有理数复习讲义一
一、有理数的意义
1. 【正数和负数】
知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3，218，5.2也可写作+3，+2
1
8，+5.2；零既不是正数，也不是负数。
【巩固练习】 一、选择题
1. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ）
A. 0是整数
B. 0是偶数
C. 0是自然数
D. 0既不是正数也不是负数 2. –3.782： （ ）
A. 是负数，不是分数
B. 不是分数，是有理数
C. 是分数，不是有理数
D. 是分数，也是负数 二、将下列各数填入相应的集合中。
71，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，-2
1
8，180，-42，-45%，π，1。 整数：______________________ 自然数：___________________________ 正数：______________________ 负数： ___________________________ 偶数：______________________ 奇数： ___________________________ 分数：______________________ 非负数：___________________________ 非负整数： _________________ 非正分数：_________________________ 非负有理数：________________ 有理数： __________________________ 三、填空题
1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。
2、绝对值小于3的整数有 个。
3、119
-的相反数的倒数是 。 4、计算：2002
2(1)
(2)0-?-?= 。
5、如果216a =，那么 a= 。
6、规定上升8米记作8米，那么－7米表示___________。
7、最小的正整数是____，最大的负整数是_____，绝对值最小的有理数是_______
8、 河道中的水位比正常水位低0.2m 记作-0.2m ，那么比正常水位高0.1m 记作________。
9、一潜艇所在深度是-80米,一条鲨鱼在艇上30m 处,鲨鱼所在的深度是________。 四、答下面的问题： 【数轴】
知识点：数轴是数与图形结合的工具. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据. 数轴的作用：
（1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数）;
(2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义;
(3）比较有理数的大小：a 右边的数总比左边的数大;b 正数都大于零;c 负数都小于零;d 正数大于一切负数. 【巩固练习】 一、填空题
1、数轴上与表示﹣2点相距3个单位的点所表示的数是________。
2、数轴表示+3和﹣3的点离开原点的距离是________个单位，这两个点的位置分别在________点右边和左边。
3、 在有理数中最大的负整数是______, 最小的正整数是______, 最大的非正数是_______, 最小
的非负数是_______, 最大的非负数是________.
4、 用“＞”或“＜”号填空：
（1）3.5 ____ 0 ; （2) ﹣2.8 ____ 0 ; （3) ﹣1.95 ____ 1.59 ; （4)
7
5
____ 76-
; （5) 31- ____ ﹣0.3 ; （6) ﹣0.67 ____ 3
2
- ; （7) 2120- ____ 2019
- ;（8) ﹣π ____ ﹣3.14 ; （9) ﹣1.6 ____ ﹣1.6 ;
（10) ﹣(31-
) ____ ﹣(﹣∣3
1
-∣) . 3.【相反数】
知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。 【巩固练习】 一、填空题
1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________.
2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________.
3. 若
1=b a , 则a 与b________; 若1-=b
a
, 则a 与b________; 若a+b=0, 则a 与b________. 4. 在数轴上与－3距离4个单位的点表示的数是 5.写出大于-4且小于3的所有整数为______________; 二、求下列各数的相反数 0.26 ；5
2
- ；π－3 ；﹣a ；﹣x+1 ； m+1 ；2xy ；a －b 。
三、在数轴上表示出下列各数的相反数的点，并比较大小。
213-，4，﹣1.5，212，0，1，8，﹣2，﹣（﹣4.5）
，∣4
1
-∣，﹣∣﹣3∣。
4. 【绝对值】
知识点： 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。
【巩固练习】 一、选择题
1.﹣∣﹣3∣是（ ）
A. 正数
B. 负数
C. 正数或0
D. 负数或0 2. 绝对值最小的整数是 （ ） A. 0 B. 1 C. –1 D. 1和-1 二、填空题
1. 若a ＝213 , 则∣a ∣＝________; 若∣a ∣＝3, 则a ＝________.
2. ﹣∣﹣324∣＝_____;∣﹣413∣－∣﹣3
21∣＝____;∣﹣0.77∣÷∣+43
2∣＝____.
