1 一平行板电容器的两极板都是半径为的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为：
。试求：（1）两极板间的位移电流；（2）极板边缘的磁感应强度。
解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度的方向水平向右（电位移矢量
的方向与的方向相同）。因电容器中为真空，故。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。
已知圆板的面积，故穿过该面积的的通量为
由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为
因，所以的方向与的方向相同，即位移电流的方向与的方向相同。
（2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。
在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为的圆，其上的大小相等，选积分方向与方向一致，
则由安培环路定理可得（全电流）
因在电容器内传导电流，位移电流为，则全电流为
所以极板边缘的磁感应强度为
根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度的方向，如图所示。
2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即。试求：（1）电容器中的位移电流密度的大小；（2）设为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布。
解: （1）由题意可知，，对于平行板电容器电位移矢量的大小为
所以，位移电流密度的大小为
（2）由于电容器内无传导电流，故。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。
设为圆板中心到场点的距离，并以为半径做圆周路径。
根据全电流安培环路定理可知通过所围面积的位移电流为
所以.最后可得
3. 如图（a）所示，用二面积为的大圆盘组成一间距为的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流充电，试求：（1）此电容器中位移电流密度；（2）如图（b）所示，电容器中点的磁感应强度；（3）证明在此电容器中从半径为﹑厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。
解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。
电容器中位移电流密度的方向应如图（c）所示，其大小为
通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。
因此，也可以这样来求：
因为由于，因此所以
（2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场也呈轴对称，显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。根据全电流安培环路定理，将
用于此线上，有
得所以
（3）在电容器中作半径为﹑厚度为的圆柱体，如图（d）所示。
由坡印廷矢量分析可知，垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。
在单位时间内流入的能量为
因为所以
由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为
显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。
4 如图所示，已知电路中直流电源的电动势为﹑电阻，电容器的电容
，试求：（1）接通电源瞬时电容器极板间的位移电流；（2）时，
电容器极板间的位移电流；（3）位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数后电流小到可忽略不计）
解: 对串联电路的暂态过程有求解该方程得：
，
表示极板上的电荷量是随时间变化。
在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为
对应不同的情况，可求得（1）在接通电源的瞬时，电容器极板间的位移电流。（2）当时，
（3）在时可认为电流忽略不计，即。所以
5 一球形电容器，其内导体半径为，外导体半径为，两极板之间充有相对介电
常数为的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为，假设
不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为的球面的位移电流。
解: 设电容器极板上带有电荷，由位移电流密度公式可知
由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为
（为径向单位向量）
球形电容器极板间的电势差为
与上式联立，消去，得
所以位移电流密度为
在电容器中，作半径为的球面，通过它的位移电流为
的流向沿径向，且随时间变化。
6 如图所示，电荷以速度向点运动（到点的距离以表示）。在
点处作一半径为的圆，圆面与垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处
的磁感应强度。
解: 电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设时间穿过圆面上的电位移通量为为使计算简便，可以为球心，为半径，为小圆半径的底面，做一球冠，球面上各点的的大小相等，穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即
代入位移电流的定义式，得
取半径为的圆为积分回路，由麦克斯韦方程，有
由于运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环路上各点的大小相等，即
得
写成矢量形式有这正是运动电荷产生的磁场公式。
7 如图所示，由电容为的电容器和自感系数为的线圈构成一振荡电路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器所带电量的幅值为。试求：（1）
