1.2.2 导数的运算法则（一）
知识要点
1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ，
即()()'u x v x ±=????
2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ，
即()()'u x v x ?=???? 。特别地，()'cu x =???? （其中c 为常数）。 3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。即
知识点一，直接求导
例1，求下列函数的导数
（1）2
3cos y x x x =+ （2）1x y x
=
+ （3）tan y x = （4）lg x y x e =-
变式训练1，求下列函数的导数
(1)23y x =
(2)5314353
y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1
x y x =+
知识点二，先变形再求导
例2，求下列函数的导数
（1）
y =（2）cos 2sin cos x y x x =
+
（3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+
+ ??? (2)44sin cos 44
x x y =+
知识点三，导数的综合应用
例3，已知函数21n
x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ???
，求函数在点P 处的切线方程。 变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v
水平基础题
1．已知物体的运动方程是s ＝14
t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )
A ．0秒、2秒或4秒
B ．0秒、2秒或16秒
C ．2秒、8秒或16秒
D ．0秒、4秒或8秒
2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A ．y ＝x －1
B ．y ＝－x －1
C ．y ＝2x －2
D ．y ＝－2x －2
3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )
A.π2
B ．0
C ．钝角
D ．锐角
4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．
5．求下列函数的导数：
(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x
－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
. 水平提升题
6．曲线y ＝x sin x 在点???
?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )
A.π2
2
B ．π2
C ．2π2 D.12
(2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos x
8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )
A ．f (x )＝g (x )
B ．f (x )－g (x )为常数
C ．f (x )＝g (x )＝0
D ．f (x )＋g (x )为常数
9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______．
10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．
11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题
13．求满足下列条件的函数f (x )：
(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；
(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.
14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数）
1(1)(2)y f y f x ??== ???
知识要点
1，和（或差） ()()''u x v x ±
2，第一个函数的导数乘第二个函数 第一个函数乘第二个函数的导数
()()()()''u x v x u x v x ?+? ()'cu x
3,分子的导数与分母的积 分母的导数与分子的积 分母的平方
()()()()()()()()()2'''0f x g x f x f x g x g x g x g x ??-=≠????
典型例题
例1，答案：（1）'6cos sin y x x x x =+-
（2）()21
'1y x =+
（3）21'cos y x
=
（4）1'ln10x y e x =- 变式训练1，(1)'6y x =
(2)42'43y x x =-+
(3)()2'21sin cos y x x x x =-+
(4)()2ln 1'1x x x y x x -+=
+
例2，答案：（1）2
1y x
==- ()22
'1y x =-
（2）cos 2cos sin sin cos x y x x x x
==-+ 'sin cos y x x =--
（3）)2
12sin cos 4sin 222x x y x x =-=--
1'1cos 2y x x =-- 变式训练2，(1)232'3y x x =-
(2)1'sin 4
y x =-
例3，答案：因为1921n ??= ?+??，所以2n =，2
21x y x ??= ?+??
()32'21x y x =+，12'|27
x y == 所以切线方程为22710x y -+=
变式训练3，53
m v = 作业练习
1．[答案] D
[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.
2．[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.
3．[答案] C
[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4
)<0，故倾斜角为钝角，选C.
4．[答案] (－1,3)
[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.
5．[解析] (1)∵y ＝x ????x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x
2， ∴y ′＝3x 2－2x
3；
(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4
＝????sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4
＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，
∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
＝(1＋x )21－x ＋(1－x )2
1－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x
－2， ∴y ′＝????41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2
.
6．[答案] A
[解析] 曲线y ＝x sin x 在点????－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22
. 7．[答案] D
[解析] f 0(x )＝sin x ，
f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，
f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，
f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，
f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，
∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.
8．[答案] B
[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．
9．[答案] －32
[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，
∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3
＝－sin π3＝－32. 10．[答案] f (x )＝－52x －12
e x ＋1 [解析] 由题意可知，
f ′(x )|x ＝－1＝－3，
∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，
∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12
e ， 故
f (x )＝－52x －12
e x ＋1. 11．[解析] 因为y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为
若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，
即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存有公共点，使在这个点处的两条切线互相垂直．
12．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．
对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①
对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.
② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，
解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.
∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.
13．则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c
由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，
由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0
可建立方程组?
???? f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得?????
a ＝1
b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.
(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，
则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
f ′(x )＝2ax ＋b ，
把f (x )和f ′(x )代入方程，得
x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1
整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1
若想对任意x 方程都成立，则需
????? a －b ＝0b －2c ＝0
c ＝1解得????? a ＝2b ＝2c ＝1
， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.
14,
()(
)(
)2112222211111(1)'''''(2)''''
11'11''1222
'y f f f x x x x x y f f f x x f x x f --??????????==?=-? ? ? ? ???????????????==?????=?++=?+?=解：
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两课时） 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解，求复合函数的导数. 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式： (1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2 ）y = （3）21y x = （4 ）y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+
§122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (两课时) 学习目标 1. 理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数; 2. 理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3. 复合函数的分解，求复合函数的导数 . 一、预习与反馈(预习教材P l4~ P l9，找出疑惑之处) 复习1：常见函数的导数公式： cosx)' ________ ; (5) (e x )' ________ ； ⑹(a x )' 1 ⑺(l nx)' ________ ; (8) (log a x)' log a e x 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 新知 1. 可导函数的四则运算法则 法则1 [u(x) v(x)]' ______________ . ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2 [u(x)v(x)] ____________ . ( 口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号 ) 法则3 [凹] __________________ ( v(x) 0)( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下 v(x) (1) C' _______ (C 为常数)；(2) (x n )' n € N +; (3) (sin x)' ______ 6 (1)y x (2) y - x
导上不导，中间是负号) 1 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 y x 3 2x 丄3导数. x 变式：(1) y log 2x ； 例2求下列函数的导数: (1) y x 3 log 2 x ； 2. 复合函数： 1. 定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和u g(x)如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数， 那么这个函数为函数 _________ 和 ______________ 的复合函数，记住 _____________________ 2. 复合函数的求导法则 复合函数y f(g(x))的导数和函数y =f (u )， u g(x)的导数间的关系式 为 ________________ ，即y 对x 的导数等于 _________________ 的乘积。 例。3求下列函数的导数： 2 x 1 (1) y (2x 3) ； ( 2) y e ； (3) y sin( x ) x (2) y 2e ； (3) y 2x 5 3x 2 5x 4； (4) y 3cosx 4sin x (3)y=2e -x
§4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2 g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 /x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函 数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一．教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 二．教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 三．教学过程： （一）．创设情景 复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 、y = 用 （二）．新课讲授 1（1）基本初等函数的导数公式表
（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2x y = （2）3x y =与3log y x = 2.（1 推论：[]' '()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =?；（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）4 x x y =； 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的． ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 四．典例精讲 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln 1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln 1.050.08p =≈（元/年）
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计 高中数学人教A版选修1-1 3、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算 一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学 课时：1课时 二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则 运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数． 三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用 五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求 能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中，适量的 联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的 形式化的运算联系。 六、教学方法及教学思路： 运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分： 1、回顾公式、寻找技巧 2、自主探究、合作学习 3、成果展示，汇报交流
4、归纳总结，提升拓展 5、反馈训练，巩固落实 6、总结本节复习要点及课后作业的布置 七、教学过程 1、回顾公式、寻找技巧 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则： 函数的和、差、积、商的求导法则：
简单复合函数的求导： 函数 其中 和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习 针对性训练：求下列函数的导数 3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解， 同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。 4、归纳总结，提升拓展 总结反思： 1、先观察函数是由哪些子函数组成。 2、再观察有哪些运算法则。 3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员x x y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（ （4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（) 32sin(8π+=x y ）（ )(x g u =x u x u f y '''?=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx