第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组的矩阵消元解法 例3.1 求解线性方程组 ??? ??=+-=+-=-+4 5342622321 321321x x x x x x x x x 解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。 除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换： ????? ??---411534216122→????? ??---411534210960→???? ? ??---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。 下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组： ????? ??---4115342]1[6122 →? ?? ?? ??----111990342 109]6[0 ?→?* ????? ??---11]5.5[0005 .110310 1→? ???? ? ?210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二 步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。最后一个矩阵对应方程组 ?? ? ??=++=++=++2 003001 00321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。写成列向量 ()T x 2,3,1=，叫做解向量。显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列 直接读出，无需写出对应的方程组。 第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1 的线性方程组，写成矩阵形式是??? ? ? ??=????? ??---436115421122x 。
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 证明：如果求积公式（）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，， ，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解. 第三章 函数逼近与曲线拟合 1． ()sin 2 f x x π =，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解： ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时， 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时， 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ??? 3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明： 若()f x x =，则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明： 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得 常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1 +n R 空间 不能 与x 轴相交． 2．方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(21x x ??，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于 ． 6．函数组?? ?==x y x y cos sin 2 1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-= 7．二阶方程02 =+'+''y x y x y 的等价方程组是 ?????--='='y x xy y y y 2 11 1 ． 8．若)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 ． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个． 11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交． 习题3.1 1．用消元法解下列线性方程组 （1）123131 232312 264257x x x x x x x x -+=??+=??++=? (2)???????=+--=+-=+-=+-115361424 5241 32321321 3 21321x x x x x x x x x x x x (3)?????=-++=-+-=--+82226353634321 43214321x x x x x x x x x x x x （4）?? ?????=-+++=+++=-+++=++++2 3345362203231 5432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2．设线性方程组 123212312 3424 x x tx x tx x t x x x ++=??-++=??-+=-? t 为何值时方程组无解? t 为何值时方程组有解？有解时,求其解. 3．设线性方程组 12341234 12341234231 363315351012x x x x x x x x x x ax x x x x x b +++=??+++=?? --+=??--+=? （1） a , b 为何值时方程组有唯一解？ （2） a,b 为何值时方程组无解？ （3） a ,b 为何值时方程组有无穷多解？并求其一般解. 习题3.2 1．设()()()1231,1,1,22,1,0,11,2,0,2ααα=--=-=--，，,求 （1）321ααα++（2）321532ααα+- 1211222. (1,0,,0) (0,1,,0)(0,0,,1),. n n n n a a a εεεεεε===+++ 设 维向量 , , , 求 ()()3. 2 02,1 3 1,124αβγαγβ=-=-+=设2,,,4,2, ,,，求向量 ,使. 4．设()()122,0,13,1,1αα==-,满足12234βαβα+=+,求β ． 线性方程组求解 习题课 一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===- 故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ? 第三章 线性方程组 （09秋本科三学时） 一、填空 1、向量()10,1,5,8=--α可由()()231,0,2,3, 2,1,1,2=-=-αα线性表示，则相关系数1k = ，2k = 。 （12k =，21k =-） 2、设向量组()1,0,T a c =α，()2,,0T b c =α，()30,,T a b =α线性无关，则,,a b c 满足关系式： 。 （000a b c ≠≠≠且且） 3、设n 阶方阵A 中各行元素之和均为零，且()1r n =-A ，则齐次线性方程组=Ax o 的通解为： 。 （(1,1,,1)T x c = ） 4、齐次方程组13200 x x x -=??=?的通解为 。 （(1,0,1)T x c =） 5、设向量组()()()1231,0,0,0,2,4,1,3,T T T t ===-ααα线性相关，则t = 。（6） 6、齐次方程组1220n x x nx +++= 基础解系中所含解向量个数为 。（1n -） 7、设3阶方阵122212304-?? ?= ? ??? A ，向量11k ?? ?= ? ???α，且αA 与α线性相关，则k = 。（-1） 8、已知三维向量组321,,βββ线性无关, 则向量组133221,,ββββββ---k 也线性无关的充要条件为_____k 。 （1k ≠） 二、计算 1、设()()()()12341,0,0,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,2,2,,a a αααα==-=-=- ()0,1,,1b b =-，求,a b 取何值时： （1） b 能由1234,,,αααα线性表示且表示方法唯一； （1a ≠） （2） b 不能由1234,,,αααα线性表示； （11a b ≠≠-且） （3） b 能由1234,,,αααα线性表示，但表示方法不唯一，并求出一般表达式。 12112213241, 1 (1)(122)a b c c c c c c b αααα==--+++--++= 数值分析计算实习题 第5章解线性方程组的直接方法 【选题 列主元高斯消去法解线性方程组。 书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。 对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。 文件输入格式要求: (1)第一行为一个整数n (2<=n<=100)，表示矩阵阶数。 (2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。 (3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。 屏幕输入：按提示输入各个数据。 输出：A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。 【算法说明】 设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 ?12 ?21 [Nb] = 第1步（k=l ）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素?I,作为第一步的主元素: ?|| H0 然后交换（A, b）的第1行与第I行元素，再进行消元计算。 设列主元素消去法已经完成第1步到第k?l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A（k）x=b（k） 4? …4;) …唸) ? 忒 ? ? 輕 ■ [A.b]T[A ⑹,b")] = ??■ 咲■ ■ ■ ■ ■ * *■ 〃伏) ?? - % ■ 第k步计算如下: 对于 k=l, 2, ?…，0-1 （1）按列选主元：即确定t使 （2）如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。（3）消元计算 5 4* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H) % 吗 <-?y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/) b- <-勺+加汝仇， (i = /c + l,…,《) 消元乘数mik 满足: n (%-D 内) X1 < ------ -- ---- 9(j = ? 一 1,?一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, ???,?) fet e (4)回代求解 数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组： 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解： A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7 x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解： A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7 第一章 函数逼近之曲线拟合 要点：（1）曲线拟合的最小二乘法基本概念 （2）拟合函数空间12((),(), (),)m span x x x ???Ω=中基函数的确定 （3）法方程组的形成及求解 复习题： 1 解：取基函数01()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010 111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ??????? 即72126219199a b ??????= ??? ??????? , 解得 413 , 284a b == 所求拟合直线为： 413()284 f x x =+ 2、依据下表，求形如bx a y += 1 的拟合函数 解：引进1 Y y =，则 Y a bx =+ 取基函数01()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010 111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ??????? 即335 1570.271915753279.70510911a b ????????= ? ????????? , 解得 45.1398, 3.1692a b =-= 所求拟合曲线为： 1 ()45.1398 3.1692f x x = -+ 3 解：取基函数01()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ????? ?? 即41010.2103027.7a b ??????= ??? ??????? , 解得 1.45, 0.44a b == 所求拟合直线为： () 1.450.44f x x =- 4、已知实验数据如下 用最小二乘法求形如2 y a bx =+的经验公式，并计算均方误差 解：取基函数201()1, ()x x x ??== 构造法方程组 0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)y a y b ?????????????? ??= ? ? ????? ?? 即335550.0645155979 1.0860910a b ??????= ? ?????????? ?, 解得 1.8000, 1.0091a b == 所求拟合直线为： 2 () 1.8000 1.0091f x x =+ 线性代数————第3章：线性方程组 一、例题解析： 1．单项选择题 （1）向量组[][][][] αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ ）。 A. αα12, B. αα24, C. ααα134,, D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。 正确答案：D （2）设线性方程组的增广矩阵为? ? ????? ?? ???--000 0103006211041231，则此线性方程组的一般解中自 由元的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以 一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。 正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。 A. n A r =)( B. n A r >)( C. n A r <)( D. )(A r 与n 无关 解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C （4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（ ）一定是B AX =的解。 A. 21X X + B. 21X X - C. 212X X - D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212， 所以122X X -是线性方程组B AX =的解。 正确答案：D 2． 填空题 （1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。 解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则 0k 0 +m m k k α++α 11= 0 由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。 正确答案：相关 （2）线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 。 解：因为一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r 第三章线性方程组 1、消元法求解线性方程组 例1．解线性方程组 解：将方程组的增广矩阵通过矩阵的初等变换，化为行简化的阶梯形矩阵 由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组（本题即为方程组的唯一解） ，，， 注释：消元法是解线性方程组最有效最基本的方法，通过该例题我们得到： 求解线性方程组的一般步骤是： 第一步，首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵； 第二步，根据阶梯形矩阵判断是否有解（是否等于）； 第三步，有解时，继续对阶梯形矩阵利用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵； 第四步，由行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。 2、求齐次线性方程组的基础解系的简便方法 例2．求下列齐次线性方程组的基础解系 （1）（2） 解（1）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵 最后一矩阵的第1、3、4列构成了3阶单位矩阵，所以，从而该方程组的基础解系含个解向量。 解法1将上面最后一个矩阵的2、5列反号，依次得基础解系的两个解向量的第1、3、4三个坐标，而的另两个坐标依次取2阶单位矩阵的两列，即基础解系为 ， 解法2 由上面最后一个矩阵得（1）的同解方程组 （为自由未知量） 令，得 即（为任意常数）所以基础解系为 ， （2）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵 由此得，而最后一矩阵的前2列2行构成一2阶单位矩阵，所以基础解系含两个解 向量，且的前两个分量分别为上面最后一矩阵3、4列前两个坐标的相反数，而它们的后两个分量分别为2阶单位矩阵的两列，即 ， 另从最后一个矩阵得与原方程组同解的方程组 （为自由未知量） 令，得原方程组的通解为 即（为任意常数） 所以基础解系为， 注1：方法1直接从行简化矩阵找基础解系，若要求通解，只需作基础解系的任意线性组合即得。方法2是先得到通解，再得到基础解系，所以基础解系与通解同时给出。 注2：前面我们给出的是基础解系的简便求法，而基础解系不是唯一的，只要个解向量线性无关即可为基础解系。所以有时为了避免解向量的分量为分数我们可灵活选取， 比如上面例2在（2）题法2中可令，则得基础解系为， ． 例3．设为矩阵，且，则有非零解。 证法一因为矩阵，知未知量的个数为，，故，于是 由非零解。 证法二本题是含个方程，个未知量的齐次线性方程组，因，即方程的个数小于未知量的个数，故有非零解。 证法三由于，说明的个列向量线性相关，故必有非零解。 注释：当齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数时，必有无穷多解。 例4．设，证明若有个互不相同的根，则为零多项式。 证：设的个互不相同的根分别为，则数值计算第三章答案
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