邳州市铁富高级中学高一年级
数学预学案
2010—2011学年
第一学期
模块：必修 4
章节：第一章三角函数
班级：
姓名：
10级高一数学备课组编印
目录
第一章三角函数
§1．1.1 任意角 1课时§1．1.2 弧度制 1课时§1．2.1 任意角的三角函数 2课时§1．2.2 同角三角函数关系 1课时§1．2.3 三角函数的诱导公式 2课时§1．3.1 三角函数的周期性 1课时§1．3.2 三角函数的图像与性质 3课时§1．3.3 函数y＝A sin(ωx＋ )的图像2课时§1．3.4 三角函数的应用 2课时
§1.1.1任意角（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1、理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角。
2、能在0
3600到的范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定为第几象限角。 3、能写出与任一已知角终边相同的角的集合。
高考要求：B 级 课前准备
（预习教材P5 ~ P7，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
1、角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ，它的 和 重合。这样，我们就把角的概念推广到了 ，包括 、 、 和 。
3、我们常在 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的 与 重合，角的 与 重合。那么，角的 落在第几象限，我们就说这个角是 。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角 。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个 。
二、小试身手、轻松过关
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A ．30°
B ．-30°
C ．630°
D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、在0 与360
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）o 58-（2）o 398
3、若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是 _____________ ．
§1.1.1任意角（作业）
完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、在0
与360
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）o 265-（2）'24560o
2、 若
3601575,k k Z α=?-∈
，试判断角α所在象限。
3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）
210-； （2）731484'-
．
4、10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=C
C ．A ?C
D ．A=B=C
二、【举一反三、能力拓展】
1．试写出终边在直线3y x =-上所有角的集合，并指出上述集合中介于180- 与180 之
间的角。
2、已知角α是第二象限角，求：（1）角
2
α
是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
§1.1.2弧度制（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1、使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数，
2、了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
3、掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题
高考要求：B 级 课前准备
（预习教材P7 ~ P9，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
1、角可以用 为单位进行度量，1度的角等于 。 叫做角度制。
角还可以用 为单位进行度量， 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
2、正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。如果半径为r 的圆心角所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 。 这里，α的正负由 决定。
3、180°＝ rad 1°＝ rad ≈ rad 1 rad ＝ °≈ ° 我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算。
4、角的概念推广后,在弧度制下, 与 之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即 )与它对应;反过来,每一个实数也都有 (即 )与它对应.
二、小试身手、轻松过关
5、将下列弧度转化为角度： （1）
12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6
13π
= °；
6、将下列角度转化为弧度：
（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 7、角α的终边落在区间（－3π,－5
2 π）内,则角α所在象限是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 8、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为 （ ）
A ．cm 3
π
B ．
cm 3
2
π
C ．cm 3
2π
D ．cm 3
22
π
§1.1.2弧度制（作业）
完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、将下列弧度转化为角度：
（1）12
5π
- （2）32
2、将下列角度转化为弧度：
（1）'3012o （2）o 355
3、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．
4、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积．
二、【举一反三、能力拓展】
1、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1） （2） （3）
2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B 等于（ ）
（A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤
（C ）{}|0ααπ≤≤
（D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤
3．圆的半径变为原来的
12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 4．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
§1.2.1任意角的三角函数（预学案1）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1.掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2. 掌握三角函数的值在各象限的符号。
高考要求：B 级 课前准备
（预习教材P11 ~ P12，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
1、在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么:
⑴ 叫做α的正弦,记作 , 即 . ⑵ 叫做α的余弦,记作 ,即 . ⑶ 叫做α的正切,记作 ,即 .
当α= 时, α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标等于 ,所以 无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 .
所以, 正弦、余弦、正切都是以 为自变量,以 为函数值的函数,我们将它们统称为 .
二、小试身手、轻松过关
1.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在第 象限。
2.已知角θ的终边在直线y =
3
3
x 上，则sin θ= ；θtan = ． 3.已知角θ的终边经过点（-3，4），求角θ的正弦、余弦和正切值。
§1.2.1任意角的三角函数（作业）
完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1．若θ是第三象限角，且02
cos
<θ
，则
2θ
是第 象限角。 2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m m
α，则sin α+cos α=______． 3.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．
二、【举一反三、能力拓展】
1．若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-
2.(1) 已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；
（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；
（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．
§1.2.1任意角的三角函数（预学案2）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1.会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切的函数值；
2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义认识其定义域。
高考要求：B 级 课前准备
（预习教材P13 ~ P14，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
1、在直角坐标系中， 叫做单位圆。
2、
叫做有向线段。
3、
sin α＝y ＝ ；cos α＝x ＝ ； tan α＝
x
y
= 。 3、根据任意角的三角函数定义，将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入上表
二、小试身手、轻松过关
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
⑴3π； ⑵56π； ⑶23π-； ⑷136π
-
§1.2.1任意角的三角函数（2）（作业）
三角函数 定 义 域
sin α cos α
tan α
完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1.角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为 。
2.若0<α<2π，且sin α<2
3 , cos α> 1
2 .利用三角函数线，得到α的取值范围
是 。
3.若－2π３
≤θ≤π
6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 。
二、【举一反三、能力拓展】
1.函数x x y cos sin -+=的定义域是 。
2.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合． ⑴ sin x ≥2
2；⑵ cos x ≤ 1
2 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．
§1.2.2同角三角函数关系（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1. 掌握同角三角函数的基本关系式2
2
sin sin cos 1,
tan cos ?
?+?==??
； 2. 灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。
高考要求：B 级 课前准备
（预习教材P16~ P17，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于 。 即 ; 。
二、小试身手、轻松过关
1.),0(,54
cos παα∈=
，则tan α的值等于 （ ）
A ．34
B ．43
C ．3
4±
D ． 4
3
±
2.若15tan =α，则=αcos
；=αsin
．
3.化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．
4.已知5
1
sin =
α，求ααtan ,cos 的值．
§1.2.2同角三角函数关系（作业）
完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 2
3 ,则这个三角形是 三角形。
2、已知sin αcos α = 1
8 ,则cos α－sin α的值等于
3、已知
2
1
cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x 的值是
4、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为
5、已知
2cos sin cos sin =-+α
αα
α，则ααcos sin 的值为 ．
6、已知5
24cos ,53sin +-=+-=m m
m m θθ，则m=_________；=αtan ． 【举一反三、能力拓展】
7、求证：1
tan 1
tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα．
8、已知5
1
cos sin =
+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；
（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．
§1.2.3三角函数的诱导公式（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1. 借助于单位圆，推到出诱导公式一、二、三、四，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题。
2. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。
高考要求：B 级
重点：理解并掌握诱导公式.
难点：诱导公式的应用（求三角函数值，化简三角函数式，证明三角恒等式）
课前准备
（预习教材P18 ~ P19，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、由三角函数的定义： 的角的同一三角函数的值相等。
由此得诱导公式一 ： ， ， 。 2、若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，试讨论角α与角β的对应三角函数值之间
的关系：
由此得诱导公式二： ， ， 。
3、若角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，试讨论角α与角β的对应三角函数值之间
的关系：
由此得诱导公式三： ， ， 。 4、若角α的终边与角β的终边关于原点对称，试讨论角α与角β的对应三角函数值之间的关系：
由此得诱导公式四： ， ， 。
二、小试身手、轻松过关
1、下列各式正确的有__________
1）sin （α＋180°）=－sin α 2）cos （－α＋β）=－cos （α－β） 3）sin （－α－360°）=－sin α 4）cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、利用公式一、二、三、四分别求1）、2）、3）、4）的值 1）0
390sin 2）)4
tan(π
-
3）0120sin 4）3
4cos
π
§1.2.3三角函数的诱导公式（作业）
课时：第一课时 完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、tan2010°的值为
2、??
?
??-
π619sin 的值为__________
3、对于诱导公式中的角α，下列说法错误的是__________
1）α一定是锐角 2）0≤α＜2π 3）α一定是正角 4）α是使公式有意义的任意角 4、若(),2,53
cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是__________
5、sin
34π
·cos 625π·tan 4
5π
的值是__________
6、化简1）)2cos()2sin(21++-ππ 2）)
(cos )5sin()4sin()
3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++
二、【举一反三、能力拓展】（选作）
1、已知
()()()()
29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan =
．
2、已知()4
13sin =+θπ， 求)
cos()cos()2cos()
2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+
-++的值．
§1.2.3三角函数的诱导公式（预学案）
课时：第二课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1. 借助于单位圆，推到出诱导公式五、六，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题。
2. 通过推导公式，进一步体会数形结合思想
高考要求：B 级 重点：理解并掌握诱导公式 难点：六组诱导公式的综合运用
课前准备 （预习教材P20~ P21，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
若角α的终边与角β的终边关于x y =对称，试讨论
1）角α与角β的关系 2）它们对应的正弦、余弦值之间的关系
由此得诱导公式五： ，
诱导公式六： ，
二、小试身手、轻松过关
1、利用公式五和公式六 将下列三角函数转化为锐角三角函数 1）0
151sin 2）5
3cos
π
2、已知sin(
4π+α)=2
3，则sin(43π-α)值为_________
§1.2.3三角函数的诱导公式（作业）
课时：第二课时 完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、cos(π+α)= —
21，2
3π
<α<π2,sin(π2-α) 值为_________ 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于________ 3、求值：cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π
7
4、若,3cos )(cos x x f =求)30(sin ?f 的值。
5、已知 3)tan(=+απ, 求)
2sin()cos(4)
sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．
二、【举一反三、能力拓展】（选作）
1、若cos α＝23
，α是第四象限角，求
sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)
απαπαππαπααπ-+-------- 的值．
2、已知αtan 、
αtan 1是关于x 的方程032
2=-+-k kx x 的两实根，且,2
73παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值.
§1.3.1三角函数的周期性
课时：一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1. 了解周期函数的概念
2. 会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期
高考要求：B 级 重点：理解周期函数的概念
课前准备 （预习教材P24~ P25，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现
1、一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个_________ 的常数T ，使得定义域内的
____________x 值，都满足__________________
那么函数)(x f 就叫做周期函数， ____________________叫这个函数的周期. 2、什么叫做函数)(x f 的最小正周期？
3、正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是__________，最小正周期是________
4、函数)cos()sin(?ω?ω+=+=x A y x A y 或的周期与解析式中的_______无关， 其周期为___________
二、小试身手、轻松过关
1.正弦函数inx s 3y = 的周期是_________________________
2.正弦函数x sin 3y +=的周期是_________________________.
3.余弦函数osx c 6y +=的周期是_________________________.
4.余弦函数osx c 10y = 的周期是_________________________. 思考：函数3)(=x g 是周期函数吗？
§1.3.1三角函数的周期性（作业）
课时：第一课时 完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、函数)6
21sin(
π
-=x y 的周期是___________ 2、)0)(4sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期是32π
，则ω=___________
3、若函数)(x f 是以2π为周期的函数，而且==)6
17(
,1)3(π
πf f 则___________ 4、判断下列函数是不是周期函数，若是，请指出它们的周期是多少？若不是，说明理由。
1）x x f sin )(= 2）x x f sin )(= 3）x x f cos )(= 4）x x f cos )(=
二、【举一反三、能力拓展】（选作）
1、x x x f cos sin )(+=是周期函数吗？
若是，请指出它们的周期是多少？若不是，说明理由。
2、已知定义域为R 的奇函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，当）时，，（01-∈x
5
1
2)(+
=x x f ，求)20(log 2f 的值。
【感悟反思】
要正确理解周期函数的定义，定义中的“定义域内的每一个x ”特别重要的是“每一个x ”，如果函数)(x f 不是当x 取定义域内的每一个值，都有)()(x f T x f =+，那么T 就不是)(x f 的周期，如：虽然4
sin
)2
4
sin(
π
π
π
=+
，但是
2
π
不是函数x y sin =的周期。
§1.3.2三角函数的图像和性质（1）（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日 学习目标
1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；
2.记住正弦、余弦函数的图像特征和性质；
高考要求：B 级
重点：正弦、余弦函数的图像特征和性质 难点：几何法作正弦曲线。 课前准备 （预习教材P26 ~ P29，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、怎样作出三角函数sin y x =的图像？
○
1利用单位圆中正弦线作正弦函数图象（几何作法） 首先，作坐标为()00sin ,x x 的点S ，不妨设00>x ，如图教材P26图1-3-2所示，在单位圆中设弧AP 的长为0x （自变量∠AO ′P=0x ），则0sin x MP =。所以点S ()00sin ,x x 是以 为横坐标， 为纵坐标的点。
同样，可以做出函数sin y x =图像上一系列点， 作出单位圆中0,
,,,,2632
πππ
π 的角
及 ；把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向 ，使正弦线的 与x 轴上的点x 重合；
最后，用光滑曲线把这些正弦线的 连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。
○2“五点法”作图：
函数sin y x =，[0,2]x π∈的图像上起关键作用； 自变量x 0 2
π
π 32π 2π
函数值
y
只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。正弦函数的图像叫做 。
2、余弦函数的图象
由于cos cos()sin[()]sin()2
2
y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =，x R ∈
与函数sin()2
y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线
向左平移2
π个单位得到。
§1.3.2三角函数的图像和性质（1）（作业）
32
π
2
π
π
2π
课时：第一课时 完成时间： 年 月 日
一、【基础训练、锋芒初显】 1、求下列函数的定义域：
（1）sin 2y x =； （2）cos()3y x π
=+；
（3）sin y x =； （4）1
sin 1
y x =+；
2、函数x y sin 2+=的值域是
3、函数x
y sin 22
+=
的值域是
4、用“五点法”画出函数)6
sin(π
+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图，并指出它和
正弦函数x y sin =的图像的关系。
5、求函数)6
53
(cos π
π
≤
≤-=x x y 的值域。
二、【举一反三、能力拓展】（选作）
1、函数1sin 2+-=x y 的最大值为 ，取得最大值时对应的=x ，最小值为 ，取得最小值时对应的=x 。
2、求函数2sin 2cos 2
-+=x x y 的值域。
§1.3.2三角函数的图像和性质（2）（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月 日
高中数学吧必修２第四章知识点总结 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：2 22() ()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆2 22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220 0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022 =++++F Ey Dx y x 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用
高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;
§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的． 1 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合；
高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >） ，那么 1、比值 y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。
初高中衔接： 和平方：))((2 2 b a b a b a -+=- 和、差平方： 2 2 2 2)(b ab a b a +±=± 立方和、立方差：))((2 2 3 3 b ab a b a b a +±=±μ 和、差立方：2 2 3 3 3 33)(ab b a b a b a +±±=± ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++;ac bc ab c b a c b a 222)(2222-+-++=-- ac bc ab c b a c b a 222)(2222--+++=-+;ac bc ab c b a c b a 222)(2222+--++=+- 韦达定理：设?? ??? = -=+=++a c x x a b x x c bx x x 21212210ax 的两根，那么为和 必修一： 1 23412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 恒成立问题： 00)0(0ax ;00)0(0ax 22<<≠<++<>≠>++且△上成立的条件为在且△上恒成立的条件在a R a c bx a R a c bx 指数函数： ???<-≥===00n a a a a a a n a a n n n n ，，为偶数时：；当为奇数时：当；??? ?? ?? ==-m n m n m n m n a a a a 1)10*>∈>m N n m a ，且、，（ )00()()0()()0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+；，；、，；、， 对勾函数单调区间公式：对勾函数基本形式：x p x y +=，在),0()0,(+∞?-∞上??????-+∞?--∞)00(),(),(p p p p ，（），单调递减： 单调递增：
一、柱、台、锥、球的结构特征 二、柱体、锥体、台体、球体的表面积、体积 1、面积公式 2、体积公式 球体的表面积与体积 S4πR2 V=4/3πR3 =
习题： 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）. A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2．下列说法中正确的是（）. A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半 3．下列说法错误的是（）. A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B. 九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形 C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D. 三棱柱的侧面为三角形 4．下列说法正确的是（） A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 5.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（）. A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆锥 6.下图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是（） A. 圆锥，圆柱 B. 圆柱，圆锥 C. 圆柱，圆柱 D. 圆锥，圆锥 7.下图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为_________，圆锥母线长为______. 8.下列说法正确的是（）. A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 C.两个全等三角形的直观图一定也全等 D.两个图形的直观图是全等三角形，则这两个图形一定是全等三角形 9.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）. A. 3 B. 6 C. 3232 2 10.用长为4，宽为2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）. 11.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1 和 V2 ，则 V1 : V2 =（）. A. 1: 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 12.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2 的正三 角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）.
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案（2套） 单元测试题一 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 ） A ．()8,9 B ．()9,10 C ．()12,13 D ．()14,15 2．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )·f (b )＜0，()02a b f a f +?? ?> ???．则（ ） A ．f (x )在,2a b a +?? ???? 上有零点 B ．f (x )在,2a b b +?? ???? 上有零点 C ．f (x )在,2a b a +?? ????上无零点 D ．f (x )在,2a b b +?? ???? 上无零点 3．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表： 则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1 D ．y 1，y 3，y 2 4．下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是（ ）
5．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2014)<0，f(2015)<0，f(2016)>0，
则下列叙述正确的是（ ） A ．函数f (x )在(2014,2015)内不存在零点 B ．函数f (x )在(2015,2016)内不存在零点 C ．函数f (x )在(2015,2016)内存在零点，并且仅有一个 D ．函数f (x )在(2014,2015)内可能存在零点 6．已知x 0是函数()1 21x f x x =+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞， 则（ ） A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 7．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表： A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞) 8．某研究小组在一项实验中获得一组关系y 、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系（ ） A ．y ＝2t B ．y ＝2t 2 C ．y ＝t 3 D ．y ＝log 2t 9．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．无法判断