数论问题的常用方法
数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法.
1.基本原理
为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下：
我们用),...,,(21n a a a 表示n 个整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数。用[1a ,2a ,…,n a ]表示
1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数。对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，用{x }=x -[x ]
表示x 的小数部分。对于整数b a ,,若)(|b a m -，,1≥m 则称b a ,关于模m 同余，记为
)(mod m b a ≡。对于正整数m ，用)(m ?表示{1，2，…，m }中与m 互质的整数的个数，
并称)(m ?为欧拉函数。对于正整数m ，若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余，则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质，且其中任何两个数关于模m 不同余，则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系。
定理1 设b a ,的最大公约数为d ，则存在整数y x ,，使得
yb xa d +=.
定理2 （1）若)(mod m b a i i ≡，1=i ，2，…，n ，)(mod 21m x x =，则
1
1n
i i i a x =∑≡2
1
n
i i
i b x
=∑；
（2）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，m d |，则
)(mod d
m d b d a ≡； （3）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，且1),(=m d ，则)(mod m d
b
d a ≡；
（4）若b a ≡（i m mod ），n i ,...,2,1=，M=[n m m m ,...,,21]，则b a ≡（M mod ）. 定理3 （1）1][][1+<≤<-x x x x ； （2）][][][y x y x +≥+；
（3）设p 为素数，则在!n 质因数分解中，p 的指数为
∑
≥1
k k
p n
.
定理4 （1）若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系，1),(=m a ，则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模m 的完全剩余系；
（2）若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系，1),(=m a ，则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系.
定理5（1）若1),(=n m ，则)()()(n m mn ???=.
(2) 若n 的标准分解式为k k p p p n α
αα (2)
121=，其中k ααα,...,21为正整数，k p p p , (21)
互不相同的素数，则
)1
1)...(11)(11()(21k
p p p n n ---
=?. 对于以上结论的证明，有兴趣的读者可查阅初等数论教材.
2 方法解读
对于数论试题，除直接运用数论的基本原理外，常用的基本方法还有因式（因数）分解法，配对法，分组法，估值法，同余方法，构造法，调整法，数学归纳法与反证法.下面分别予以说明
2.1基本原理的应用
例1 设正整数a ，b ，c 的最大公约数为1，并且
c b
a ab
=-（1） 证明：)(b a -是一个完全平方数.
证 设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中1),(11=b a .由于1),,(=c b a ，故有1),(=c d .由（1）得
c b c a
d b a 1111-=（2）
由（2）知，c b a 11|，又1),(11=b a ，∴ c a |1.同理可证c b |1，从而有c b a |11，设
k b a c 11=，k 为正整数，代入（2）得
)(11b a k d -= （3）
由（3）知d k |，又c k |，∴1),(|=c d k ，∴1=k . ∴11b a d -=.
∴2
11)(d b a d b a =-=-. 故)(b a -是一个完全平方数.
例2 设n 为大于1的奇数，1k ，2k ，…，n k 为给定的n 个整数.对于{n ,...,2,1}的任一排列12(,,...,)n P a a a =，记1
()n
i i i s P k a ==∑，试证存在{n ,...,2,1}的两个不同的排列
B 、
C ，使得)()(!|C s B s n -.
证 假设对于任意两个不同的排列B 、C ，均有!n 不整除)()(C S B s -.令X 为{n ,...,2,1}的所有排列构成的集合，则{()|s P P X ∈}为模!n 的一个完全剩余系，从而有
!
1
(1!)!
()(mod !)2
n P X
i n n s P i n ∈=+≡=
∑∑ （1） 又 1()()n
i i P X P X i s P k a ∈∈==∑∑∑=∑=+n
i i k n n 1
2)1(! （2） 而n 为大于1的奇数，所以由（1），（2）得
)!(m o d 02)1(!2!)!1(1
n k n n n n n i i ≡+≡+∑=. 又1)!,!1(=+n n ，所以
)!(mod 02
!
n n ≡，矛盾. 这个矛盾表明必存在B 、C X ∈，B ≠C ，使得)()(!|C s B s n -.
2.2 因式（数）分解
数论中许多问题直接与因式（数）分解相关联，如合数问题，整除问题等常常是要证明某种分解式的存在.数的标准分解式本身就是一种特定形式的因数分解.在不定方程的求解与一些代数式的求值中，因式（数）分解能帮助我们确定某些变量的取值范围，寻找到解题的方法.
例2 求三个素数，使得它们的积为和的5倍.
解 采用分析中的记号，易知a ，b ，c 中必有一个为5，不妨设5c =，则有 5++=b a ab ， 从而有6)1)(1(=--b a .
因为1-a 与1-b 均为正整数，不妨设b a <，则有
??
?=-=-611
1b a 或 ?
?
?=-=-312
1b a ， 从而知2=a ，7=b .故所求的三个素数为2，5，7.
2.3配对
例4 设k 为正奇数，证明：n ++++...321整除k
k
k
n +++...21. 分析 因为2
)
1(...321+=
++++n n n .故需证)...21(2|)1(k k k n n n ++++，注意到当k 为奇数时，k k y x +可因式分解，因此可将)...21(2k k k n +++中的n 2个数两两配对. 证 )...21(2k k k n +++
=k k k k k k k n n n n 2]1)1[(...])2(2[])1(1[++-++-++-+，
而当k 为奇数时，k k b a b a ++|，从而知
()
k k k n n +++...212| （1） 又 ()
k k k n +++...212=]1[...])1(2[]1[k k k k k k n n n +++-+++， ∴)...21(2|)1(k k k n n ++++ （2） 由（1）（2）知，)...21(2|)1(k k k n n n ++++，故结论成立.
2.4 分组
例5 （1990年高中联赛试题）设}200,...,2,1{=E ，},...,,{10021a a a G =E ?，且G 具有下列性质：
（1） 对任何1001≤<≤j i ，201≠+j i a a ； （2）
10080100
1
=∑=i i
a
.
试证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数的平方和是一定数.
证 对于1001≤≤i ，令12-=i i α，i i αβ-=201.},{i i i E βα=，则G 中恰含i E 中的一个元素.
设G 中有k 个奇数1i α，2i α，…，k i α，有s 个偶数
s
j j j βββ,...,,2
1
，这里
},...,,,,...,,{2121s k j j j i i i =}100,...,2,1{
.由题设知， 10080=
∑∑∑∑====+-=+s
r j k
t i s
r j k
t i r t r
t
1111
)201(βββα
=∑∑==-k
t i k
t t 112201β+???
??+∑∑==k t s
r j i r t 11ββ =-k 2012
∑=k
t i t
1
β
+)200...642(++++
=101002
2011
+-∑=k
t i t
k β
.
∴ （1）
由于t i β为偶数，所以∑=k
t i t
1
2|4β
，又20|4，所以k 201|4，∴k |4，即k 是4的倍数.
∑∑∑===+=s
r j k t i i i
r
t
a
1
21
2100
12
β
α=
∑∑==+-s
r j k
t i r
t
1
21
2
)201(β
β
=
∑∑==?-k
t i k
t t
1
1
2
2012201
β+
)(1
21
2∑∑==+s
r j k
t i r
t
ββ=∑=?-k
t i t k 1
2
2012201β+)200...642(2222++++
=)2
201(2011
∑=-k
t i t
k β+6
)
1200)(1100(1004++?
（2）
将（1）代入（2）得
6
201
1011004)20(201100
1
2???
+-?=∑=i i a =1349380.
2.5估值
例6 令n a 表示前n 个质数之和，即21=a ，5322=+=a ,105323=++=a ,…,证明：对任意的正整数n ，区间[1,+n n a a ]中包含有一个完全平方数.
分析 设质数从小到大依次为12,,...,k p p p …，要结论成立，只要存在正整数m ，使得
12+≤≤n n a m a ， 只要 1+≤≤n n a m a ， 只要
11≥-+n n a a ，
只要 n n n a a a 211+≥-+， 只要 n n a p 211+≥+ 只要 （1）
1
201220
t k
i t k β=-=-∑
2112(1)44(...)
n n k p a p p p +-≥=+++
证 直接验证易知[2,1,a a ]，[32,a a ]，[43,a a ]，[54,a a ]中都含有1个完全平方数.当
5≥n 时，我们证明（1）式成立.为此，令
2
112(1)(1)4(...)
n k f n p p p p ++=-
-
+++， 则n n n p p p n f n f 4)1()1()()1(221----=-++=n n n n n p p p p p 4)2)((11--+-++. 因为当2≥n 时，n p 为奇数，所以21≥-+n n p p ，
1(1)()2(22)n n n f n f n p p p ++-≥+--=)2(21--+n n p p 0≥， 故当2≥n 时，数列)(n f 为递增数列.由于
)(4)1()5(432125p p p p p f +++--==)7532(4)111(2
+++--=32>0 所以当5≥n 时，0)5()(>≥f n f .故当5≥n 时（1）式成立.