充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率；（2）电路中电流随时间的变化率；（3）电场和磁场能量分别随时间的变化率。
解:在图示中，将开关先后扳向位置2，1使电容器充﹑放电，便可在电路中产生电流
的周期性变化。
设电路中电荷随时间的变化规律为则电路中的充﹑放电流为
由于在电路中，，所以回路的振荡频率由题意可知，
所以
代入电容器的电容公式，有
表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。已知电路中电荷变化规律，则有
电容器储存的电场能量为
线圈储存的磁场能量为
整个电路系统的总能量
8.试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。
解: 由麦克斯韦方程（为传导电流）
设想闭合曲线缩小为一点，相应地以为边界的曲面将变成一个闭合面，在这种情况下有，
即因此传导电流
而代入上式得
结果表明，如果一个地方没有电荷量的减小，就不可能从那里流出电荷来。这就是电荷守恒定律的数学表达式，因此麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。
物理电磁学论文 现代人的生活已经离不开电，与此同时，电磁也充斥着我们生活中的每一个角落。随着电磁学，电磁技术的发展，我们已经离不开它了，在越来越多的领域，越来越多的角落，电磁学都在发挥着它的作用。1电磁对家庭输电的影响 现在人们越来越关注周围的生活环境了，所谓的污染已经不再是我们的眼睛所能看到的垃圾，耳朵听到的噪声，鼻子闻到的恶臭，还有我们看不见，摸不着的电磁辐射。随着科学技术的发展和信息社会的到来，我们的居室内不仅有冰箱，彩色电视机，洗衣机，微波炉和空调机等家用电器，而且不少家庭中还有计算机，传真机等多种信息交流的工具，相应地，进入每个家庭的输电线强磁场对人体也特别有害处。 摘要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。 关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法 1 引言 1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。 2 电磁场数值方法的分类 电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主要有矩量法、有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算，然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如GTD，UTD和射线理论。 从求解方程的形式看，可以分为积分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差限于求解区域的边界，故精度高；IE法适合求无限域问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题，DE 法可直接用于这类问题〔1〕。 3 几种典型方法的介绍 有限元方法是在20世纪40年代被提出，在50年代用于飞机设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元法已非常著名。
习题解答 4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 U ，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为 ① (0,)(,)0y a y ??== ② (,0)0x ?= ③ 0(,)x b U ?= 根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为 1 (,)sinh( )sin()n n n y n x x y A a a ππ?∞ ==∑ 由条件③，有 01 sinh( )sin()n n n b n x U A a a ππ∞ ==∑ 两边同乘以 sin( ) n x a π，并从0到a 对x 积分，得到 00 2sin()d sinh()a n U n x A x a n b a a ππ== ? 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ? =? ? ? = ?， 故得到槽内的电位分布 1,3,5, 41(,)sinh()sin() sinh()n U n y n x x y n n b a a a ππ?π π== ∑ 4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。 a 题4.1图
上板和薄片保持电位 U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到 d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ?=。 解 应用叠加原理，设板间的电位为 (,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+ 其中， 1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为 U ）的电位，即 10(,)x y U y b ?=；2(,)x y ?是两个电位为零 的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① 22(,0)(,)0x x b ??== ② 2(,)0() x y x ?=→∞ ③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)() U U y y d b y y y U U y y d y b d b ????-≤≤??=-=? ?-≤≤?? 根据条件①和②，可设2(,)x y ?的通解为 21(,)sin()e n x b n n n y x y A b π π?∞ -==∑ 由条件③有 00100(0)sin()() n n U U y y d n y b A U U b y y d y b d b π∞ =? -≤≤??=??-≤≤??∑ 两边同乘以 sin( ) n y b π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=??022sin() ()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ?=00 22121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b b π πππ∞ -=+∑ 题 4.2图
