５－２ 化二次型为标准形
包括四个内容：１、满秩线性变换与合同矩阵；
２、用正交变换化实二次型为标准形； ３、用配方法化二次型为标准形； ４、惯性定理与实二次型的规范形。
５．２．１满秩线性变换与合同矩阵
一、满秩线性变换与正交变换
复习：Ｐ２１：－６行至Ｐ２２：－１行，线性变换及其矩阵表示 定义：［Ｐ１９４：－６行至Ｐ１９５：８行］ 由变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ到ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的实线性变换??
?
=CY
X )9.5()8.5(矩阵形式代数形式。
当矩阵Ｃ是可逆矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为满秩（可逆）线性变换。 当矩阵Ｃ是正交矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为正交变换。 正交变换是满秩变换，但满秩变换不一定是正交变换。 二、经过满秩线性变换后，原二次型矩阵与新二次型矩阵的关系
设实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）的矩阵为Ａ，则
ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ
＝Ａ）
作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０），得
ｆ（Ｘ）＝ＸＴ
ＡＸ＝（ＣＹ）Ｔ
Ａ（ＣＹ）＝ＹＴ
（ＣＴ
ＡＣ）Ｙ＝ｇ（Ｙ） （５．１０） ｇ（Ｙ）是关于变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ的二次型，并且
（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，所以ＣＴ
ＡＣ是对称矩阵。
可见，经过满秩线性变换后，新二次型的矩阵为：ＣＴ
ＡＣ。
定义５．２［Ｐ１９６：３－７行］ｎ阶方阵Ａ与Ｂ合同：Ａ Ｂ。 合同变换，合同变换的矩阵。
定理：满秩线性变换前后，两个二次型的矩阵是合同的。［从两方面详细讲述］
思考题（１）［Ｐ２０５］若二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ
＝Ａ）经过满秩线性变换Ｘ＝Ｃ
Ｙ化成了二次型ｆ＝ＹＴ
ＢＹ，问Ａ与Ｂ的关系是什么？
本章中心问题：［Ｐ１９５：－６行至－１行］
实二次型
????→?满秩实线性变换
标准形（只含平方项的二次型）
ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２ （ＡＴ
＝Ａ）
实对称矩阵Ａ ＣＴ
ＡＣ＝?????
????
?
?
?n d d d
2
1 实对称矩阵
???→?合同变换实对角矩阵。
三、矩阵合同关系的性质：
１、矩阵合同关系具有：［Ｐ１２５：４题；Ｐ２３７有解答］
（１）自反性：每一个ｎ阶方阵Ａ，有Ａ与Ａ合同。 （２）对称性：若Ａ与Ｂ合同，则Ｂ与Ａ合同。
（３）传递性：若Ａ与Ｂ合同，Ｂ与Ｃ合同，那么Ａ与Ｃ合同。 ２、（保对称性）如果Ａ与Ｂ合同，则Ａ是对称矩阵?Ｂ是对称矩阵。
证明：必要性：设Ａ与Ｂ合同，且Ａ是对称矩阵，即存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴ
ＡＣ＝Ｂ，
ＡＴ＝Ａ。所以ＢＴ＝（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴ
ＡＣ，Ｂ是对称矩阵。
充分性：设Ａ与Ｂ合同，且Ｂ是对称矩阵；即Ｂ与Ａ合同，且Ｂ是对称矩阵；据
必要性的证明知，Ａ是对称矩阵。
３、（保秩性）如果Ａ与Ｂ合同，则秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
证明：如果Ａ与Ｂ合同，则在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，其中ＣＴ
也是可逆矩阵，
于是，秩（Ｂ）＝秩（ＣＴ
ＡＣ）＝秩（ＡＣ）＝秩（Ａ）。
４、二次型ｆ的标准形ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２
中，系数非零平方项的个数就是
ｆ的秩；故标准形中非零平方项的个数由二次型ｆ自身唯一确定。 证明：设作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０）化二次型为标准形，即
ｆ＝ＸＴ
ＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ
（ＣＴ
ＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２
＋ｄ２ｙ２２
＋…＋ｄｎｙｎ２
（ＡＴ
＝Ａ）
有ＣＴ
ＡＣ＝????
?
????
?
?
?n d d d
2
1，所以 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝秩（ＣＴ
ＡＣ）＝ＣＴ
ＡＣ主对角线上非零元的个数 ＝标准形中系数非零平方项的个数。 作业：Ｐ２１５： ４［Ｐ２３７有证明］ Ｐ２１６：１、填空题（２）、（５）。
先讲５．２．３配方法，后讲５．２．２正交变换法
５．２．３用配方法化二次型为标准形
例５．４ ［Ｐ２０２］
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） 既含ｘ１２项，又含ｘ１１
项，用配方法
＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２
＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３
＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１］ 按ｘ１集项，提出ｘ１２
项的系数
＋５ｘ２２＋５ｘ３２
－８ｘ２ｘ３ ＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１＋（ｘ２－ｘ３）２
］ 配上ｘ１一次项系数
－２（ｘ２－ｘ３）２＋５ｘ２２＋５ｘ３２
－８ｘ２ｘ３ 一半的平方
＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３ｘ２２＋３ｘ３２
－４ｘ２ｘ３ 转化为将ｘ２，ｘ３的二次型
＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２
＋３［ｘ２２
－
34ｘ２ｘ３＋94ｘ３２］－34ｘ３２＋３ｘ３２
＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３（ｘ２－32ｘ３）２＋3
5ｘ３２
。只含平方项，不含交叉项
令?