例7 求出不定方程
1)!1(-=-k n n （1）
的全部正整数解.
解 当2=n 时，易得1=k ；当2>n 时，（1）式左边为偶数，故右边也是偶数，所以n 为奇数.当3=n 时，由
13!2-=k ，
得1=k .当5=n 时，由 15!4-=k
， 得2=k .
当5>n 且为奇数时，
321-<-n n ，221≠-n ，故)!2(|2
1
2--?n n ，即)!2(|)1(--n n ，因此2(1)|(1)!n n --，所以)1(|)1(2--k n n .
另一方面，由二项式定理知
1)1)1((1-+-=-k k n n =A （2)1-n +)1(-n k .
其中A 为整数，所以)1(|)1(2
--n k n ，故k n |)1(-， 因此1-≥n k ，从而有 )!1(111
->-≥--n n
n n k
.
这说明当5>n 时，方程（1）无解，故方程（1）的解为)1,2(),(=k n ，)1,3(，)2,5(
2.6同余
例8 证明991993
991993+能被1984整除.
证 993993993)991(-≡=9912)991()991(-- =)1984(mod )991()991)(11984495(991991-≡-+?，
∴)1984(mod 0991)991(991993991991991993≡+-≡+. ∴991993991993|1984+.
例9 用数码1，2，3，4，5，6，7 排成7位数，每个数码恰用一次，证明：这些7位
数中没有一个是另一个的倍数. 证 若有两个7位数a ，b ，使得
kb a = （1） 由于a ，b 均是由1，2，...,7所排成，故72≤≤k 由（1）得
)9(mod kb a ≡，
∴)9(mod 11?≡k ，即)9(mod 1≡k ，这与92≤≤k 矛盾，故结论成立.
2.7构造
例10 若一个正整数的标准分解中，每个素约数的幂次都大于1，则称它为幂数，证明：存在无穷多个互不相同的正整数，它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.
证 将全体素数从小到大依次记为1p ，2p ，...，n p ，….
令11p a =，22
12p p a =，当2≥n 时，
n n n n n n p p p p p p a a 2
1222111...---==，
下证 1a ，2a ，…，n a ，…满足要求.
事实上， n n a p |，但2
n p |/
n a ，所以n a 不是幂数.又对于k i i i <<<≤ 211， )1(1
1
2121i i i i i i i i a a a a a a a a k k +
++
=+++ =)1(11i i Ap a +=)1(11121
2
221i i i Ap p p p p +- ， 其中A 为正整数.因为1)1,(11=+i i Ap p ，所以1i p 在)(21k i i i a a a +++ 的标准分解中的幂次为1，因而不是幂数.
例11 设}2011,,3,2,1{ 中质数的个数为a ，n 为正整数且a n ≤<1，求证必有2011个连续正整数，其中恰有n 个质数.
证 令}2010,,2,1,{+++=k k k k A k ，并令)(k f 为k A 中质数的个数，则易知
a f =)1(，0)2!2012(=+f . 对于)1!2012(,,2,1+= k ，显然有
1|)()1(|≤-+k f k f ， 所以对于a n ≤<0，必存在一个0k ，使得 n k f =)(0，
从而0k A 中的2011个连续整数满足要求.
2.9 数学归纳法
例12 设n 是正整数，求证：124323|51222-+-n n n .
证 令22()332241n f n n n =-+-.因为0)1(=f ，所以)1(|512f ，假设
)(|512n f ，那么对于1+n ，因为
)183
(8)()1(2--=-+n n f n f n
，
所以要证)1(|512+n f ，只需证)183(8|5122--n n
，
即只需证明)183
(|642--n n
.为此，令183)(2--=n n g n .显然有0)1(|64=g ，假设
)(|64n g ，由于
)199
(64)19(8)()1(21
+++=-=-+-- n n n
n g n g ，
∴)1(|64+n g ，由归纳法原理知对一切n ，有183|642--n n
，从而有)1(|512+n f ，
再由归纳法原理知，对于正整数n ，有)(|512n f .
2.10反证法
例13 试证方程042333=--z y x （1） 无正整数解.
分析 若（z y x ,,）为（1）的一组解，则x 为偶数，令12x x =，则有
024333
1=--z y x ，
从而知y 为偶数，再令12y y =，代入上式得
04233
131=--z y x ，
从而知z 为偶数，再令12z z =，代入上式得
042313131=--z y x ，
因此),,(111z y x 也是方程（1）的解.这样由方程（1）的一组正整数解),,(z y x 必可得到另一组正整数解),,(111z y x ，且x x <1.因此，若开始取得的正整数解使得x 达到最小，则这种下降不可能进行.
证 反证法. 若方程（1）存在正整数解，设),,(000z y x 是使得x 达到最小的正整数解，那么依分析的过程知必可得到方程（1）的一组正整数解),,(111z y x ，且01x x <，这与0x 达到最小相矛盾，这个矛盾表明方程（1）无正整数解.
注：本题中分析的方法称为无穷递降法
习 题
1．设1≥≥n m ，m ，n 为整数，证明n
m C m
n m ),(是整数.
2．设a ，b 为整数，证明：
))1(()2)((|)!(1b n a b a b a a b n n -+++- .
3.设n 是大于3的奇数，证明可将集合}1,,3,2,1{-n 的元素分成两组，每组2
1
-n 个元素，使得两组数的和模n 同余.
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
常用的8种数字滤波算法 摘要：分析了采用数字滤波消除随机干扰的优点，详细论述了微机控制系统中常用的8种数字滤波算法，并讨论了各种数字滤波算法的适用范围。 关键词：数字滤波；控制系统；随机干扰；数字滤波算法 1 引言 在微机控制系统的模拟输入信号中，一般均含有各种噪声和干扰，他们来自被测信号源本身、传感器、外界干扰等。为了进行准确测量和控制，必须消除被测信号中的噪声和干扰。噪声有2大类：一类为周期性的，其典型代表为50 Hz 的工频干扰，对于这类信号，采用积分时间等于20 ms整倍数的双积分A/D转换器，可有效地消除其影响；另一类为非周期的不规则随机信号，对于随机干扰，可以用数字滤波方法予以削弱或滤除。所谓数字滤波，就是通过一定的计算或判断程序减少干扰信号在有用信号中的比重，因此他实际上是一个程序滤波。 数字滤波器克服了模拟滤波器的许多不足，他与模拟滤波器相比有以下优点： (1)数字滤波器是用软件实现的，不需要增加硬设备，因而可靠性高、稳定性好，不存在阻抗匹配问题。 (2)模拟滤波器通常是各通道专用，而数字滤波器则可多通道共享，从而降低了成本。 (3)数字滤波器可以对频率很低(如0.01 Hz)的信号进行滤波，而模拟滤波器由于受电容容量的限制，频率不可能太低。 (4)数字滤波器可以根据信号的不同，采用不同的滤波方法或滤波参数，具有灵活、方便、功能强的特点。 2 常用数字滤波算法 数字滤波器是将一组输入数字序列进行一定的运算而转换成另一组输出数字序列的装置。设数字滤波器的输入为X(n)，输出为Y(n)，则输入序列和输出序列之间的关系可用差分方程式表示为： 其中：输入信号X(n)可以是模拟信号经采样和A/D变换后得到的数字序列，也
穷举用技巧 【例1】 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是。 【例2】 如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。 【例3】 黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。 ⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ ⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ 【例4】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
测试题 【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。 【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 答案： 【例1】【分析】 由于30235=??，从质数的观点看整除，如果自然数N 能被30整除，那么自然数N 至少含有三个质因数2，3，5。设：312235r r r N =???。自然数N 恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：12311130235r r r +?+?+?==??（）（）（）。注意 到235??是三个约数之积，由此可知自然数N 中质因数的个数恰好有3个。因此 123111235r r r +?+?+=??（）（）（），由此可知123r r r （，，）必是 124（， ， ）的一个排列。 综上所述，所求的自然数有：24235??，42235??，24235??，42235??，42235??，24235??。 【例2】【分析】 6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下： 222222222222222232527211213217219223 8323537311 45253 2721???????????????种种种种 所以符合条件的自然数一共有1842116++++=(种)。
1、限幅滤波法(又称程序判断滤波法) A、方法: 根据经验判断,确定两次采样允许的最大偏差值(设为A) 每次检测到新值时判断: 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值B、优点: 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法: 连续采样N次(N取奇数) 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点: 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点: 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法: 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时:信号平滑度较高,但灵敏度较低 N值较小时:信号平滑度较低,但灵敏度较高 N值的选取:一般流量,N=12;压力:N=4 B、优点: 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值,信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点: 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法(又称滑动平均滤波法) A、方法: 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取:流量,N=12;压力:N=4;液面,N=4~12;温度,N=1~4 B、优点:
对周期性干扰有良好的抑制作用,平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点: 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法(又称防脉冲干扰平均滤波法) A、方法: 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据,去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取:3~14 B、优点: 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰,可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差C、缺点: 测量速度较慢,和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 6、限幅平均滤波法 A、方法: 相当于“限幅滤波法”+“递推平均滤波法” 每次采样到的新数据先进行限幅处理, 再送入队列进行递推平均滤波处理 B、优点: 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰,可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差C、缺点: 比较浪费RAM 7、一阶滞后滤波法 A、方法: 取a=0~1 本次滤波结果=(1-a)*本次采样值+a*上次滤波结果 B、优点: 对周期性干扰具有良好的抑制作用 适用于波动频率较高的场合 C、缺点: 相位滞后,灵敏度低 滞后程度取决于a值大小
数学竞赛讲座 数论的方法技巧(上) 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得abq+r(0≤r 4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x 单片机利用软件抗干扰的几种滤波方法 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A），每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效； 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值。 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰。 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰，平滑度差。 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数），把N次采样值按大小排列，取中间值为本次有效值。 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰，对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果。 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜。 3、算术平均滤波法 A、方法： 连续取N个采样值进行算术平均运算，N值较大时：信号平滑度较高，但灵敏度较低；N值较小时：信号平滑度较低，但灵敏度较高；N值的选取：一般流量，N=12；压力：N=4。 B、优点： 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波，这样信号的特点是有一个平均值，信号在某一数值范围附近上下波动。 C、缺点： 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用，比较浪费RAM。 4、递推平均滤波法（又称滑动平均滤波法）。 A、方法： 把连续取N个采样值看成一个队列，队列的长度固定为N，每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则)，把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果。N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4~12；温度，N=1~4。 B、优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高，适用于高频振荡的系统 C、缺点： 灵敏度低，对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差，不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差，不适用于脉冲干扰比较严重的场合，比较浪费RAM。 5、中位值平均滤波法（又称防脉冲干扰平均滤波法） A、方法： 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法”，连续采样N个数据，去掉一个最大值和一个最小值，然后计算N-2个数据的算术平均值，N值的选取：3~14， B、优点： 融合了两种滤波法的优点，对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差。 C、缺点： 测量速度较慢，和算术平均滤波法一样，比较浪费RAM。 6、限幅平均滤波法 第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 初中奥数：数论问题位值原理的解题技巧 1、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数 比原来小27，则满足条件的两位数共有______个. 【解析】：11+12+13+14+15+16+17=98.若中心圈内的数用a表示，因三条线的总和中每个数字出现一次，只有a多用3两次，所以98+2a 应是3的倍数，a=11，12，…，17代到98+2a中去试，得到a=11，14，17时，98+2a是3的倍数. (1)当a=11时98+2a=120，120÷3=40 (2)当a=14时98+2a=126，126÷3=42 (3)当a=17时98+2a=132，132÷3=44 相对应的解见上图. 2、一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数。 解答：设它百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c 则100a+10b+c=4(10b+c) 化简得5(20a-6b+5)=3c 因为c为正整数,所以20a-6b+5是3的倍数 又因为0≤c≤9 所以0≤3c/5≤5.4 所以0≤20a-6b+5=3c/5≤5.4 所以3c/5=3 即c=5 所以20-6b+5=3 化简得3b-1=10a 按照同样的分析方法,3b-1是10的倍数,解得b=7 最后再算出10a=3*7-1=20 则a=2 所以答案为275。 3、a、b、c是1——9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍? 解答：组成六个数之和为： 10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b =22a+22b+22c =22(a+b+c) 很显然，是22倍 4、有2个3位数，它们的和是999，如果把较大的数放在较小数的左边，所成的数正好等于把较小数放在较大数左边所成数的6倍，那么这2数相差多少呢? 