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集合
题型1：集合的概念，集合的表示 1．下列各项中，不可以组成集合的是（）
A ．所有的正数
B ．等于2的数
C ．接近于0的数
D ．不等于0的偶数
2．下列四个集合中，是空集的是（）
A ．}33|{=+x x
B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=
C ．}0|{2≤x x
D ．},01|{2R x x x x ∈=+-
3．下列表示图形中的阴影部分的是（）
A ．()()A C
B C
B ．()()A B A C
C ．()()A B B C
D ．()A B C
4．下面有四个命题：
（1）集合N 中最小的数是1；
（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；
（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；
（4）x x 212=+的解可表示为{
}1,1； 其中正确命题的个数为（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
题型2：集合的运算
例1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（D ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．1或1-或0
例2.已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。 解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ?，即2m <；
当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ?，即2m =；
当121m m +<-，即2m >时，由B A ?，得12215m m +≥-??-≤?
即23m <≤； ∴3≤m
变式：
1．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,
如果A B B =，求实数a 的取值范围。
2．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=
A B C
满足,A B φ≠，,A C φ=求实数a 的值。
3．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；
若φ=B A C U )(，求m 的值。
2.函数
题型1.函数的概念和解析式
例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3
)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(，2)(x x g =；
⑷()f x =
()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵
B ．⑵、⑶
C ．⑷
D ．⑶、⑸
例2．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
，若()3f x =，则x 的值是（）
A ．1
B ．1或32
C ．1，32
或
例3．已知2211()11x x f x x
--=++，则()f x 的解析式为（） A ．
21x x +B ．212x x +-C ．212x x +D ．21x
x +- 变式： 1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（）
A ．21x +
B ．21x -
C ．23x -
D ．27x +
2．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x
x x g f x x g ，那么)21(f 等于（） A ．15B ．1C ．3D ．30
3．12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，
又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域。
4．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π?->?==??
，则((0))f f =．
题型2定义域和值域
例1．
函数0
y =____________ 例2x +)1定义域是[]-23，，则y f x =-()
21的定义域是（） []052，[]-14，[]-55，[]-37，例3 （1
）函数2y =
A ．[2,2]-
B ．[1,2]
C ．[0,2]D
．[
（2）函数222(03)()6(20)
x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（） A ．R B ．[)9,-+∞C ．[]8,1-D ．[]9,1-
例4
若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4
--，，则m 的取值范围是（） A ．(]4,0B ．3[]2
，4 C ．3[3]2，D ．3[2
+∞，） 变式：
1．求下列函数的定义域
（1
）y =（2）11122--+-=
x x x y （3）x x y ---
=1
1111
2．求下列函数的值域
（1）x x y -+=43（2）34252+-=x x y （3）x x y --=21 3．利用判别式方法求函数1
32222+-+-=x x x x y 的值域。 题型3函数的基本性质
一．函数的单调性与最值
例1．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-.
①当1a =-时，求函数的最大值和最小值；
②求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。
变式：
1．若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是。
2．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，
则a 的范围是（）
2a ≤-.2a ≥-
6-≥a .6-≤a
二。函数的奇偶性
例题1：.已知函
数是奇函数，则常数=a 解法一： f(x)是奇函数，定义域为R
∴f(0)=0即01410=++a ∴
=a 21- 例题2：.已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为[]a a 2,1-， 则=)0(f (C)
3．已知2)(35++-=bx ax x x f ,且17)5(=-f ，则)5(f 的值为(A) 例题A ．－13B ．13C ．－19D ．19
练习．
已知53()5(,,)f x ax bx cx a b c =+++是常数，且(5)9f =，则(5)f -的值为1．
（2）已知)(x f 为R 上的奇函数，且0>x 时2()241f x x x =-++，则(1)f -=____3-__ 例题5：若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意R x x ∈21,,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ， 下列说法一定正确的是（C ）
A 、)(x f 是奇函数
B 、)(x f 是偶函数
C )(x f +1是奇函数
D 、)(x f +1是偶函数
练习：已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+， 求证：（1）函数()y f x =是奇函数．（2）函数是减函数
证明：由)0()()(),()()()()()(f x f x f x f x f x x f b f a f b a f =-+-+=-+=+即得 是奇函数函数即得令)()()(0)0(),0()0()00(0x f y x f x f f f f f b a =∴-=-∴=+=+==函数的单调性
证明函数单调性的步骤：
第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1 第二步：计算f (x 1)－f (x 2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论. 例题2.函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （）. A ．2b ≥- B ．2b ≤- 141)(++=x a x f 3132 C ．2b >- D ．2b <- 练习： （1）若函数1)12(2+-+=x a x y 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是(B) A ．[－2 3，+∞） B ．（－∞，－23] C ．[25，+∞）D ．（－∞，25] （2）函数2()2f x x x =-的单调增区间是（） (,1]-∞[1,)+∞不存在 （3）在区间(,0)-∞上为增函数的是（） A ．2y x =- B ．2y x = C ．||y x = D ．2y x =- 例题：已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<.求实数a 的取值范围. 练习(07福建)已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f ? ??的实数x 的取值范围是 （C ） ()1,1-.()1,0 ()()1,00,1 -.()()+∞-∞-,11, 函数的单调性 例题1．已知定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不 等式()0x f x ?>的解集为．() ()1,01,-+∞ 练习： （1）已知定义在R 上的偶函数()f x 在(]0,∝-上是减函数，若0)21(=f ，则不等0)(log 4>x f 的解集是),2()2 1,0(+∞ （2）设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（D ） A 、{}|303x x x -<<>或 B 、{}|303x x x <-<<或 C 、{}|33x x x <->或 D 、{}|3003x x x -<<<<或 练习：已知函数22()3px f x q x +=-是奇函数，且5(2)3 f =-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并加以证明． 解：（1）∵()f x 是奇函数，∴)x (f )x (f -=-，………2分 即x 3q 2px x 3q 2px 22-+-=++，整理得：x 3q x 3q +-=+∴q=0………4分 又∵3 5)2(f -=，∴3 562p 4)2(f -=-+=，解得p=2…………6分 ∴所求解析式为x 32x 2)x (f 2-+=…………………………………………7分 （2）由（1）可得x 32x 2)x (f 2-+==)x 1x (32+-， 设1021<< =- =2121212121212112x x x x 1)x x (32)1x x 1)(x x (32]x x x x )x x [(32 -?-=--=-+-………13分 因此，当1x x 021≤<<时，1x x 021<<， 从而得到0)x (f )x (f 21<-即，)x (f )x (f 21< ∴()f x 在(0,1)上递增．………………………15分
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