3. 绝对值小于4的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个. 三、解答题
1. 已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y ∣的值。
2、 已知A ，B 是数轴上两点，A 点表示﹣1，B 点表示3.5，求A ，B 两点间的距离。
3、 已知：∣a ＋2∣＋∣b －3∣=0，求2a 2
－b ＋1的值。
二、有理数的运算
1. 【有理数的加法】 知识点：有理数的加法法则：
1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3）一个数和0相加仍得这个数.
加法交换律：a+b=b+a ； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c ）
多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。 2. 【有理数的减法】
知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a －b=a+（-b ）.
注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b 中的减号也可看成负号，看作a 与b 的相反数的和：a+（-b ）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个数的相反数。 3. 【有理数的加减混合运算】
知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一成加法运算以后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁。
【巩固练习】 计算：(1） ﹣31－21＋65－（4
3
-）； (2） 1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100；
(3)﹣（﹣8）－∣﹣6∣－∣+8∣－（+7）；(4) )4
3
4000()321999()652000(-+---.
(5)∣x ∣=8，∣y ∣=6，求x ＋y 的值；若∣x ∣=3，∣y ∣=5，且∣x －y ∣=y －x ，再求x ＋y 的值；
(6）某中学男生进行引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的用负数表示，其中8名男生的成绩如表，①这8名男生有百分之几达到标准？②他们共做了几个引体向上？
4. 【有理数的乘法】
知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数和0相乘都得0。 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a （bc ） 乘法分配律：a （b+c ）=ab+bc
5. 【有理数的除法】
知识点：除法法则1：除以一个数等于乘上这数的倒数，即a ÷b=
b a =a ·b
1
（b ≠0即0不能做除数）。 除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。
倒数：乘积是1的两数互为倒数，即a ·a
1
=1（a ≠0），0没有倒数。 注意：倒数与相反数的区别
【巩固练习】 计算：(1）（215-）×313； (2） 512-×1132÷（2
1
2-）；
(3）（12787431+-）÷)241(-； (4))241(-÷（12
7
87431+-） ；
(5）252449×（－5）； (6）)7
2
29(-÷（－5）；
(7）当a=21
3-；b= -1；c=311时，求代数式b
a abc
-3的值。
6. 【有理数的乘方】
知识点：乘方：求n 个相同因数的积的运算。乘方的结果叫幂，a n
中，a 叫做底数，n 叫做指数。 乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都为0。 【巩固练习】
1.计算：（-5）3
； -53
；2)4
3(-；432-；（-1）2001
； )211(-3.
2. 若∣x ＋1∣＋（2x －y ＋4）2= 0 ，求代数式x 5y ＋xy 5
的值。
3. 已知∣x 1－1∣ ＋ （x 2－2）2
＋ ∣x 3－3∣3
＋（x 4－2）4
＋ … ＋ ∣x 1999－1999∣1999
＋ （x 2000
－2000）2000
＝0，求
2000
199********
111x x x x x x x x +
?+++的值。
7. 【有理数的混合运算】
知识点：运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，遇到有括号，先算小括号，再中括号，最后大括号，有多层括号时，从里向外依次进行。
技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算。 【巩固练习】
计算：1. –32
－∣（-5）3
∣×2)5
2
(--18÷∣-（-3）2
∣；
2. -3－3
)2
11(×92－6÷∣3
2-∣3
；
3. （-1）5
×[324÷（-4）＋)411(-×（-0.4）]÷)3
1(-；
4. 若x= -1，y= -2，z= 1时，求()()2
2
2
)(x z z y y x -+-+-的值。
5. 已知a 的相反数是321，b 的倒数是212-，求代数式b
a b
a 232+-+的值。
6. 已知n 是正整数，a －2b= -1，求()
()
()
()
1
21
21
2222252223+-----+-+-n n n n
b a b a a b b a 的值.
第一讲有理数 【1.1正数与负数】 知识点对应训练 知识点1：正数、负数的概念 像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫，根据需要， 有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。正数 前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加 上“—”号的数叫。如-6，，…。“-6”读 作。 【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10，1，-0.5，0，36，52 -，15％，-60， 53 1 -，22.8 解： 1、下列各数 -11 ，0.2，81 -， 7 4 +，1， -1， -a， -30％中， （）一定是正数， （）一定是负数。 知识点2：对“0”的理解。 0既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。它 的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。 【例2】对于“0”的说法正确的有（） ①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度； ③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。 解： 2下列说法正确的有（）。 ①0是最小的自然数； ②0是整数也是偶数； ③0既非正数也非负数； ④一个数不是正数就是负数； ⑤负数也叫非正数。 ⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数． 知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。 相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是 它们都具有数量，而且一定是量。 【例3】下面问题中： （1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变 化记作-3m。 （2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降 3kg，记作-3kg （3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500 元。 （4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m. （5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m. 表述有错误的是（）。 3、用正数和负数表示同一问题中具有相反 意义的量。 ①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局， 记作+2；则三班输一局，记作。 ②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约 15度电记作。 ③如果高于海平面100m记作+100m，那么低 于海平面36m记作。 ④我校的入学检测中，以60分为标准，若 王飞得了85分记作+25分，那么，张生得 了45分记作。
2011初一数学讲义 （三）有理数的混合运算 姓名成绩 知识要点： 1、有理数加减混合运算中，减法可以根据减法法则转化成加法，统一成只含有加法运算的和式． 例如：（-5）+（-3）-（-7）-（+2）可转化为：（-5）+（-3）+（+7）+（-2） 2、在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，如上式可写成：-5-3+7-2 3、省略加号的和式的读法有两种 如-5-3+7-2，其意义表示-5，-3，+7，-2的和，只不过加号省略未写，因此，它可读作“-5，-3，+7，-2的和”；第二种读法是按习惯读作：“负5减3加7减2”。第一种读法有利于用加法运算律简化运算． 4、在运用加法交换律和结合律时，要注意连同前面的符号一起移动，如计算-5-3+7-2时，先 交换成-5-3-2+7，再进行结合为（-5-3-2）+7，无论交换加数的位置，还是进行结合，都应连同符号移动，当省略“＋”号的首项移到后面时，应补上“＋”，如5-7+3＝-7+5+3，事实上，代数和中符号应看作数的一部分． 5、有理数加减混合运算的步骤 （1）把算式中的减法转化成加法； （2）省略加号与括号写成代数和的形式； （3）用加法法则计算，尽可能运用运算律简便计算． 例1：把（-36）-（-28）+（+125）+（-4）-（+53）-（-40）写成省略加号的和的形式并把它读出来． 例2、计算-8+（-11）-2003.12-9-（-9）-（+2）-（-2003.12）.