解答：abc+def=999，abcdef=6defabc，根据位值原 理,1000abc+def=6000def+6abc 化简得994abc=5999def，两边同时除以7得142abc=857def，所以abc=857，def=142 所以857-142=715 5、将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。 费马小定理数论的证明方法 2007年12月28日星期五 01:29 P.M. 费马小定理数论的证明方法 Mod的简单介绍 (Congruence) a=b(mod m) a和b除以m以后有相同的余数 不失一般性地另a>b 则a=km+b比如7=1 mod 2 9=4 mod 5 简单的Congruence 计算 如果a=b mod m c=d mod m 则a=km+b c=tm+d 直接可推出 a+b=c+d (mod m) a-b=c-d (mod m) ab=cd (mod m) 并且可得存在正整数c 使得ac=bc (mod mc) 当然ac=bc(mod m) 费马小定理如果a,p互质且q是质数则a^(p-1)=1 (mod p) 考虑数列An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a 假设An中有2项ma, na 被p除以后的余数是相同的.那么必然有ma=na (mod p) 即a(m-n)=0(mod p) 由于a和p互质,所以m-n=0(mod p) 但是m,n属于集合{1,2,3..p-1} 且m不等于n,所以m-n不可能是p的倍数.和假设产生矛盾所以An中任意2项被p除 得到的余数都是不同的, 并且对于任一个整数被p除以后的余数最多有p-1个,分别是 1,2,3,….p-1 而数列An中恰好有p-1个数,所以数列中的数被p除以后的余数一定正好包含所有的1,2,3,4,5…. p-1 由此我们可以用Congruence的乘法性质, a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4..*(p-1) (mod p) 对两边进行化简,即可以得到a^(p-1)=1 (mod p) Euler’s Totient function 定义o(n)是所有比n小且和n互质的数的总数(包括1) 例如o(5)=4 o(10)=8 我们发现引入这个以后费马小定理可以改写为a^o(p)=1 (mod p) 事实上,这个结论对所有的正整数n都成立即a^o(n)=1 (mod n) 软件滤波在嵌入式的数据采集和处理中有着很重要的作用，这10种方法各有优劣，根据自己的需要选择。同时提供了C语言的参考代码，希望对各位能有帮助。 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A） 每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 /* A值可根据实际情况调整 value为有效值，new_value为当前采样值 滤波程序返回有效的实际值 */ #define A 10 char value; char filter() char new_value; new_value = get_ad(); if ( ( new_value - value > A ) || ( value - new_value > A ) return value; return new_value; } 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数） 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜 /* N值可根据实际情况调整 排序采用冒泡法*/ #define N 11 char filter() { char value_buf[N]; char count,i,j,temp; for ( count=0;count 小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常 出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划 数论短期班100题手册 知识框架体系 一、奇偶性质 1．奇数和偶数的表示方法： 因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)； 因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21 k+来表示奇数(这里k是整数)．特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数．最小的奇数是1，最小的偶数是0． 2．奇数与偶数的运算性质： 性质一：偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数) 奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数) 偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数) 可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性； 一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化． (也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．) 性质二：偶数?奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数) 偶数?偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数) 奇数?奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数) 可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))． 性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数． 二、整除 1．整除的定义 所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商a b 是一个整数”；或者换句话说： 存在着第三个自然数c，使得a b c =?．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b 叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”． 2．整除性质： ⑴传递性若|c b，|b a，则|c a． ⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b ± （）． ⑶可乘性若|c a，|d b，则| cd ab． 3．