第一章 静 电 场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 计 算 题 ： 1、 真空中两个点电荷q 1=1.0×10-10C ，q 2=1.0×10-11C ，相距100mm ，求q 1受的力。 解：)(100.941 10 2 210排斥力N r q q F -?== πε 2、 真空中两个点电荷q 与Q ，相距5.0mm,吸引力为40达因。已知q=1.2×10-6C,求Q 。 解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿 C q F r Q r qQ F 13202 01093441 -?-==?=πεπε 3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时 的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。 解：? ??=?=?==物体的重量相当于当万吨物体的重量 相当于当kg m r N m r N r q q F 900)1000(100.990)1(100.941 3 92210πε 4、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电 子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m 。已知质子质量M=1.67×10-27kg ，电子质量m=9.11×10-31kg 。电荷分别为e=±1.6×10-19 C,万有引力常数G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解： 不计 万有引力完全可以略去与库仑力相比在原子范围内由此可知吸引力吸引力,,,/1019.241 41)3(1026.2/)(1063.3)2() (1022.841 )1(62 02 2 02394722 18 2 20s m mr e v r e r v m F F N r m m G F N r e F g e g e ?==?=?=??==?==--πεπεπε 5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10-15米时，它们之间的排斥力仍遵守 库仑定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核（即α粒子）中有2个质子。已知每个质子带电e=1.6×10-19 C ，α粒子的质量为6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为6.9×10-15m 时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速度。
第十二章 电磁感应和麦克斯韦电磁理论 12-1将一条形磁铁插入一闭合线圈，线圈中将产生感应电动势。问在磁铁与线圈相对位置相同的情况下，迅速插入和缓慢插入线圈中所产生的感应电动势是否相同感应电流是否相同因电磁感应所产生的总电量是否相同 答：迅速插入在线圈中产生的感应电动势大，缓慢插入线圈中产生的感应电动势小。感应电流也不相同（因 为I= R ε ），但电磁感应所产生的总电量是相同的。 （因为11 d q Idt dt dt R R dt R εΦ===-=-?Φ???，?Φ相同，所以q 相同） 12-2一闭合圆形线圈在匀强磁场中运动，在下列情况下是否会产生感应电流为什么 (1)线圈沿磁场方向平移； (2)线圈沿垂直于磁场方向平移； (3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。 解：由d dt εΦ=- 1d I R R dt εΦ==- （1）因为0d dt Φ =，所以没有电流产生 （2）0d dt Φ= 也没有电流产生 （3） 0Φ= 0d dt Φ = 没有电流产生 （4）0d dt Φ≠ 若转动的角速度为，则2sin d R dt πωθΦ=（θ为线圈平台与之间的夹角） 12-3在一环状铁芯上绕有两组线圈1和2，如题图所示，这样就构成了一个变压器。当在线圈1中所通电流I 增大或减小时，在线圈2中都要感应电动势。判断在这两种情况下，线圈2中的感应电流的方向。 答：（1）当I 增大，?Φ增大，由楞次定律，I 产生的磁场应阻碍变化， 所以I 感的方向如图所示（从B 端流出） （2）当I 减小时，?Φ减小，由楞次定律产生的磁场应阻碍变化 所以I 感的方向从A 端流出。 （3） （4） A B
经典电磁理论的建立 在古代，人们对静电和静磁现象已分别有一些认识，但从这门学科的发展来看，直到十八世纪末十九世纪初，电和磁之间的联系才被揭露出来，并逐步发展成为一门新的学科——电磁学。电磁学的发展之所以比较晚，主要是由于电磁学的研究需要借助于更为精密的仪器和更精确的实验方法，而这些条件只有生产发展到一定水平之后才能具备。 首先对于电和磁现象进行系统地实验研究的是英国的威廉·吉尔伯特。他通过一系列的实验认识到电力和磁力是性质不同的两种力。例如，磁力只对天然磁石起作用，而电力能作用于许多材料。他第一个将琥珀与毛皮摩擦后吸引轻小物体的性质叫做“电”。吉尔伯特这种关于电和磁在本质上不同的观点，给后来的电磁学的发展留下了深刻的影响，直至十九世纪初，许多科学家都把这两种现象看作是毫无联系的。吉尔伯特之后的整个十七世纪，对电和磁的研究进展不大。 到了十八世纪四十年代，起电装置的改善和大气现象的研究，引起了物理学家的极大兴趣。1745年荷兰莱顿大学的马森布罗克(1692～1761)和德国的克莱斯德(1700～1748)各自发明了“蓄电”的最早器具——莱顿瓶。