例3、已知a=13，b=-12.1，c=-10，d=25.1求a-b-（c+d ）的值 综合练习 一、判断题 1．一个数的相反数一定比原数小； （ ） 2．如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等；（ ） 3．|-2.7|>|-2.6|； ( ) 4.若a+b=0，则a,b 互为相反数。( ) 二．选择题 1．相反数是它本身的数是（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D.不存在 2．下列语句中，正确的是（ ） A.不存在最小的自然数 B.不存在最小的正有理数 C.存在最大的正有理数 D.存在最小的负有理数 3．两个数的和是正数，那么这两个数（ ） A.都是正数 B.一正一负 C.都是负数 D.至少有一个是正数 4、下列各式中，等号成立的是 （ ） A 、－6-=6 B 、(6)--=－6 C 、－112=－112 D 、 3.14+=－3.14 5、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是 （ ） A 、6 B 、10 C 、-10 D-6 6、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、零 D 、负数
第1讲有理数 教学目标 1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上； 2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小； 3、掌握有理数的大小比较； 4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
有理数培优 能力提升1：有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7= （-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）7 1 。
能力提升2：有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． （一）括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 1 计算： 46.02562)158175.18(47)1(÷????? ? ?÷-- （2）4 1 1 )54()1()21(12)1()2(219983?-÷-? ????? --÷---?-
2. 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 3. 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 4. 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ （二）用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22． 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a2-b2① 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．5 计算 3001×2999的值． 6 计算 103×97×10 009的值． 7 计算：
有理数混合运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算顺序：先算_______，再算_______，最后算_______；如果 ________________________________． 2. 乘法分配律：()a b c +=__________________． 3. 观察下列计算，指出从第几步开始出错，并说明错误原因： 1112421224116 15 ??-÷-? ??? =-??=-=-（）（第一步） （第二步）（第三步） 以上计算过程，从第____步开始出错，错误原因是________ _________________________． 2 2129353 4954(9)5 495 --÷?=--=-+-=-（）（第一步）（第二步）（第三步） 以上计算过程，从第____步开始出错，错误原因是________ _________________________． ? 知识点睛 1. 有理数混合运算处理方法： ①__________________； ②__________________； ③__________________． 2. 有理数运算技巧： ___________________________________________________ ___________________________________________________． ? 精讲精练
1. 计算： （1）222118(3)(4)9(0.75) -÷-+-÷÷ -； （2）20191416(2)823??--÷-?-÷- ???； （3） 3222112334(0.5)0.2 -+-------； （4）21111531352 ??÷---- ???． 2. 计算：
有理数综合训练（讲义） ? 课前预习 1. 思考下列问题： （1）什么是数轴，数轴的作用有哪些？ （2）什么是相反数，怎么找一个数或一个式子的相反数？ （3）什么是绝对值，绝对值法则是什么？ 2. 学习定义概念一般按照“关键词拆解；典型例子；反例或特例；正反面对比”的 顺序进行．以相反数为例，请回答下列问题： （1）相反数的定义是什么？ （2）-a 表示什么？-(-a )表示什么？ （3）在数轴上两个相反数有什么特征？ （4）互为相反数的两个数和是多少？ （5）“一个数的相反数一定是负数”对吗？请举例说明． （6）“符号不同的两个数互为相反数”对吗？请举例说明． 3. 下列说法中正确的是___________． ①一个数的绝对值一定是正数； ②只有负数的绝对值是它本身； ③互为相反数的两个数的绝对值相等； ④若|x |=|y |，则x =-y ； ⑤若x =-y ，则|x |=|y |； ⑥若a ＜b ，则|a |＜|b |． 4. 下列各式一定成立吗？ ①22()a a =-； ②33()a a =-； ③22a a -=-； ④33a a =．
? 知识点睛 1. 学习定义概念分以下几个层次： ①定义概念中要点拆解（关键词拆解）； ②举例子（什么是，什么不是），举特例； ③概念辨析（正反对比，等价表述，数学表示）； ④固定情景下应用，知识间组合应用； ⑤迁移类比． ? 精讲精练 1. 对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ） A ．-a 2-b 2 B ．-a C ．-|a +1| D ．-|a |-1 2. 如果m n =，那么m ，n 的关系是（ ） A ．互为相反数 B ．相等 C ．m n =±且0n ≥ D ．m 是n 的绝对值 3. 已知a ，b 为有理数，下列说法： ①若a ，b 互为相反数，则1a b =-； ②a 2=(-a )2，a 3=|a 3|； ③若a +b ＜0，ab ＞0，则|3a +4b |=-3a -4b ； ④若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ⑤若a +b =0，则a 3+b 3=0； ⑥若|a -b |+a -b =0，则b ＞a ； ⑦|a |-a 的结果必为负数． 其中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知有理数a ，b 满足20ab <，0a b +>，且2a =，3b =，则21 (1)3 a b - +-的值为__________．
【中考命题趋势】 本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。 【知识点归纳】 一、有理数的基本概念 考点1．负数 ⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4) -） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 ???????????????????????????????????????????????????????负数，有理数数轴相反数概念绝对值有理数的大小比较倒数加法减法乘法有理数 运算除法乘方混合运算科学记数法近似数和有效数字
例题： 例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。 例2：收入—2000元，表示 。 考点2．有理数 ⑴定义： 整数： 正整数、零和负整数统称为整数。() ...2,1,0,1,2....-- 自然数：正整数和零。()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5????- ??? ???????? 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。 【注】π，以及π的倍数都不是分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 ⑵ 有理数分类 ① 按有理数的定义分类 ②按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 ⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数） ⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。 ⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有。 最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。
课 题 一、有理数的基本概念 考点1．负数 ⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4) -） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 例题： 例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。 例2：收入—2000元，表示 。 考点2．有理数 ⑴定义： 整数： 正整数、零和负整数统称为整数。() ...2,1,0,1,2....-- 自然数：正整数和零。()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5????- ??? ???????? 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。 【注】π，以及π的倍数都不是分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 ⑵ 有理数分类 ① 按有理数的定义分类 ②按正负分类 正整数 正整数
整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 ⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数） ⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。 ⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有。 最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。 例题： 例1：7 6%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31 -?--??，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。 例2：下列说法正确的是：（ ） ⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。 ⑶ 一个有理数不是分数就是正数。 ⑷ 整数不是奇数就是偶数。 ⑸ 0是最小的有理数。⑹ 3.1415926 不是分数 ⑺ 正整数和负整数统称为整数。⑻ 奇数是正数 ⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽ —0.6是分数 ⑾ 0不是正数也不是负数。 ⑿ 0是自然数，不是整数。 ⒀ 没有最小的有理数。 【中考链接】 例⒈（2009绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“－5℃”表示的意思是 。 例⒉（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A ．-1 B. 0 C.1 D.2 例⒋（2010新疆乌鲁木齐）在2,1,2,0--这四个数中负整数是（ ）
一对一七年级数学教师辅导讲义 课题第1 讲有理数 授课时间：备课时间： 1 、掌握有理数的分类, 学会把有理数对应的点画在数轴上； 2 、掌握相反数、绝对值、倒数的求法, 会比较有理数的大小； 教学目标 3 、掌握有理数的大小比较； 4 、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。 教学内容 一、正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0 小的数正数：比0 大的数0 既不是正数，也不是负数 注意：①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示0 时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的， 例如+a,-a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8 ℃ 3.0 表示的意义 ⑴0 表示“没有”，如教室里有0 个人，就是说教室里没有人； ⑵0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。 练习一 例1、向北走2000 米与向南走1000 米，若规定向北走为正，则向北走2000 米可记作，向南走1000 米记作，原地不动课记作 例2、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85 分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15 分，—4 分，0 分，4 分，15 分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 例3、观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15 个、第101 个、第2010 个的数是什么？ 1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、、、 2）、—1、易错点：1 、—3、 2 1 、—5、 4 1 、—7、 1 、、、 6 8 1）误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例：a 一定是正数吗？ 2）对于“ 0”的含义理解不准确
