函数的最佳平方逼近，利用Legendre多项式作最佳平方逼近。 重点：曲线拟合的最小二乘法。 四、数值积分与数值微分 1. 数值求积基本概念：数值求积公式基本形式，插值型求积公式，代数精度。 2. Newton-Cotes求积公式：Newton-Cotes公式一般形式，梯形公式和Simpson公式及其余项，数值稳定性。
2011 学年第一学期 《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.
本页满分 36 分 本 页 得 一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2． 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（ （ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（ ） . ) 内零点的个数为（ 个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（ ）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321
太原理工大学研究生复试笔试对应科目名称
报考学院 报考业 代码报考专业名称 笔试 科目 编号 笔试科目名称备注 机械工程学院050404设计艺术学017设计艺术学试题学术型机械工程学院080200机械工程001机械工程学科试题学术型机械工程学院080703动力机械及工程001机械工程学科试题学术型机械工程学院430102机械工程001机械工程学科试题 专业学 位 机械工程学院430107动力工程001机械工程学科试题 专业学 位 机械工程学院430135车辆工程001机械工程学科试题 专业学 位 材料科学与工程学院、表面 工程研究所080500材料科学与工程002 材料科学与工程学科 试题 学术型 材料科学与工程学院、表面 工程研究所080602钢铁冶金002 材料科学与工程学科 试题 学术型 材料科学与工程学院、表面 工程研究所080603有色金属冶金002 材料科学与工程学科 试题 学术型 材料科学与工程学院、表面 工程研究所430105材料工程002 材料科学与工程学科 试题 专业学 位 电气与动力工程学院080702热能工程020热能工程试题学术型电气与动力工程学院080800电气工程003电气工程学科试题学术型电气与动力工程学院430108电气工程003电气工程学科试题 专业学 位 信息工程学院080902电路与系统004通讯与信息工程试题学术型
信息工程学院081000通信与信息工程004通讯与信息工程试题学术型信息工程学院081100控制科学与工程005控制科学与工程试题学术型信息工程学院430109电子与通讯工程004通讯与信息工程试题 专业学 位 信息工程学院430110集成电路工程004通讯与信息工程试题 专业学 位 信息工程学院430111控制工程005控制科学与工程试题 专业学 位 计算机与软件学院081200计算机科学与技术006 计算机科学与技术学 科试题 学术型计算机与软件学院087100管理科学与工程015管理学学科试题学术型 计算机与软件学院430112计算机技术006 计算机科学与技术学 科试题专业学位 计算机与软件学院430113软件工程006 计算机科学与技术学 科试题专业学位 建筑与土木工程学院081301建筑历史与理论007建筑学学科试题学术型建筑与土木工程学院081304建筑技术科学007建筑学学科试题学术型建筑与土木工程学院081400土木工程008 土木工程（一）学科试 题 学术型 建筑与土木工程学院430114建筑与土木工程008 土木工程（一）学科试 题专业学位 水利科学与工程学院081500水利工程009水利工程学科试题学术型水利科学与工程学院082802农业水土工程009水利工程学科试题学术型水利科学与工程学院430115水利工程009水利工程学科试题 专业学 位
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .