第三章 插值法与最小二乘法
1. 已知下列表值
x 10 11 12 13 lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649
用线形插值与二次Lagrange 插值计算ln11.75的近似值，并估计误差。 解：（1）线形插值
说明：当插值点落在被插区间之内，这种方法称为内插法，此时插值精度较好。
x ],12,11[75.11∈=故选择x 0=11,x 1=12,求线形插值函数。
11001y x l y x l x P ?+?=∴）（）（）（
=
10
100101
y x x x x y x x x x ?--+?--
=
4849.211
1211
3979.2121112?--+?--x x
=2.4849（x-11）-2.3979（x-12）
)1275.11(3979.2)1175.11(4849.2)75.11(75.11ln 1---=≈∴p =2.46315
（2）二次拉格朗日插值
选择插值结点：x 12,11,10210===x x P 2211002)()()()(y x l y x l y x l x ++= =
212021012101200201021)
)(())(())(())(())(()
)((y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x ----+----+----
=
4849.2)
1112)(1012()
11)(10(3979.2)1211)(1011()12)(10(3026.2)1210)(1110()12)(11(----+----+----x x x x x x
=1.1513（x-11）（x-12）-2.3979（x-10）（x-12）+1.24425（x-10）（x-11）
)
1175.11)(1011075(24245.1)1275.11)(1075.11(3979.2)1275.11)(1175.11(1513.1)75.11(75.11ln 2--+-----=≈∴P =1.15133125.124245.14375.03979.2)1875
.0(?+?+-? =2.463928
2. 已知下列表值
求f(x)在[0，2]之间零点近似值。
.解：由给定插值条件可作三次插值多项式P ()x 2即 P ()()()()()()()()()()()()()2
120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x ----+----+----=
=
()()()()()()()()()181
215.711282121-?-+--?-+-?---x x x x x x =2.58182
+-x x
f(x)在[0，2]之间零点可用P ()x 2在[0，2]之间零点近似，即P ()x 2=0亦2.58182
+-x x =0。
适合条件的解x ]2,0[∈可得 x=0.4071216.
3．给出f(x)=sin x 的等距节点函数表，如用分段线形插值计算sin x 的近似值，使其截距误差为0.54
10-?，则其函数表的步长应取多大？ 解：由教材P80（3.6）式： Max|R 22
8
|)(h M x i ≤
,其中M k n k n b a x h h x f 10],[2max |,)(|max -≤≤∈==，h k k k x x -=+1
),(,1||,sin )(,sin )()(''''+∞-∞∈≤-==x f x x f x x f x
由（3.6）式知： Max 2
28
|)(h M x i ≤
|R,条件： Max ,105.0|)(4-?≤x i M |)(|max '
']
,[2x f b a x ∈==1
即要求
42
108
-?≤h ，02.01022=?≤∴-h 即可。 4.已知等距插值节点x 2,1,0,,13210==-<<<+i h x x x x x i i ,且f(x)].[3,04
x x c ∈证明f(x)的Lagrange 插值多项式余项的误差界为 （1）二次插值的误差界 R |)(|max 27
3|)()(|max '''],[3
22202
0x f h x P x f x x x x x x ∈≤≤≤
-= （2） R |)(|max 24
1|)()(|max )
4(],[4
33303
0x f h x P x f x x x x x x ∈≤≤≤
-=
证明：由教材P77Th1,有
R |)(|max |)!1()
(|max |)()(|max 1]
,[)1(],[],[x w n x f x p x f n b a x n b a x n b a x n +∈+∈∈+≤-≤ （*）
其中()()()()()n n x x x x x x x x x -??????---=+2101ω 对（1），n=2，由()*式有， R 2≤()()()()()()210]["]
[2]
[2,,,02,,,02,,,0max max !31
max x x x x x x x f x P x f x x x x x x x x x ---≤
-∈∈∈
对()()()
210]
[2,,,0max x x x x x x x x x ---∈]
2,0[],,[100∈∴∈+=t x x x th
x x 令]
20[,,,max ∈t ()()321h t t t --
由()()[].021'
=--t t t 问02632
=+-t t
,6121±
=t 可得6
12
1-
=t 代入可得，()()21max ]20[,,,--∈t t t t =???
? ??--???? ??--???? ??-2612
1161216121=392 []()|)(|max 273max 932!31|)()(|max ''']
,[3"',32220202
0x f h x f h x P x f R x x x x x x x x x ∈∈≤≤=???≤
-=∴
对()2，n=3,由()式有*：
≤3R ()()()()3210],[)4(]
,[330303
0max |)(|max !41
|)()(|max x x x x x x x x x f x P x f x x x x x x x x x ----?≤
-∈∈≤≤
同上理，
()()()()
3210]
,[30max x x x x x x x x x x x ----∈[]
[]()()()43,00321max 3,0h t t t t t th
x x ?---∈+=令 ∴|)(|max !41|)()(|max )4(]
,[4
33303
0x f h x P x f R x x x x x x ∈≤≤≤
-≤= 证毕！
5
所确
Lagrange 插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题？
解：取三点
作二次Lagrange 插值。
()()()()()()()()()()()()()2
120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P ----+----+----=
=12
-x
证明：直接由题条件做的()125-=x x P
当被插函数是多项式且次数为n ，且经n+1个结点是可以确定该多项式，而多增结点不可改变这一结果，即，被查函数是n 次多项式，只须n+1个结点的值就唯一确定该多项式。
6
用三次Newton 插值公式计算f(0.1581),f(0.6367),
解：本题给出了六个结点值，而三次Newton 插值公式只须四个结点即可。选定结点值系
列：请求函数值结点x 在插值区间之中，即对x=0.1581。选用结点：
作均差表：
()()[]()[]()()[]3210102100103,,,,,,x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N +--+-+=
()()()210x x x x x x ---
=0.79618-0.18272（x-0.125）+0.21728（x-0.125）（x-0.25）
-0.26965（x-0.125）（x-0.25）（x-0.375）
()()()()()()()()0.790615
375.01581.0250.01581.0125.01581.0226965.0250.01581.0125.01581.021728.0125.01581.018272.077618.01581.01581
.03=---------=≈∴N f 对
()()[]()[]()()[]
()()()
21032101021001003,,,,,,x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N ---+--+-+=
()()()()()()()()651495
.0625.06367.0500.06367.0375.06367.017067.0500.06367.0375.06367.026336.0375.06367.031664
.074371.06367.06367.03=---+-----=≈∴N f 7.求二次多项式()22x P ，使满足：
()()()'
11'2222102,,y x P y x P y x P ===
其中，2
2
11210x x x x x x +≠
∧?? 解：设()22x P 是一元二次多项式，利用条件，得如下函数
()()()()()202010,,1x x x x x x x x x --=-==???
而()22x P =A ()x 0?+B ()x 1?+C ()x 2? =A+B ()0x x -+C ))((20x x x x --
由条件， ()()0
22
12221102.x x y y B y x P y A y x P --=
===得又得
()()()()20121011'2'
12x x x C B x x C x x C B x P y --+=-+-+==再
)
2)(()()(2201021202'1201'1x x x x x y y x x y x x x B y C ------=
---=得 ()证明个不同的实根有若,,,.8211
110n n n n n x x x n x a x a x a a x f ???++??????++=--
()
=∑=n
j j
j
x f x 1
'
"
a 1
-n
20-≤≤n k
1-=n k
证明：设())(1
021112
210a a x a a
x a a x a x a x a x a a x P n n n n
n n
n n ++???++
=+??????+++=-- =()()()n n x x x x x x a -???--21 令()(),1
k n k x x x -=
=ππ ()()k i n
i
k k x x x -=≠=1
'
ππ
()()()k n
k n
n n x x a x a x P -==∴=1
ππ
()()()k i n
i
k k n i n n
x x a x a x P -==≠=1'
'ππ
又令()()k i i k x x g x x g ==,
由均差的性质，[]()
()()∑∑====???n j j
k
j n
j j i n x x x x g x x x x g 1'1'321,,,ππ 又 []n x x x x g ???,,,321是n-1阶均差，由均差性质，若g(x)是k 次多项式。 若k 于是有：()()()∑∑===n j j k j n j j i x x x x g 1'1'ππ= 并得证： ()()()()====∑∑∑∑ ====n j j k j n n j j n k j n j j n k j n j j k j x x a x a x x P x x f x 1 ' 1'1'1 '1 ππ 另一法：设()x P n =()()()n n x x x x x x a -???--21 ()()()()() n j j j j j j n j n x x x x x x x x a x P -???--???-=+-111' () ()()()() ()()()() () j n n j j j j j j n j j n j k j n j j n k j x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x ' 1111111 1 '1 ? -???--???--???--???-=+-+-==∑∑ 0 1 20-≤≤n k k=n-1 =()()()j n j k j n x x x l x x a -???∑=1 1π 其中()()k n k x x x -==1ππ. =()()∑∑-???=n j n j k j n x l x x x a 1 {1πx 1+k j ?})(x l j = () )(1 11++-?k k n x x x a π =0 当0<=k<=k-2时 当k=n-1时 ∑=-n j n j n j x p x 1 1 ') (=())}()({11 11 x l x x l x x x a j n j n j j n j n j n ?-??∑∑==-π =()))((11 x l x x x a j n j n j k n ?-?∑=π = () )(1 x R x a n ??π 其中R(x)=!) ()(n f n ξ ()x π? !)(,)()(n x f x x f n n == =∴)(x R ()x π 即 ∑=-n j n j n j x p x 1 1 ') (= n a 1证. 9.证明两点三次Hermite 插值余项是: R(x)= 2120)4()()(! 4) (x x x x f --ξ 其中1,0(x x ∈ξ),并由此求证分段三次Hermite 插值的余项. 证明:设()()x H x f x R 3)(-=,由插植条件,()()()i i i i x H x f x R -==0. ()()()0' 3''=-=x H x f x R i i , i=0,1. 所以,结点x 10,x 是R(x)的二重根,故证 R(x)=K(x)(x-x 0)()2 12x x -. 其中,K(x)待定函数,类似Lagrage 插值余项的推导,引进辅助函数, ()()()()()()21203x t x t x K t H t f t ----=φ 则, ()t φ有五个重点,x,10,x x ,(其中二重点第二个),在由RlloeTh 至少存在一个 ()?∈10,x x ξ()()()()()0!444=-=x K f ξξ?即 ()()()! 44ξf x K = 代入()*式得证，()()()()()21204! 4x x x x f x R --= ξ 分段三次Hermite 插值余项的估计 由上可知在[]1,+k k x x 上的插值余项为 ()()()()()[]12124,,! 4++∈--= k k k k k x x x x x x f x R ξξ 则，分段三次Hermite 插值余项为： ()()[] ()()[]()()}12,104,1 01max max max !41max +∈-≤≤∈-≤≤--???≤ =+k k x x k n k b a x n n k x x x x x f x R x R k k ()()()16 max 4 12 12 1 k k k k x x x x x x x x x k k -= --++≤≤+ 令k k k h x x =-+1 k n k h h 1 0max -≤≤=? ()[]()()x f h x R x R b a x k n k 4,4 10m a x 16!41max )(∈-≤≤? ≤=∴ = [] ()()x f h b a x 4,4 max 384∈ 10. 解: ()2 1011000))(2 1(x x x x x x x x x -----=α ()2 100111))(2 1(x x x x x x x x x -----=α ()()20 10112 10100))((,))( (x x x x x x x x x x x x x x ---=---=ββ ()()003y x x H ?=∴α+' 11' 0011).().().(y x y x y x ββα++ =(1-2 1.)1 21)(2(1.)212)(1(3.)121)(1221(2.)212)(2112 222-------+-----+----x x x x x x x x =-2x 5982 3 +-+x x 另一方法:用带重合点的均差,Newtom 法做 5 9824108212)2)(1)(1)(2()1)(19.0)1(2)()(232333+-+-=+-+--+=----+--+-+==∴x x x x x x x x x x x x x x N x H 11.求满足 )),max(),,min().())((! 4) ()1),()(.2,1,0),()(21,021,02210)4(3''x x x x x x x x x x x x f x R j x f x P j x f x P j j j j （其中，（并证明其余项为： 的三次插值多项式，∈---= ====ξξ 解:用带重合点的均差做.建立均差表: N +=)x ()(03f x f[x 0,1x ](x- x 0)+ f[x 0,1x ,1x ](x- x 0)(x-1x )+ f[x 0,1x ,1x ,2x ] (x- x 0)(x-1x )2 余项估计:设)3x R （=f(x)-)(3x R ()()().2,1,0,033==-=i x N x f x R i i i 同时，()()()()()()()()22 1031'31'1' 3.0x x x x x x x K x R x N x f x R ---?=∴=-= 建立辅助函数：()()()()()()()22 103x t x t x t x K t N t f t -----=? 此时，()θ?存在五个零点，有RolleTh ，知存在一点ξ? ()()()()()!4044?-==x K f ξξ? ()()()! 44ξf x K =∴ 故得证：)())((! 4) ()2210)4(3x x x x x x f x R ---= ξ（ 证毕！ 12.求三次样条插值函数S （x ）,已知()i i y x ,的值如下： 边界条件：()().053.0,025.0""==S S 解：该题属于第二边界条件问题，应满足相应的方程组（教材P106（6，20））。J 即 2 1 1λ 2 1μ 2λ 2 2μ 3λ 2 3μ 1 2 再由公式().3,2,1,14,6,,,1=-=+k x x h k k k k k μλ ()()()41,0,22,6,24,6,15,6???