二次根式
1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做
a 的算术平方根。
2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如
3、 分母≠0
4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0）
一、 二次根式的概念
一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数
为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2
5 可以写作 5 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意
义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分
数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23
2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ；
（4）3-8 ； （5）x 2+2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 12 ）
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？
（1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1
二、二次根式的性质：
练习：计算（1）（
35 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18
）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：
三、代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连
接起来的式子叫代数式。例：3，x ，x+y ，3x （x ≥0），-ab ，s t
（t ≠0，x 3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）
（1） 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不
等式都是关系式。如2x+3＞3x-5是关系式。
练习：下列式子：①0；②π2
③2+x=4；④x-23 ＞1；⑤2a+3b ；⑥2-x (x ≤2)，其中是代数式的有（ ）
列代数式的常用方法：
（1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2） 公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
练习：列代数式
（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）
典型例题剖析
题型一：二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列各式在实数围有意义？
（1）x+5-3-2x；（2）2x-1
1-x
；（3）x-3+3+x
题型二：利用二次根式的非负性化简求值
已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用
已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用a2 =｜a｜并结合数轴化简求值
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2
题型五：a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用
在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简（a-b+c）2-2｜c-a-b｜
题型六：逆用（ a ）2 = a（a≥0）在实数围分解因式
在实数围分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4
二次根式的乘除
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
一、 二次根式的乘法法则
a ．
b =ab （a ≥0，b ≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
（1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件。
（2） 推广① a ． b ． c =abc （a ≥0，b ≥0，c ≥0）②a b ．c d =ac bd ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习：（1）28 ．7 ；（2）
14 ．256 ；（3）4xy ．1y
(4)627 ．（-2 3 ） 二、二次根式乘法法则的逆用
ab = a ． b （a ≥0，b ≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：（1）公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0，实际上，公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可，如（-4）×（-9） ≠-4 ．-9 。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。 推广：abcd = a ． b ． c ． d （a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0）
练习：化简 （1）300 ； （2）（-14）×（-112） ；
（3）200a 5b 4c 3 ； （4）132-122 ； （5）16x 4+32x 2
三、二次根式的除法法则 a b =a b （a ≥0，b ＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。若a ，b 都是负数，虽然a b
＞0，a b 有意义，但 a ， b 在实数围无意义；若b=0，则a b
无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如414 必须先化成174
，以
免出现414 = 4 ×14
这样的错误。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 推广：（m a ）÷（n b ）=（m ÷n ）×（ a ÷ b ），其中a ≥0，b ＞0，n ≠0。 练习：计算（1）48 ÷ 6 ； （2）-27 ÷（310 38 ）； （3）a 4b
4a 3b ÷（-a 4b ； （4）72a 2b 6b 四、二次根式除法法则的逆用
a b = a b
（a ≥0，b ＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ＞0。公式中的
a ，
b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要a b
≥0即可。例如计算-3-4 ，不能写为-3-4 =-3 -4 ，而应写为-3-4 =34 = 3 4 = 3 2 。 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 a b
（a ≥0，b ＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。
练习：化简（1）549 ； （2）81×125144 ； （3）121b 516a 2
五、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。★化简二次根式的一般方法
（1）0.3 ；（2）2
5
xy ；（3）
y
x
；（4）
x
3
；（5）a3+6a2+9a ；（6）2（x2-y2）；（7）32n ；（8）
2
3
拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子
和分母都乘上分母的有理化因式
．．．．．（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；a b+c d与a b-c d等。
练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）240；（2）1.25；（3）17
20
；（4）75a2b
典型例题剖析
题型一：二次根式乘除法法则成立的条件
（1）若x+3．x-3=（x+3）（x-3）成立，则（）
A、x≥3
B、x≥-3
C、-3≤x≤3
D、x为任意实数
（2）如果
x
x-6
=
x
x-6
成立，那么（）
A、x≥6
B、0≤x≤6
C、x≥0
D、x＞6 题型二：二次根式的化简
化简：（1）12ab ．9a 3
4
； （2）412-402； （3）x 4+x 2 题型三：二次根式的乘法混合运算
计算：（1）212÷328×（-5227）；（2）2a 2-b 26a ×a 3a+6b ÷（45a-b b ） 题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号
把下列各式中根号外的因数（式）移到根号： （1）535；（2）-32；（3）-2a 12a ；（4）-a - 1a ；（5）x y x
（x ＜0，y ＜0） 题型五：二次根式的大小比较
比较大小：（1）72与311； （2）-211与-3 5
二次根式的加减
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab 与-4ab
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2
5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn
一、可以合并的二次根式
★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ） a
练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。
（1）27；（2）-15 27a ；（3）13；（4）2a 3b （a ＞0，b ＞0）；（5）b 127a 3
；
（6）2243； （7）
329ab （a ＞0，b ＞0）； （8）332ab
（a ＞0，b ＞0）； 二、二次根式的加减 ★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。
★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：
注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。
练习：计算：（1）23
9x+6x 4 - 2x 1x ；（2）（24-0.5+223）-（18
- 6） 二、二次根式的混合运算
★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。
★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
练习：计算（1）3（6+8）； （2）（43-36）÷23； （3）（6+2）（6-3）
（4）（5+7）（5-7）； （5）（5+2）2； （6）（23-2）2；
典型例题剖析
题型一：二次根式的化简求值问题
已知a=1
5-2，b=1
5+2，求a 2+b 2+2
题型二：巧解二次根式的混合运算题
计算：（1）（23-18）（12+32）；（2）（3-1）2+（3+2）2-2（3-1）
（3+2） （3）（2+3-5）2-（2-3+5）2；（4）a a-a b a-ab - a-b
a+b