第一讲 有理数的基本概念 板块 1有理数的概念 知识梳理> 1.正数和负数 随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经丌能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6?C和零下4?C等等，它们丌但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数. 正数：像3、1、?0.33、 2.7%等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像?1、?3.12、?175、?2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0 数都小于0. 一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，负数前的“－”号不能省略。 数0既不是正数，也不是负数. 用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反乊亦然.譬如：用正 数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为?3km. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是在相反意义的基础上要有量. 注：(1)正数和零统称为非负数； (2)负数和零统称为非正数； (3)正整数和零统称为非负整数； (4)负整数和零统称为非正整数. 经典例题> (1)下列各组量中，具有相反意义的量是（） A. 节约汽油 10 升和浪费粮食10kg B. 向东走 8 公里和向北走 8 公里 C. 收入 300 元和支出 100 元 D. 身高180cm 和身高 90cm (2)如果零上 5℃记作 ?5℃，那么零下 5℃记作（） A. ?5 B. ?10
一、知识梳理 1、两个有理数相加有以下几种情况： ①两个正数相加；②两个负数相加； ③异号两数相加；④正数或负数或零与零相加。 2、有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 注： ①有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条； ②法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。 3、有理数加法的运算律 （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便。 4、有理数减法的意义 有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与
其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。 5、有理数的减法法则 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 二、典型例题 例1、计算 （1）；（2）； （3）；（4）． [分析]根据有理数的加法法则，先定符号，再算绝对值． 解： 例2、计算： （1）； （2）； （3）． [分析]适当运用运算律． 解： [小结]（1）尽量把正数分成一组，负数分成一组分别计算； （2）遇到分数运算时，尽量把异通分的分为一组．
例3、计算 （1）；（2）；（3）．[分析]把减法转化为加法． 解： 例8、计算：； 解：
七年级上数学课堂教案 第4讲 有理数的乘除 1.下列计算正确的是（ ） A. (-7)×(-6)=-42 B. (-3)×(+5)=15 C.(-2)×0=0 D.26421742 17-=??? ? ? ?+-=?- 2.对于有理数a,b,定义运算“※”：a ※b=a ·b-a-b-2. (1)计算：（-2）※3= ；（2）填空：4※（-2） （-2）※4 （填等号或不等号） （3）我们知道，有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“※”是否满足交换律？说明理由. 3.若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求cd m m b a -++的值. 4.计算：（1）3452753÷?? ? ??-÷??? ??-???? ??- （2）()4811655.2-÷?? ? ??-???? ??-÷- 5.简便计算： （1）（-0.125）×（-0.05）×8×（-40） （2）()36127659 532 1-??? ? ??-+-- 6.请阅读下列材料：计算：?? ? ??-+-÷??? ??-526 110 132301 解法一：原式=6 1 (5) 23016130110 130132301==÷??? ??--÷??? ??-+÷??? ??--÷??? ??-；
解法二：原式=101...2165301521016132301-==?? ? ??-÷??? ??-=????????? ??+-??? ??+÷??? ??-； 解法三：原式的倒数为=??? ??-÷??? ??-+-301526110132(),10...30526110132-==-??? ? ??-+-故原式=101- 上述得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的，根据上述结果请你用最简 便的方法计算：?? ? ??-+-÷??? ??-723 214 361421 7.已知a,b,c 为有理数.（1）如果ab>0,a+b>0,则a 0,b 0； （2）如果ab>0,abc>0,bc<0,试确定a,b,c 的正负. 学生练习 1.下列结论错误的是（ ） A.若,0,0<>?b a b a 则a,b 同号 C.b a b a b a -=-=- D.b a b a -=-- 2.已知x<0
有理数的乘除法讲义 一、有理数乘法法则 根据有理数的正负性及其相乘时负因数的个数不同,有理数的乘法法则可以概括为以下几条: 法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. (1)确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为零,只有非零的两数相乘才能使用此法则； (2)数字处理是在符号确定后进行的，其方法与小学里一样； (3)不要与加法法则混为一谈,错误理解为“同号取原来的符号”,如把(-2)×(-3)错误的做成“取原来的符号‘﹣’”,再把绝对值相乘,得﹣6. 法则2：任何数与零相乘，都得零. 法则3：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正。 此法则是法则1的推广，它告诉我们进行多个有理数相乘运算时，首先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘.例如,(-3)(-2)(-8),负因数的个数是3,为奇数,所以积为负,因此,(-3)(-2)(-8)=-3×2×8=-48；又如,(-3)(-2)(+8),负因数的个数是2,为偶数,所以积为正,因此,(-3)(-2)(+8)=3×2×8=48. 显然法则1是法则3的特殊情形. 注意：多个不为0的数相乘，先确定结果的符号，再算出结
