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【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2
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1.2.1 平面的基本性质
1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)
2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1平面的概念及表示
阅读教材P
21～P
22
公理2以上部分内容，完成下列问题．
1．概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．
图1－2－1
2．表示
(1)图形表示
平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．
(2)字母表示
平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．
3．点、线、面位置关系的符号表示
位置关系符号表示
点P在直线AB上P∈AB
点C 不在直线AB 上 C ?AB 点M 在平面AC 内 M ∈平面AC 点A 1不在平面AC 内 A 1?平面AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC ＝B 直线AB 在平面AC 内 AB ?平面AC 直线AA 1不在平面AC 内
AA 1?平面AC
如果直线a ?平面α，直线b ?平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①l ?α；②l ?α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ?α，b ?α，
∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ?α.故填①. 【答案】 ①
教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为：
?
??
A∈αB∈α?AB ?α. (2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
用符号表示为：
?
??
P∈αP∈β?α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论
(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．
图1－2－2
【解析】
由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n?α且m∩n＝A.
【答案】α∩β＝m，n?α且m∩n＝A
2．下列说法正确的是________．(填序号)
①三点可以确定一个平面；
②一条直线和一个点可以确定一个平面；
③四边形是平面图形；
④两条相交直线可以确定一个平面．
【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．
②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
③错误，四边形不一定是平面图形．
④正确，两条相交直线可以确定一个平面．
【答案】④
[小组合作型]
三种语言的转换
(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
①②
图1－2－3
(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面A DC交于AC”，并画出图形．
【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．
【自主解答】(1)①α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，l∥m.
②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.
(2)符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，
平面ABC∩平面ADC＝AC.
图形表示：
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示．
3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[再练一题]
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．
(1) (2)
图1－2－4
图(1)可以用几何符号表示为________________．
图(2)可以用几何符号表示为________________．
【答案】(1)α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB，a∥b
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A?l，B?l
点线共面问题
已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面
法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合
【自主解答】如图．
法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l?α.
∴a，b，l共面．
同理，a，c，l共面，
即c也在a，l确定的平面内．
故a，b，c，l共面．
法二：∵a∥b，
∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，
∴AB?α，即l?α.
又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，
而B∈b，C∈c，∴BC?β，即l?β.
∴b，l?α，b，l?β，而b∩l＝B，
∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
确定一个平面的方法有：
①直线和直线外一点确定一个平面；
②两条平行线确定一个平面；
③两条相交直线确定一个平面．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
[再练一题]
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【导学号：412920xx】【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一：
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
[探究共研型]
共线，共点问题
探究1
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．
探究2
如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
图1－2－5
【提示】交于一点．
证明：连结EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF綊1
2
A
1
B.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，
且EF＝1
2
D
1
C，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F?平面A1D1DA，
CE?平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE，D1F，DA相交于一点．
如图1－2－6所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．
图1－2－6
【精彩点拨】
先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.
【自主解答】∵E，G分别为BC，AB的中点，
∴GE∥AC，GE＝1
2 AC.
又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
∴FH∥AC，FH＝2
5 AC.
∴FH∥GE，FH≠GE.
∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.
∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，
∴O在这两平面的交线上．
而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，
∴点O在直线BD上．
∴EF，GH，BD交于一点．
证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．
[再练一题]
3．如图1－2－7，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，C C
1
上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．
图1－2－7
【证明】 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .
?
???
? ???
QR ?平面BC1，O∈RQ ?O∈平面BC1
?
??
DP ?平面AC，O∈DP ?O∈平面AC
? O 为平面BC 1与平面AC 的公共点 又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ， ∴O ∈BC ，
即O ，B ，C 三点共线．
1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述不正确的有________． ①A ∈a ，a ?α?A ?α；②A ∈a ，a ∈α?A ∈α； ③A ?a ，a ?α?A ?α；④A ∈a ，a ?α?A ?α. 【解析】
①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ?a ，a ?α，但A ∈α；④不正确，“A ?α”表述错误．
【答案】 ①②③④
2．如图1－2－8所示，点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．
图1－2－8
【解析】
因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．【答案】无数
3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为_ _______个．
【答案】 3
4．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是_____ ___.
①②③④
图1－2－9
【答案】④
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．
【解】
设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．