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高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则

函数极限的运算法则（4月30日）

教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限

教学重点：运用函数极限的运算法则求极限

教学难点：函数极限法则的运用

教学过程：

一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o

==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.

二、新课讲授

限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o

o x x x x →→= n x x n x x x f x f o

o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.

三典例剖析

例1 求)3(lim 2

2x x x +→

例2 求1

12lim 231++-→x x x x

例3 求4

16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数

162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.

例4 求1

33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2

x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k

x x ∈==∞→∞→

例5 求1

342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。

四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）

（1）)32(lim 21

-→x x ；（2）)132(lim 22

+-→x x x

（3）)]3)(12[(lim 4+-→x x x ；（4）1

4312lim 221-++→x x x x

（5）11lim 21+--→x x x （6）9

65lim 223-+-→x x x x

（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5

2lim 32--∞→y y y y

五小结

1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；

2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，

要特别注意这一点.

3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定

不存在.

4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.

六作业（求下列极限）

（1）)432(lim 3

1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）12lim 21++→x x x x

（4）)14

13(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452

30233lim x x x x x x -++→

（7）42lim 22--→x x x （8）11lim 21-+-→x x x （9）6

23lim 2232--++-→x x x x x x

（10）x

m m x x 220)(lim -+→ （11）)112(lim 2x x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x

（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3

526113lim 221--+-→x x x x x

（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3

23203526lim x x x x x x x ----→ （18）323

23526lim x x x x x x x ----∞→

函数极限及运算法则

教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三典例剖析例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数

4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。总结：),(lim ,lim * N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ → 例5 求1 34 2lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3 x ，就可以运用法则计算了。四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）)32(lim 2 1-→ x x ；（2）)132(lim 2 2 +-→x x x （3）)]3)(12[(lim 4 +-→x x x ；（4）1431 2lim 221-++→x x x x （5）11lim 21+--→x x x （6）9 6 5lim 223-+-→x x x x （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5 2lim 32--∞→y y y y 五小结

导数的运算法则

课题：导数的运算法则 1、求下列函数的导数（1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。例1 求下列函数的导数（1） )11)(1(x x y +- = ；（2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ；例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0'+'x g x f x g x f 且0)3(=-g ，求不等式0)()(

知识点一，直接求导例1，求下列函数的导数（1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导例2，求下列函数的导数（1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v

水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ???

数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案

§则教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析函数导数函数导数

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝ x x 4 ；（5）y ＝x x ln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'2 5284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越

数列的极限及运算法则

数列的极限及其运算法则学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料：一、基本知识 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限：（1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数）（3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim

《函数极限的运算法则》教案(优质课)

《函数极限的运算法则》教案【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限【教学难点】：函数极限法则的运用【教学过程】：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组

成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三典例剖析例1 求)3(lim 22 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.

注意函数4 16 2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ →

§1-2 函数极限的运算规则

第1章函数的极限和连续函数 8 §1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理 1.极限的运算规则记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →?”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）. 设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ? →和)(lim x g x ? →. ⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →? →? =（c 为常数）；（齐次性） ⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? ±=±；（可加性） ⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? =?；（乘积的极限等于极限的乘积） ⑷ lim ()()lim lim ()0()lim () x x x x f x f x g x g x g x →? →?→?→? ??=≠???? ；（商的极限等于极限的商） ⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →? →? ≤；（极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →? →? ==，则也有极限lim ()x h x C →? =. （夹挤规则）根据夹挤规则，若lim ()0x f x →? =，且)(x g 在极限过程?→x 中是有界变量(())g x B ≤，则应直接写成 lim[()()]0x f x g x →? = 因为 0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→?且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →? →? =??= 而不能写成 []lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →? →? →? =?=[逻辑错误!] 例如函数1sin y x x =（图1-15），应当直接写成 01 lim sin 0x x x →=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成 00011 lim sin lim limsin 0x x x x x x x →→→=?= 因为不存在极限01 limsin x x →(图1-10). 例3 设有多项式 2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =+++ +≠ 则 2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x c x c x c x c x c P x a a x a x a x →→→→→=+++ + 2012(lim )(lim )(lim )n n x c x c x c a a x a x a x →→→=+++ +

极限四则运算法则演示教学

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。证明：只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当200δ<-

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： ①带有“1”；

高三数学总复习函数极限的运算法则教案

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：函数极限的运算法教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么 B A x g x f o x x +=+→)]()([lim B A x g x f o x x ?=?→)]()([lim )0()()(lim ≠=→B B A x g x f o x x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=

n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三典例剖析例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x

1.2.2导数的运算法则(二)

1.2.2 导数的运算法则（二）【学习目标】理解复合函数概念，记住复合函数的求导法则.理解导数的物理及几何意义；会求曲线上某点处的切线. 【基本概念】一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量y u ,可以表示成x 的，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的，记作 . 如果函数)(),(x g u u f y ==和它们的复合函数))((x g f y =的导数分别记为,]))(([),(),('=''=''='x g f y x g u u f y x x u 那么='x y . 即y 对x 的导数等于y 对的导数与u 对的导数的 . 【例证题】例1 求下列函数的导数（1）5)32(+=x y （2）)1ln(2+=x y （3）32--=x e y （4）)sin(?π+=x y （其中?π,均为常数）

例2 求下列函数的导数（1）)63sin(2π +=x x y （2）x x x y 3cos 2sin += （3）x x y -= 1 （4）)12(2+=x y （5）)132(log 22++=x x y （6）x x y 2sin ln = 例3 已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(，且在点)1,2(-处与直线3 -=x y 相切，求c b a ,,的值.

姓名：学号：【作业】 1、函数,)23()(3x x f -=则)(x f '=（） 2)23(3.x A - 2)23(6.x B - 2)23(6.x C -- 3)23(2.x D -- 2、若函数),32cos(3)(π+=x x f 则)2(π f '=（） 33.-A 33.B 36.-C 36.D 3、函数12+=x y 的导数为（） 121 .2+x A 12.2+x x B 1.2+-x x C 1.2+x x D 4、函数42-=x e y 在点2=x 处的切线方程为（） 032.=--y x A 032.=-+y x B 012.=+--e y ex C 012.=-++e y ex D 5、★函数22cos 53sin x x y +=的导数是（） 2s i n 53s i n 2.x x A - 2s i n 106sin 2.x x x B - 2s i n 106sin 3.x x C + 2s i n 106sin 3.x x x D - 6、若函数)1(log )(3-=x x f ，则2=' x y = . 7、已知函数x x x x x x f 1 53)(2+-+=，则)(x f '= . 8、曲线4 1-+=x x y 在点8=x 处的切线方程是 . 9、曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程是 .

(完整版)数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于?ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn)(法则1) =limAn+(-1)limBn(引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0. 证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-0|＜ε.④

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