果的绝对值。 任何数乘以—1得它的相反数。 法则4：几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 此法则是法则2的推广，用字母可简单表示为：0×a×b=0。如(-28)×(-78)×0×91=0. 二、倒数与负倒数 有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。乘积是—1 的两个数互为负倒数。既数a的倒数为1 a，负倒数为— 1 a。 三、有理数运算规律： 1．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。乘法交换律可用字母简单表示为：ab=ba。 2．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 乘法结合律可以用组合简单表示为：abc=（ab）c=a（bc）。乘法交换律和结合律可以推广为：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个数相乘，积都不变。 3．乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac 四、有理数的除法 （1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数
一对一七年级数学教师辅导讲义
④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向,单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数，也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如，数轴上的点π不是有理数) 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大; ⑵正数都大于0,负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大(小)数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数; ⑵最小的正整数是1,无最大的正整数; ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 5．ａ可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之,a是正数,则a>0; ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ⑶a=0表示ａ是0;反之,a是０,，则a=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。 相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数，０的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个; ⑵０的相反数是0; ⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a＋b=0 ３.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（０除外）在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。 说明:在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5）; ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”,然后化简(如；5a+b的相反数是－(５a+b)。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如:-5的相反数是-(-5),化简得5) 5.相反数的表示方法 ⑴一般地，数ａ的相反数是－a ,其中a是任意有理数，可以是正数、负数或０。
第一讲 有理数得基本概念 板块 1有理数得概念 知识梳理> 1、正数与负数 随着同学们视野得拓展,小学学过得自然数、分数与小数已经丌能满足认知需要了、譬如一些具有相反意义得量,收入 300 元与支出 200 元,向东 50 米与向西 30 米,零上 6 C 与零下 4 C 等等,它们丌但意义相反,而且表示一定得数量,怎么表示它们呢？我们把一种意义得量规定为正得,把另一种与它意义相反得量规定为负得,这样就产生了正数与负数、 正数:像3、1、0、33、2、7%等得数,叫做正数、在小学学过得数,除0外都就是正数、正数都大于 0 、 、2008等在正数前加上“－”(读作负)负数:像1、3、12、17 5 号得数,叫做负数、负数都小于0 数都小于 0 、 一个数字前面得“＋”,“－”号叫做它得符号、正数前面得“＋”可以省略,负数前得“－”号不能省略。 数0既不就是正数,也不就是负数、 用正、负数表示相反意义得量: 如果正数表示某种意义,那么负数表示它得相反得意义,反乊亦然、 譬如:用正数表示向南,那么向北3km可以用负数表示为3km、 “相反意义得量”包括两个方面得含意:一就是相反意义;二就是在相反意义得基础上要有量、 注:(1)正数与零统称为非负数; (2)负数与零统称为非正数; (3)正整数与零统称为非负整数; (4)负整数与零统称为非正整数、 经典例题> (1)下列各组量中,具有相反意义得量就是( ) A、节约汽油 10 升与浪费粮食10kg B、向东走 8 公里与向北走 8 公里 C、收入 300 元与支出 100 元 D、身高180cm 与身高 90cm (2)如果零上 5℃记作5℃,那么零下 5℃记作( ) A、 5 B、10 C、-5℃ D、10℃
第一讲有理数 令狐采学 【1.1正数与正数】 知识点对应训练 知识点1：正数、正数的概念 像3、2、0.5、1.8％这样比0年夜的数叫，根据需要， 有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。正数 前面的“+”，一般省略不写：而像3、2、3.5％这样在正数前面加上 “—”号的数叫。如6，，…。“6”读 作。 【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是正数？ 10，1，0.5，0，36，52 -，15％，60， 53 1 -，22.8 解： 1、下列各数 11 ，0.2，81 -， 7 4 +，1， 1， a， 30％中， （）一定是正数， （）一定是正数。 知识点2：对“0”的理解。 0既不是数，也不是数，它是正数与正数的分水岭。它 的意义很特殊，它既可以暗示“没有”，也可以暗示特定的意义。 【例2】对“0”的说法正确的有（） ①0是正数与正数的分界；②0℃是一个确定的温度； ③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是正数的数。 解： 2下列说法正确的有（）。 ①0是最小的自然数； ②0是整数也是偶数； ③0既非正数也非正数； ④一个数不是正数就是正数； ⑤正数也叫非正数。 ⑥一个数，如果不是正数，肯定就是正数． 知识点3;用正数和正数暗示具有相反意义的量。 相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是 它们都具有数量，并且一定是量。 【例3】下面问题中： （1）将水位上升3m时水位变更记作+3m；则水位下降3m时水位变 更记作3m。 （2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降 3kg，记作3kg （3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作500 元。 （4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作120m. （5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作5m. 表述有毛病的是（）。 3、用正数和正数暗示同一问题中具有相反 意义的量。 ①某校七年级举行足球角逐，一班胜两局， 记作+2；则三班输一局，记作。 ②如果浪费8度电，记作8度；那么节约 15度电记作。 ③如果高于海平面100m记作+100m，那么低 于海平面36m记作。 ④我校的入学检测中，以60分为标准，若 王飞得了85分记作+25分，那么，张生得 了45分记作。
有理数的概念 一．正数、负数和0 像8848.3、100、357、78这样的数是正数；像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数. 0既不是正数，也不是负数. 用正负数可以表示具有相反意义的量. 例题： 1.下列各数3，﹣5，0，?3 4 ，+11 3 ，﹣0.03，6.75中，正数有 2.如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45?0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm ，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm ，﹣0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm ，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm ），其中不合格的是（ ） A. 45.02 B. 45.01 C.44.98 D. 44.93所有 练习： 1．一种面粉的质量标识为“25±0.20千克”，下列面粉中合格的是（ ） A ．25.30千克 B ．24.70千克 C ．25.51千克 D ．24.82千克 2．下列各式结果是负数的是（ ） A ．﹣（﹣3） B ．﹣|﹣3| C ．3﹣2 D ．（﹣3）2
二．有理数的分类 有理数的分类： （1） （2） 非负数是指正数和零的总称，即正数和零. 非正数是指负数和零的总称，即负数和零. 非正整数指不是正整数的其它整数，它包括负整数和0. 非负整数指不是负整数的其它整数，它包括正整数和0. 例题： 1.把下列各数填在相应的横线上： +5，﹣1 2，﹣20，0，3.14，﹣1，﹣9.8，100 分数：________________________________________；非负整数：____________________________________. 练习： 1．在0，2.1，﹣4，﹣3.2这四个数中，是负分数的是（ ） A ．0 B ．2.1 C ．﹣4 D ．﹣3.2 2．在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ()??????????? ??? ???? ?? 正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数 正分数 分数负分数()()???? ?? ? ?? ?????? 正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数
第一章有理数知识网络结构图
知识点1：有理数的基本概念 中考要求： 有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小 数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小 相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 知识点总结： 正数、负数、有理数 随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ?和零下4C ?等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数. 正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像1-、 3.12-、17 5 - 、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号. 正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()??????????? ??? ?????? 正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数 正分数 分数负分数 ()()???? ?? ? ?? ?????? 正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数. 板块一、基本概念 例题讲解
有理数及其运算复习专题 知识回顾： 一、有理数 1、概念：整数和分数统称为有理数。 2、有理数的分类： （1）按定义分：正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 负分数 （2）按性质分： 正整数 正有理数正分数 有理数0 负有理数负整数 负分数 小结：“非负数”包括正有理数和0，“非正数”包括负有理数和0。0不属于正有理数也不属于负有理数。 二、数轴 1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。（数轴“三要素”） 2、数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，0用原点表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。 小结：数轴上，右边的数比左边的数大。 三、相反数 1、概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。 2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 字母表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0。 四、绝对值 1、概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 2、绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。用字母表示： a （a>0） |a| = 0 (a=0） -a （a<0） 小结：绝对值具有非负性；0的绝对值是0。 五、有理数的运算法则 1、（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。 （2）加法运算律：①交换律：a + b = b + a；②结合律：（a + b）+ c = a + (b + c)。 2、（1）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。