1752年7月，美国的富兰克林进行了一次震动世界的吸取天电的风筝实验，从而使人们认识到天空的闪电和地面上的莱顿瓶放电现象是一致的。富兰克林还提出了电荷守恒的思想和电的“单流质”说，他认为一个物体所带的电流质是一个常量，如果流质在一个物体比常量多，就带负电，比常量少就带正电。他在风筝实验的基础上，发明了“避雷针”。由于他在电学方面做出了杰出贡献，而被誉为近代电学的奠基人。 我们知道，牛顿在发现万有引力的过程中，曾用数学方法证明过，如果引力随着引力中心距离的平方反比减少，一个均匀球壳对其内部的物体就没有引力的作用。1775年，富兰克林发现将一小块软木块悬于带电的金属罐内并不受到电力的作用。他的朋友普里斯特列(1733～1804)根据这个实验和牛顿对万有引力定律的数学证明推想电的作用力也遵守平方反比定律。1771年，英国物理学家卡文迪许也用类似的实验和推理的方法对电力相互作用的规律进行了研究，他从实验得到电力与距离的n 比定 律。库仑定律的发现为静电学奠定了理论基础。通过西蒙·泊松(1781～1840)、高斯(1777～1855)和乔治·格林(1793～1841)等人的工作，确定了处理静电场和静磁场的数学方法。 十八世纪末，1780年意大利的医生和动物学教授伽伐尼(1737～1798)在解剖青蛙时，发现了电流，这是电学发展史上的一个转折点。在伽伐尼发现的基础上，伏打于1800年制成伏打“电堆”，得到了比较强的电流，从而使人的认识由静电进入动电，由瞬时电流发展到恒定电流，为进一步研究电流运动的规律和电运动与其他运动形式的联系和转化创造了条件。
1 一平行板电容器的两极板都是半径为的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为： 。试求：（1）两极板间的位移电流；（2）极板边缘的磁感应强度。 解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度的方向水平向右（电位移矢量 的方向与的方向相同）。因电容器中为真空，故。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。 已知圆板的面积，故穿过该面积的的通量为 由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为 因，所以的方向与的方向相同，即位移电流的方向与的方向相同。 （2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。 在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为的圆，其上的大小相等，选积分方向与方向一致，
则由安培环路定理可得（全电流） 因在电容器内传导电流，位移电流为，则全电流为 所以极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度的方向，如图所示。 2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即。试求：（1）电容器中的位移电流密度的大小；（2）设为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布。 解: （1）由题意可知，，对于平行板电容器电位移矢量的大小为 所以，位移电流密度的大小为 （2）由于电容器内无传导电流，故。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。 设为圆板中心到场点的距离，并以为半径做圆周路径。 根据全电流安培环路定理可知通过所围面积的位移电流为
所以.最后可得 3. 如图（a）所示，用二面积为的大圆盘组成一间距为的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流充电，试求：（1）此电容器中位移电流密度；（2）如图（b）所示，电容器中点的磁感应强度；（3）证明在此电容器中从半径为﹑厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。 解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。 电容器中位移电流密度的方向应如图（c）所示，其大小为 通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。 因此，也可以这样来求： 因为由于，因此所以
第四章 习题 2、平行板电容器(面积为S,间距为d)中间两层的厚度各为d 1与d 2(d 1+d 2=d),介电常数各为1ε与2ε的电介质。试求: (1)电容C;(2)当金属板上带电密度为0σ±时,两层介质的分界面上的极化电荷密度'σ;(3)极板间电势差U;(4)两层介质中的电位移D; 解:(1)这个电容器可瞧成就是厚度为d 1与d 2的两个电容器的串联: 1 2210212121d d S C C C C C εεεεε+=+= (2)分界处第一层介质的极化电荷面密度(设与d 1接触的金属板带正电) 1 111011111εσεεεσ)(E )(P '-= -=-=?= 分界处第二层介质的极化电荷面密度: 21 222022211εσεεεσ)(E )(P n P '-- =--=-=?= 所以, 2 10 21211 εεσεεσσσ+-=+=)(' '' 若与d 1接触的金属板带负电,则2 10 21211 εεσεεσσσ+--=+=)(''' (3)2 10 122 1202010102211εεσεεεεσεεσ)d d (d d d E d E U +=+= += (4)01101σεε==E D ,02202σεε==E D 4、平行板电容器两极板相距3、Ocm,其间放有一层02.=ε的介电质,位置与厚度如图所示,已知极板上面电荷密度为21101098m /c .-?=σ,略去边缘效应,求: (1)极板间各处的P 、E 与D 的值; (2)极板间各处的电势(设正极板处00=U ); (3)画出E-x,D-x,U-x 曲线; 解:(1)由高斯定理利用对称性,可给出二极板内: 2111098m /c .D e -?==σ(各区域均相同), 在0与1之间01==P ,r ε,m /V D E 20 101?== ε