整除的特征 ⑴4,25,8,125,16,625的整除特征 能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位(100425 =?,10008125 =?,1000016625 =?,100000323125 =?) ⑵3,9的整除特征 能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表 软件滤波算法（转载） 这几天做一个流量检测的东西，其中用到了对数据的处理部分，试了很多种方法，从网上找到这些个滤波算法，贴出来记下 需要注意的是如果用到求平均值的话，注意总和变量是否有溢出，程序没必要照搬，主要学习这些方法，相信做东西的时候都能用得上 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A） 每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数） 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法： 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时：信号平滑度较高，但灵敏度较低 N值较小时：信号平滑度较低，但灵敏度较高 N值的选取：一般流量，N=12；压力：N=4 B、优点： 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值，信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点： 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法（又称滑动平均滤波法） A、方法： 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4~12；温度，N=1~4 B、优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点： 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法（又称防脉冲干扰平均滤波法） A、方法： 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据，去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取：3~14 B、优点： 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 C、缺点： 测量速度较慢，和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 整数的p 进位制及其应用 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项 式 ， 即 12211101010a a a a A m m m m ，其中 1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简 记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。 典例分析 例1．(2007年中国数学奥林匹克协作体竞赛试题)假定正整数N 的8进制表示为 8)43211234567765( N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ） A 、N 能被7整除而不能被9整除 B 、N 能被9整除而不能被7整除 C 、N 不能被7整除也不能被9整除 D 、N 既能被7整除也能被9整除 答 D 由于)7(mod 18 ，所以)7(m od 18 i k i k i i i i k k a a a a a a N 0 8011)7(mod 8 即N 能被7整除 N 的8进制表示下各位数字之和能被7整除。 类似的，N 能被9整除 N 的8进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被9整除 1、限幅滤波法（又称程序判断滤波法） A、方法： 根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值（设为A） 每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法： 连续采样N次（N取奇数） 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点： 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 自动化科协 C、缺点： 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法： 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时：信号平滑度较高，但灵敏度较低 N值较小时：信号平滑度较低，但灵敏度较高 N值的选取：一般流量，N=12；压力：N=4 B、优点： 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值，信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点： 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法（又称滑动平均滤波法） A、方法： 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取：流量，N=12；压力：N=4；液面，N=4~12；温度，N=1~4 B、优点： 对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点： 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法（又称防脉冲干扰平均滤波法） A、方法： 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据，去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取：3~14 B、优点： 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 C、缺点： 自动化科协 测量速度较慢，和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 6、限幅平均滤波法 A、方法： 相当于“限幅滤波法”+“递推平均滤波法” 每次采样到的新数据先进行限幅处理， 再送入队列进行递推平均滤波处理 B、优点： 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰，可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 C、缺点： 比较浪费RAM 7、一阶滞后滤波法 A、方法： 取a=0~1 本次滤波结果=（1-a）*本次采样值+a*上次滤波结果 B、优点： 对周期性干扰具有良好的抑制作用 适用于波动频率较高的场合 C、缺点： 初一数学竞赛培训讲座数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力.数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”.因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了.任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作.”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的 比重. 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆.主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r 是唯一的.特别地，如果r=0，那么a=bq.这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数N都可以写成质数的连乘积， 即 (1，其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的.（1）式称为N的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）. 5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数.因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决.这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n10n +a n-110 n-1 +…+a0； 数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下： 我们用),...,,(21n a a a 表示n 个整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数。用[1a ,2a ,…,n a ]表示 1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数。对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，用{x }=x -[x ] 表示x 的小数部分。对于整数b a ,,若)(|b a m -，,1≥m 则称b a ,关于模m 同余，记为 )(mod m b a ≡。对于正整数m ，用)(m ?表示{1，2，…，m }中与m 互质的整数的个数， 并称)(m ?为欧拉函数。对于正整数m ，若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余，则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质，且其中任何两个数关于模m 不同余，则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系。 定理1 设b a ,的最大公约数为d ，则存在整数y x ,，使得 yb xa d +=. 定理2 （1）若)(mod m b a i i ≡，1=i ，2，…，n ，)(mod 21m x x =，则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； （2）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，m d |，则 )(mod d m d b d a ≡； （3）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，且1),(=m d ，则)(mod m d b d a ≡； （4）若b a ≡（i m mod ），n i ,...,2,1=，M=[n m m m ,...,,21]，则b a ≡（M mod ）. 定理3 （1）1][][1+<≤<-x x x x ； （2）][][][y x y x +≥+； （3）设p 为素数，则在!n 质因数分解中，p 的指数为 ∑ ≥1 k k p n . 几个精彩的数论问题 从同事那里借来了一本单墫教授?主编的《初等数论》奥数书，看到很多精彩的问题，在这里做个笔记，与大家一同分享。不少问题和答案都有过重新叙述，个别问题有所改动。 问题：找出所有使得 2n - 1 能被 7 整除的正整数 n 。 答案：由于 2n的二进制表达为1000…00 （n 个 0），因此 2n - 1 的二进制表达为111…11 （n 个 1）。而 7 的二进制表达是 111 ，要想让它整除 n 个1 ，显然 n 必须是也只能是 3 的倍数。 问题：是否存在 100 个数，使得它们的和等于它们的最小公倍数？ 答案：是的。考虑3, 2 × 3, 2 × 32, 2 × 33, …, 2 × 398, 399，它们的和为： 3 + 2 × 3 + 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 3 × (1 + 2) + 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 32+ 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 32× (1 + 2) + 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = 33+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399 = ... ... = 399 + 399 = 2 × 399 而这 100 个数的最小公倍数正是 2 × 399。 问题：能否找出 100 个不同的正整数，使得其中任意 2 ≤ k ≤ 100 个数的算术平均数都恰为整数。 答案：能。这个问题非常唬人，它的答案异常简单： 1 · 100!, 2 · 100!, 3 · 100!, …, 100 · 100! 显然满足要求。 问题：求证，存在任意长的连续正整数，使得其中任何一个数都不是质数的幂（当然更不能是质数）。 数据处理中的几种常用数字滤波算法 王庆河王庆山 (济钢集团计量管理处，济南250101) (济钢集团中厚板厂，济南250101) 摘要随着数字化技术的发展，数字滤波技术成为数字化仪表和计算机在数据采集中的关键性技术，本文对常用的几种数字滤波算法的原理进行描述，并给出必要的数学模型。 关键词：数据采样噪声滤波移动滤波 一、引言 在仪表自动化工作中，经常需要对大量的数据进行处理，这些数据往往是一个时间序列或空间序列，这时常会用到数字滤波技术对数据进行预处理。数字滤波是指利用数学的方法对原始数据进行处理，去掉原始数据中掺杂的噪声数据，获得最具有代表性的数据集合。 数据采样是一种通过间接方法取得事物状态的技术如将事物的温度、压力、流量等属性通过一定的转换技术将其转换为电信号，然后再将电信号转换为数字化的数据。在多次转换中由于转换技术客观原因或主观原因造成采样数据中掺杂少量的噪声数据，影响了最终数据的准确性。 为了防止噪声对数据结果的影响，除了采用更加科学的采样技术外，我们还要采用一些必要的技术手段对原始数据进行整理、统计，数字滤波技术是最基本的处理方法，它可以剔除数据中的噪声，提高数据的代表性。 二、几种常用的数据处理方法 在实际应用中我们所用的数据滤波方法很多，在计算机应用高度普及的今天更有许多新的方法出现，如逻辑判断滤波、中值滤波、均值滤波、加权平均 2中值滤波 中值滤波是对采样序列按大小排滤波、众数滤波、一阶滞后滤波、移动滤波、复合滤波 等。 假设我们采用前端仪表采集了一组采样周期为1s的温度数据的时间序列 T0为第0s 采集的温度值，Ti为第is采集的温度值。下面介绍如何应用几种不同滤波算法来计算结果温度T。 1.程序判断滤波 当采样信号由于随机干扰、误检测或变送器不稳定引起严重失真时，可采用程序判断滤波算法，该算法的基本原理是根据生产经验，确定出相邻采样输入信号可能的最大偏差△T,若超过此偏差值，则表明该输入信号是干扰信号，应该去掉，若小于偏差值则作为此次采样值。 (1)限幅滤波 限幅滤波是把两次相邻的采集值进行相减，取其差值的绝对值△T作为比较依据，如果小于或等于△T,则取此次采样值,如果大于△T,则取前次采样值，如式(1)所示：10种简单的数值滤波方法
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