=k g k 解方程组，可求得43210,,,,m m m m m 再按（教材P104（6，8）式）可求得 分段多项式： S ()x = 解：取线性拟合y=a x a 10+,于是有： 48 82861142 211110000=+=+=+=+a a a a a a a a 则 1 2 A= 1 4 x=()T a a 10, b=()T 48,28,11,2 1 6 1 8 由法方程组：A b A Ax T T =，得： 4 20 a 0 89 20 120 1a 600 得解 a 0=-16.5，1a =7.75 ()()()[]30.0,25.0,25.0967.1030.01025.06268.03∈-+-+--x x x x ()()()()[]39.0,30.03.09518.639.01238 .634.05974.139.04826.33 3∈-+-+----x x x x x ()()()()[]45.0,39.039.01903.1145.04170.1039.08503.245.03961 .23 3 ∈-+-+----x x x x x ()()()[]53.0,45.0,45.01000.953.03987.853.02377.23 3∈-+-+--x x x x = 即得线性拟合函数为： Y=7.75x-16.5 13.在某次实验中，需要观测水分的渗透速度，测得时间t 和水的重量w 的数据如下： 设已知t 与w 之间的关系为：w=At s ,试用最小二乘法确定参数A,s. 解：对w=At s 直接处理不行，两边取对数：ln w=ln A+s.ln t 令 y=ln w, a=ln A, x=ln t,则 y=a+s.x,线性函数，确定a,s,再由a=ln A,得A=e a 则： 1 a + s.0.69=1.19 1 0.69 1.39 a + s.0.69=1.19 1 3.39 1.35 a + s.0.69=1.19 A= 1 2.08 x= ()T s a , b= 1.52 a + s.0.69=1.19 1 2.77 1.24 a + s.0.69=1.19 1 3.47 1.11 a + s.0.69=1.19 1 4.16 0.95 法方程组为：A b A Ax T T =，即 7 14.56 a 9 14.56 43.76 s 17.23 得解 a=1.52,s=-0.11,由A=e a =e 55.452 .1= 亦得：w=4.55 t 11 .0- = 《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 第三章 插值法与最小二乘法 1. 已知下列表值 x 10 11 12 13 lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 用线形插值与二次Lagrange 插值计算ln11.75的近似值，并估计误差。 解：（1）线形插值 说明：当插值点落在被插区间之内，这种方法称为内插法，此时插值精度较好。 x ],12,11[75.11∈=故选择x 0=11,x 1=12,求线形插值函数。 11001y x l y x l x P ?+?=∴）（）（）（ = 10 100101 y x x x x y x x x x ?--+?-- = 4849.211 1211 3979.2121112?--+?--x x =2.4849（x-11）-2.3979（x-12） )1275.11(3979.2)1175.11(4849.2)75.11(75.11ln 1---=≈∴p =2.46315 （2）二次拉格朗日插值 选择插值结点：x 12,11,10210===x x P 2211002)()()()(y x l y x l y x l x ++= = 212021012101200201021) )(())(())(())(())(() )((y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x ----+----+---- = 4849.2) 1112)(1012() 11)(10(3979.2)1211)(1011()12)(10(3026.2)1210)(1110()12)(11(----+----+----x x x x x x =1.1513（x-11）（x-12）-2.3979（x-10）（x-12）+1.24425（x-10）（x-11） ) 1175.11)(1011075(24245.1)1275.11)(1075.11(3979.2)1275.11)(1175.11(1513.1)75.11(75.11ln 2--+-----=≈∴P =1.15133125.124245.14375.03979.2)1875 .0(?+?+-? =2.463928 2. 已知下列表值 一 选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算 解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为 二 填空题：(75分=35分) 1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算） 解：因为，， 4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:， 三 计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系） 解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和 数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（） 数值计算方法习题一（2） 习题二（6） 习题三（15） 习题四（29） 习题五（37） 习题六（62） 习题七（70） 2009．9，9 习题一 1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： (())(())'()()()() f x x f x f x x f x f x δδ?= ≈得 （1）()f x = 11 ()()*2%1% 22x x δδδ≈ ===； （2）4 ()f x x =时 44 4 ()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈ === 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。 （1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。 解：由教材9P 关于1212.m n x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效 数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352） 哪个较精确？ 解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈2 1 ((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2 (0.3443100.1352)fl ?+ =0.3457210? （2）31.97+（2.456+0.1352） 2 1 (0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21 (0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562 10? 易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122 10?，故（2）的计算结果较精确。 4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 分析化学第三章 思考题 1.什么叫滴定分析？它的主要分析方法有哪些？ 答:将已知准确浓度的标准溶液滴加到待测溶液中，直至所加溶液的物质的量与待测溶液的物质的量按化学计量关系恰好反应完全，达到化学计量点。再根据标准溶液的浓度和所消耗的体积，计算出待测物质含量的分析方法叫滴定分析。 主要有酸碱滴定法、沉淀滴定法、配位滴定法和氧化还原滴定法。 2.能用于滴定分析的化学反应必须符合哪些条件？ 答: ①反应能定量进行，无副反应发生，反应进行得完全（＞99.9%）； ②反应速率快； ③能用比较简便的方法如指示剂确定滴定的终点； ④共存物质不干扰反应或者有方法避免干扰。 3.什么是化学计量点，什么是滴定终点？ 答:滴加的标准溶液与待测组分恰好反应完全的这一点称为化学计量点。 指示剂变色时停止滴定的这一点为滴定终点。 4.下列物质中哪些可以用直接法配制标准溶液，哪些只能用间接法配制？ H2SO4, KOH, KMnO4, K2Cr2O7, KIO3, Na2S2O3?5H2O 答: K2Cr2O7,KIO3用直接法配制标准溶液，其他用间接法（标定法）配制标准溶液。 5.表示标准溶液浓度的方法有几种？各有何优缺点？ 答: 表示方法有两种：物质的量浓度、滴定度。 滴定度便于直接用滴定毫升数计算样品的含量。 6．基准物条件之一是要具有较大的摩尔质量，对这个条件如何理解？ 答: 因为分析天平的绝对误差是一定的，称量的质量较大，称量的相对误差就较小。 7.若将H2C2O4?2H2O基准物长期放在有硅胶的干燥器中，当用它标定NaOH溶液的浓度时，结果是偏低还是偏高？ 答：偏低。因为H2C2O4?2H2O会失去结晶水，导致称量的草酸比理论计算的多，多消耗NaOH溶液，使计算的NaOH溶液浓度偏低。 8．什么叫滴定度？滴定度与物质的量浓度如何换算？试举例说明。 答:滴定度是指与每毫升标准溶液相当的被测组分的质量或百分数。 换算公式：T（A/B）=a/b*C（B）*M（A）/1000 例求0.1000mol?L-1NaOH标准溶液对H2C2O4的滴定度. 解: H2C2O4 + 2NaOH = Na2C2O4 + 2H2O T（H2C2O4/NaOH）=1/2*C（NaOH）*M（H2C2O4）/1000 g/ml=1/2*0.1000*90/1000g/ml=0.004500 g/ml 习题 1.已知浓硝酸的相对密度1.42，其中含HNO3约为70.0%，求其浓度。欲配制1L 0.25 mol/L HNO3溶液，应取这种 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该 第三章习题 用一次、二次、三次多项式及最小二乘原理拟合这些数据，并写出正规方程组。 2323 X 2=x 1 , x 3=x 1 , x 1x 2=x 1 , x 1x 3=x 1 , x 2x 3=x 1 , x 2=x 1 , x 3=x 1 , ????????? ?? =+++=+++=+++=+++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=================-=91 91919191332 323213103919191919 1 2332222 12102919191919 1 1331221121019191919 1 33221109i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x a x a x x a x x a x y x a x x a x a x x a x y x a x x a x x a x a x y a x a x a x a ?????? ? =+=+=+=+2295 .63876.27656.25871.77656.275.34439.87656.275.3121.1875.3931203 120a a a a a a a a 解为：a 0=2.0001,a 1=2.2501 , a 2=0.03131 , a 3=0.002085 f 3(x)=2.0001+2.2501x+0.0313x 2+0.002085x 3 f 2(x)=2.0001+2.2516x+0.0313x 2 f 1(x)=2.0131+2.2516x 2答案：取y=y, x 1=x , 有y=a+bx 1 数值计算方法习题答案(第二版)(绪论) 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿 迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明： （1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2） 取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数） 则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。计算方法的课后答案
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