电磁学——迈向电磁理论的统一1873年，英国物理学家麦克斯韦的所著的《电磁学》出版，在这部著作中，麦克斯韦全面地总结并发展了19世纪中叶以前，以法拉第和高斯为代表的科学家在电磁领域研究中所取得的成果，他以严格的数学方法形成了在理论上的系统化，从而建立起严密的经典电磁理论体系。 将各种现象统一起来的思考 进入19世纪下半叶，尽管科学技术发展迅速，然而关于电磁学的理论还未能达成我们今天所看到的这样统一的状态。当时的情况正如革命导师恩格斯所描述的那样，“在电学中，只有一堆陈旧的，不可靠的，既没有最后证实也没有最后推翻的实验所凑成的杂乱的东西，只有许多孤立的学者在黑暗中胡乱摸索，从事毫无联系的研究和实验，他们像一群游牧的骑者一样，分散地向未知的领域进攻。……电学还处于这种支离破碎的状态，暂时还不能建立起一种无所不包的理论……”① 的确，尽管像电素和磁素这样一类不可称量的流体的概念已经发生了动摇，但人们还未能像今天这样彻底地从中挣脱出来，在取得显著进步的电化学方面“接触说”和“化学说”的争论也还尚未得出结果，充满片面性的议论仍然横行无忌。遵循牛顿力学的形式，从库仑定律开始，在毕奥和萨伐尔定律等电磁定律中，关于电流或磁极间的相互作用问题，存在着一种超距作用的解释，但对这种超距作用机制的研究却处于空白状态。 在上述背景当中，瞩目于各种自然力的相互作用，法拉第首先考虑在相互作用物体之间的介质当中，使用有物理性质的“力线”将两者连接起来。继承法拉第的这一思想，麦克斯韦在统一把握电磁理论方面迈出了具有决定意义的一大步。尽管所说的统一把握电磁理论的思想，也受到当时认识的一定局限，但它毕竟是向前迈出了一大步。麦克斯韦针对当时电学领域中各种理论之间缺乏相关性的批判，以及同法拉第一样注重用统一性观点看待自然界中诸现象的立场，无疑应当首先引起注意。 展露才华的少年 说来也凑巧，麦克斯韦（James Clerl Maxwell，1831－1879）刚好出生于法拉第发现了电磁感应的那一年，也就是1831年。所不同的是，麦克斯韦的家境要比法拉第优裕得多。麦克斯韦出生于苏格兰的邓弗里希尔庄园，他的父亲属于那里的知识阶层。麦克斯韦的童年教育是在母亲的精心呵护下完成的。从少年时起麦克斯韦就在数学方面表现出杰出的才能。13岁那年他获得了一年一度的数学奖，其后他父亲带他去参加爱丁堡皇家学会的各种学术活动。14岁时麦克斯韦发现了构成椭圆的新的数学方法．次年他的处女作论文提交给爱丁堡皇家学会。16岁的时候，麦克斯韦便进入爱丁堡大学，在该校三年的学习生涯中发展了他的数学技能。后来麦克斯韦又转到剑桥去读书，1854年毕业，以优秀的成绩获得荣誉学位考试第二名。麦克斯韦留校，被选为三一学院研究员，这时他只有24岁。麦克斯韦以后又在苏格兰和伦敦担任教职。他一生最为重要并值得在科学史上特书一笔的职务，是他回到剑桥担任卡文迪许实验室第一位主任教授。 从法拉第的研究出发 麦克斯韦的研究工作最初是流体力学和颜色理论，在气体运动论方面他的贡献也引人注目。关于电磁学的研究，他在开尔文勋爵的指导下，先从阅读法拉第的《电的实验研究》开始。法拉第的论文中未包含任何数学公式，而麦克斯韦首先着眼于寻求其中数学方法的研究。由于这个原因，从1855年12月开始的电磁学研究工作，麦克斯韦发表的最早的电磁学论文
第四章习题解答 4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③ 根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到槽内的电位分布 4.2 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到 。上板和薄片保持电位 ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。 解 应用叠 加原理，设板间的电位为 0U (,)x y ?(0,)(,)0y a y ??==(,0)0x ?=0(,)x b U ?=(,)x y ?1 (,)sinh( )sin()n n n y n x x y A a a ππ?∞ ==∑01 sinh( )sin()n n n b n x U A a a ππ∞ ==∑sin( )n x a πa x 002sin()d sinh()a n U n x A x a n b a a ππ==?0 2(1cos )sinh() U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ? =???=? ，0 1,3,5, 41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x x y n n b a a a ππ?π π== ∑ b d y =b y =)(∞<<-∞x 0U 0=y d y =0(0,)y U y d ?=(,)x y ?= 12(,)(,)x y x y ??+ 题4.1图 y o y bo y d y 题 4.2图
第三章 静电场的电介质 3.2.1 偶极矩为p → =q l → 的电偶极子，处于场强为E 的外电场中，p → 与E → 的夹角为θ。 （1） 若是均匀的，θ为什么值时，电偶极子达到平衡？ （2）如果E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？ 解： （1）偶极子受的力： F + =F _=qE 因而F → +=-F → _∴偶极子 受合力为零。偶极子受的力矩 T =p ?E 即 T=qEsin θ 当 T=0时，偶极子达到平衡， ∴ pEsin θ=0 p → ≠0 E → ≠0 ∴θ=0 , π θ=0这种平衡是稳定平衡。θ=π是不稳定平衡。 （2） 当E → 不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个 力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。 3.2.2 两电偶极子 1p →和2 p → 在同一直线上，所以它们之间距r 比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为F= 4 02 123r p p πε，力的方向是：1 p → 与 2 p → 同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。 证： 已知当r >>l 时，偶极子在其延长线上 一点的场强：E → =3 02r p πε→ 当 1p → 与 2p → 同方向时，如图 2p → 所受的力的大小： +→ F =E → q= r l r q p ∧ +3 201)2 (2πε
-→ F = - E → q= r l r q p ∧ --3 201)2 (2πε ∴F → = +→ F +-→ F =r l r l r q p ∧????? ? ?? ????--+323201)2(1 )2(12πε =r l r l l r q p ∧ ?? ? ???---?32223 222 01)2()2(2262πε 略去 4 22l 及 83 2 l 等高级小量。 F → =-r r ql p ∧ 4 02 146πε = -r r p p ∧ 4 02123πε 当 1p → 与 2p → 反方向时（如图） ，同理： F →= r l r l r q p ∧????? ? ?? ????--+323201)2(1 )2(12πε =012πεq p ?r l r l l r ∧ -+3222 3 222) 4 ()2(23 略去高级小量得： F → =r r P P ∧ 402123πε 3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ，其所在处的电场强度为 。 （1） 求电偶极子在该处的电位能， （2） 在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是 多少？
一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ]
(A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同
第一章 静电 场 §1.1静电的基本现象和基本规律 计算题： 1、 真空中两个点电荷q 1=1.0×10-10 C ，q 2=1.0×10-11 C ，相距100mm ，求q 1受的力。 解：)(100.941 102 2 10排斥力N r q q F -?== πε 2、 真空中两个点电荷q 与Q ，相距5.0mm,吸引力为40达因。已知q=1.2×10-6 C,求Q 。 解：1达因=克·厘米/秒=10-5 牛顿 3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用 力和相距一千米时的相互作用力。 解：? ??=?=?==物体的重量相当于当万吨物体的重量 相当于当kg m r N m r N r q q F 900)1000(100.990)1(100.941 3 92210πε 4、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆 周运动，轨道半径是r=5.29×10-11 m 。已知质子质量M=1.67×10-27 kg ，电子质量m=9.11×10-31 kg 。电荷分别为e=±1.6×10-19 C,万有引力常数G=6.67×10-11 N ·m 2 /kg 2 。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解： 不计 万有引力完全可以略去与库仑力相比在原子范围内由此可知吸引力吸引力,,,/1019.241 41)3(1026.2/)(1063.3)2() (1022.841 )1(62 02 2 02394722 18 2 20s m mr e v r e r v m F F N r m m G F N r e F g e g e ?==?=?=??==?==--πεπεπε 5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10 -15 米时，它们之间的排斥力仍遵守库仑定律。 金的原子核中有79个质子，氦的原子核（即α粒子）中有2个质子。已知每个质子带电e=1.6×10-19 C ，α粒子的质量为6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为6.9×10-15 m 时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速度。 解： s m m F a N r q q F /1014.1)2()(1064.741 )1(2922 2 10?== ?== 排斥力πε
第四章 习题 2、平行板电容器（面积为S,间距为d ）中间两层的厚度各为d 1和d 2（d 1+d 2=d ），介电常数各为1ε和2ε的电介质。试求： （1）电容C ；（2）当金属板上带电密度为0σ±时，两层介质的分界面上的极化电荷密度'σ；（3）极板间电势差U;（4）两层介质中的电位移D ； 解：（1）这个电容器可看成是厚度为d 1和d 2的两个电容器的串联： 1 2210212121d d S C C C C C εεεεε+=+= （2）分界处第一层介质的极化电荷面密度（设与d 1接触的金属板带正电） 1 111011111εσεεεσ)(E )(P '-= -=-=?= 分界处第二层介质的极化电荷面密度： 21 222022211εσεεεσ)(E )(P n P '-- =--=-=?= 所以， 2 10 21211 εεσεεσσσ+-=+=)(' '' 若与d 1接触的金属板带负电，则2 10 21211 εεσεεσσσ+--=+=)(''' （3）2 10 122 1202010102211εεσεεεεσεεσ)d d (d d d E d E U +=+= += （4）01101σεε==E D ，02202σεε==E D 4、平行板电容器两极板相距3.Ocm ，其间放有一层02.=ε的介电质，位置与厚度如图所示，已知极板上面电荷密度为21101098m /c .-?=σ，略去边缘效应，求: (1)极板间各处的P 、E 和D 的值; (2)极板间各处的电势(设正极板处00=U ); (3)画出E-x ，D-x ，U-x 曲线; 解：（1）由高斯定理利用对称性，可给出二极板内： 2111098m /c .D e -?==σ（各区域均相同）， 在0与1之间01==P ,r ε，m /V D E 20 101?== ε
1.一边长为2a的载流正方形线圈，通有电流I。试求：(1)轴线上距正方形中心为r0 处的磁感应强度；(2) 当a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm时，B等于多少特斯拉？ 解（1）沿轴向取坐标轴OX，如图所示。利用一段 载流直导线产生磁场的结果， 正方形载流线圈每边在点P产生的磁感应强度的大小 均为:,式中: 由分析可知，4条边在点P的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中AB边在P点的B1方向如图所示。由对称性可知，点P上午B应沿X轴，其大小等于B1在X轴投影 的4倍。设B1与X轴夹角为α则: 把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=3.9×10-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=2.8×10-7(T)。可见，正方形载流线圈中心的B要比轴线上的一点大的多。 2. 将一根导线折成正n边形，其外接圆半径为a，设导线栽有电流为I，如图所示。试求：(1)外接圆中心处磁感应强度B0；(2) 当n→∞时，上述结果如何？ 解: （1）设正n边形线圈的边长为b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即： 所以，n边形线圈在O点产生的磁感应强度为： 因为2θ=2π/n,θ=π/n，故有：由右手法则，B0方向垂直 于纸面向外。 （2）当n→∞时，θ变的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述结果中，得：
此结果相当于一半径为a，载流为I的圆线圈在中心O点产生磁感应强度的结果，这一点在 n→∞时， 是不难想象的。 3. 如图所示，载流等边三角形线圈ACD，边长为2a，通有电流I。试求轴线上距中心为r0处的磁感应强度。 解:由图可知，要求场点P的合场强B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边P点产生的磁感应强度Bi ，再将三者进行矢量叠加。 由有限长载流导线的磁场公式可知，AC边在P点产生的磁感应强度BAC的大小为： 由于⊿ACP为等腰三角形，且PC垂直AC，即： 代入上述结果中，得： 由右手螺旋定则可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外， 如图所示。由对称性可知，AC，CD，DA三段载流导线在 P点产生的磁感应强度BAC、BCD、BDA在空间方位上对 称，且它们在垂直于Z轴方向上的分量相互抵消，而平行 于Z轴方向上的分量相等，所以： 根据等边三角形性质，O点是⊿ACP的中心，故:，并由⊿EOP可知 sinα=,所以P点的磁感应强度BP的大小为： 磁感应强度BP的方向沿Z轴方向。 4. 一宽度为b的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流I0。P点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为d。如图所示。试求P点的磁感应强度B。 解: 建立坐标轴OX，如图所示，P点为X轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载
★麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。 从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。 麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。 历史背景 麦克斯韦诞生以前的半个多世纪中，人类对电磁现象的认识取得了很大的进展。1785年，C．A．库仑（Charles A．Coulomb）在扭秤实验结果的基础上，建立了说明两个点电荷之间相互作用力的库仑定律。1820年H．C．奥斯特（Hans Christian Oersted）发现电流能使磁针偏转，从而把电与磁联系起来。其后，A．M．安培（Andre Marie Ampere）研究了电流之间的相互作用力，提出了许多重要概念和安培环路定律。M．法拉第（Michael Faraday）的工作在很多方面有杰出贡献，特别是1831年发表的电磁感应定律，是电机，变压器等设备的重要理论基础。 在麦克斯韦之前，关于电磁现象的学说都以超距作用观念为基础。认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用，都是可以超越中间媒质而直接进行，并立即完成的。即认为电磁扰动的传播速度是无限大。在那个时期，持不同意见的只有法拉第。他认为上述这些相互作用与中间媒质有关，是通过中间媒质的传递而进行的，即主张间递学说。 麦克斯韦继承了法拉第的观点，参照流体力学的模型，应用严谨的数学形式总结了前人的工作，提出了位移电流的假说，推广了电流的涵义，将电磁场基本定律归结为四个微分方程，这就是著名的麦克斯韦方程组。他对这组方程进行了分析，预见到电磁波的存在，并且断定电磁波的传播速度为有限值（与光速接近），且光也是某种频事的电磁波。上述这些，他都写入了题为《论电与磁》的论文中。1887年H．R．赫兹（Heinrich R．Hertz）用实验方法产生和检测到了电磁波，证实了麦克斯韦的预见。1905～1915年间A．爱因斯坦（Albert Einstein）的相对论进一步论证了时间、空间、质量，能量和运动之间的关系，说明电磁场就是物质的一种形式，间递学说得到了公认。 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），毕奥-萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。 1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 要点分析 麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为： ①几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 ③导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 ④磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 ⑤光波也是电磁波。 麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1. 积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式为：
1 一根长直导线载有 5.0A直流电流,旁边有一个与它共面的矩形线圈ABCD,已知l=20cm,a=10cm,b=20cm;线圈共有N=1000匝,以v=3.0m/s的速度离开直导线,如图所示。试求线圈中的感应电动势的大小与方向。 解:
2. 如图所示,无限长直导线中的电流为I,在它附近有一边长为2a的正方形线圈,可绕其中心轴以匀角速度旋转,转轴与长直导线的距离为b。试求线圈中的感应电动势。
解: 3. 如图所示，一无限长的直导线中通有交变电流:，它旁边有一个与其共面的长方形线圈ABCD，长为l，宽为（）。试求：（1）穿过回路ABCD的磁通量 ；（2）回路ABCD中的感应电动势。
解: 4.一无限长直导线，通电流为I。在它旁边放有一矩形金属框，边长分别为a、b，电阻 为R，如图所示。当线圈绕轴转过180o时，试求流过线框截面的感应电量。 解:
5. 如图所示为具有相同轴线的两个导线回路，小线圈在大线圈上面x处，已知大、小线圈半径分别为R、r，且x>> R，故当大线圈中有电流I流动时，小线圈所围面积内（） 的磁场可近似视为均匀的。设大小线圈在同轴情况下，其间距x以匀速变化。
试求：（1）穿过小线圈的磁通量和x之间的关系；（2）当x=NR时（N为一正数），小线圈内产生的感应电动势；（3）若v>0，小线圈内的感应电流的方向。 解: 6.如图所示，在均匀磁场B中放一很长的良导体线框，其电阻可忽略。今在此线框上横跨一长度为l、质量为m、电阻为R的导体棒，并让其以初速度运动起来，忽略棒与线框之间的摩擦，试求棒的运动规律。
麦克斯韦方程组与电磁学感悟 通信四班叶萌 1006020425 摘要 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。 关键词：麦克斯韦电磁场理论电磁波 历史背景与提出过程 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。 法拉第用直观、形象、自然的语言表述的物理观念发表之后，由于没有严密的数学论证，仅有少数理论物理学家对它表示欢迎，而大多数都认为缺乏理论的严谨性。麦克斯韦非常钦佩法拉第的思想，把法拉第天才的观念用清晰准确的数学形式表示出来，使之更具有深刻性和普遍性。 麦克斯韦与法拉第不同，他是一位极优秀的数学家，具有很高的数学天赋，早年的兴趣主要在纯数学方面，他是英国著名数学家霍普金斯(W，H“妙ins)的研究生，在这位数学家的指导下，不到三年就基本上掌握了当时所有先进的数学方法，成为一名有为的青年数学家，并且，麦克斯韦在他的直接影响下，很注重数学的应用，这一点对日后完成电磁场理论无疑是很关键的。 麦克斯韦本着为法拉第观念提供数学方法的思想，认真分析了法拉第的场和力线，同时考察了诺伊曼和所发展起来的超距作用的电磁理论，发现“其假设中所包含着的机制上的困难”决定从“另一方面寻找对事实的解释”。他继承了法拉第的场观念和近距作用J思想，于1855年发表了其电磁学的第一篇重要论文一一《论法拉第的力线》。采用几何观点，类比流体力学理论，对法拉第的场作了精确的数学处理，
第四章 习题一(磁场) 1、一根载有电流I 的无限长直导线，在A 处弯成半径为R 的圆形，由于导线外 有绝缘层，在A 处两导线并不短路，则在圆心处磁感应强度B 的大小为( C ) (A) I (μ0＋1)／(2πR) (B) μ0πI ／(2πR) (C) μ0I(1＋π)／(2πR) (D) μ0I(1＋π)／(4πR) 2、载有电流为I 的无限长导线，弯成如图形状，其中一段是半径为a 的半圆， 则圆心处的磁感应强度B 的大小为( D ) (A) μ0I ／(4a ) + μ0I ／(4πa ) (B))8/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμμ++ (C) ∞ (D))4/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμ μ+-3、如图，电流I 均匀地自下而上通过宽度为a 的 无限长导体薄平板，求薄平板所在平面上距板的一 边为d 的P 点的磁感应强度。 解：该薄板可以看成是由许多无限长的细直载流 导线组成的，每一条载流线的电流为dI =Idx /a ， 根据无限长直载流线磁场公式，它们在P 点产 生的磁感应强度的大小为 x dx a πI μx πdI μdB 2200= =，B d 的方向? ∴ d a d a πI μx dx a πI μdB B a d d a d d +== =??++ln 2200，B 的方向? P B
4、电流均匀地自下而上通过宽为2a 的无限长导体薄平板，电流为I ，通过板的中线并与板面垂直的平面上有一点P ，P 到板的垂直距离为x ，设板厚可略去不计，求P 点磁感应强度B 。 解：面电流线密度a I j 2/= 在离轴线y 处取一宽为dy 的窄条，其电流为 dy a I jdy dI 2==, 22y x r += P 点B d 的方向如图所示。 r πdI μdB 20= 2 2 0044y x dy a πI μr dy a πI μ+== 2 2 cos sin y x x r x φθ+== =，2 2 sin cos y x y r y φθ+== = 2204cos y x ydy a πI μθdB dB x += =，2 204sin y x xdy a πI μθdB dB y +== 04220=+==??--a a a a x x y x ydy a πI μdB B x a a πI μx y a πI μy x dy a πIx μdB B a a a a a a y y arctan 2arctan 4400220 ==+==---?? y y y x x e x a a πI μe B e B B ??? ??=+=arctan 20 5、求上题当a →∞，但维持a I j 2=(单位宽度上的电流，叫做电流线密度)为一常量时P 点的磁感应强度。 解：y y y a e j μe ππj μe x a a πI μB 2 2arctan 2lim 000==??? ??=∞→