?
???=-=-+=3
3322321132x y x x y x x x y ，即????
?
????
=+=+-=3332232113231y x y y x y y y x ， （５．１６）
得ｆ的标准形为：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｙ１２＋３ｙ２２＋35ｙ３２
。 标准形
（５．１６）是所作的满秩线性变换，其矩阵为Ｃ＝?????
??
????
?????
-100321
03111。 注：此时必有ＣＴ
ＡＣ＝diag ｛２，３，3
5｝，
二次型ｆ的秩＝标准形中系数非零平方项的个数＝３。
例５．５［Ｐ２０３］只含交叉项，不含平方项，先作过渡变换，使它出现平方项。 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１ｘ２－ｘ２ｘ３ 用非零交叉项ｘ１ｘ２作过渡变换
令?????=-=+=33212211y x y y x y y x ，即??????????321x x x ＝??????????-100011011??
??
??????321y y y （５．１７）
得 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）－（ｙ１－ｙ２）ｙ３
＝ｙ１２－ｙ２２－ｙ１ｙ３＋ｙ２ｙ３ 出现ｙ１２
项和含ｙ１的交叉项
＝（ｙ１２
－ｙ１ｙ３＋
41ｙ３２）－4
1ｙ３２－ｙ２２
＋ｙ２ｙ３ 按ｙ１集项、配方 ＝（ｙ１－21ｙ３）２－（ｙ２２－ｙ２ｙ３＋41ｙ３２）＋41ｙ３２－41ｙ３２
＝（ｙ１－21ｙ３）２－（ｙ２－21ｙ３）２
只含平方项、不含交叉项
令?????????=-=-=333223112121y z y y z y y z ，即?????????=+=+=3
3322311
2121y z z z y z z y ，即??????????321y y y ＝???????
?????????
10021102101??????????321z z z （５．１８）
化ｆ为标准形：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｚ１２－ｚ２２
．
将（５．１８）代入（５．１７），得化ｆ为标准形的满秩线性变换为：
??????????321x x x ＝????
?
?????-100011011???????
?
????????
10021102101??????????321z z z ＝??????????-100011111????
??????321z z z ， 该满秩线性变换的矩阵为：Ｃ＝????
?
?????-100011111。 说明：必有ＣＴ
ＡＣ＝diag ｛１，－１，０｝，
二次型ｆ的秩标准形中系数非零平方项的个数＝２。 小结：化二次型为标准形，关键是消去交叉项，分为两种情况：
（１） 含有平方项和交叉项的二次型，用把二次多项式配成完全平方的方法化之。如：
例５．４［Ｐ２０２］。
（２） 只有交叉项，没有平方项的二次型，先用平方差公式作过渡变换，再配方。如：
例５．５［Ｐ２０３］。
作业：Ｐ２１５： ７（１）、（２）。 Ｐ２１７： ３（１）、（２）。
５．２．２用正交变换化实二次型为标准形 （４．４求实对称矩阵的正交标准形）
复习：本章中心问题。
１、在５．２．３我们已经会用配方法求满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化实二次型ｆ＝ＸＴ
Ａ
Ｘ为标准形，即求满秩矩阵Ｃ，使ＣＴ
ＡＣ为对角形——Ａ的合同标准形。
２、在４．４实对称矩阵的对角化知：任意ｎ阶实对称矩阵Ａ，必存在ｎ阶正交矩阵
Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴ
ＡＰ＝diag ｛λ１，λ２，…，λｎ｝，其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。
３、据２得定理５．１［Ｐ１９７：６－１０行］：任意实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ
＝Ａ），总存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ为正交矩阵），化ｆ为标准形
ｆ＝λ１ｙ１２＋λ２ｙ２２＋…＋λｎｙｎ２
其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。
４、用正交变换化实二次型为标准形的步骤：Ｐ２０１：９行至Ｐ２０２：３行。 ５、思考题（２）［Ｐ２０５］：若实对称矩阵Ａ合同于对角矩阵Ｄ，问Ｄ的主对角线上元素必是Ａ的特征值吗？在什么情况下，Ｄ的主对角线上元素是Ａ的全部特征值？
解：若实对称矩阵Ａ合同于对角矩阵Ｄ，Ｄ的主对角线上元素不一定是Ａ的特征值。
如例５．４中实对称矩阵Ａ＝????
??????----542452222合同于对角矩阵Ｄ＝???
???
?
???????3532，但Ａ的特征值为：λ１＝λ２＝１，λ３＝１０。
当存在正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴ
ＡＰ为对角矩阵时，Ｄ的主对角线上元素一定是Ａ的全部特征值。
Ｐ２１６填空题（４）、二次型ｆ（ｘ１，ｘ２）＝２ｘ１２＋２ｘ２２
－２ｘ１ｘ２经正交变换化
成的标准形是 。（不必求出正交矩阵） 解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝?
?
?
?
??--2112。
A E -λ＝
2112
--λλ＝2
11
1)1(--λλ＝)3)(1(--λλ。 Ａ的全部特征值为：λ１＝１，λ２＝３。
所以Ａ可经过正交变换化成标准形：ｙ１２＋３ｙ２２［或３ｙ１２＋ｙ２２
］。 例５．１［Ｐ１９７］求一个正交变换，把下边二次型化为标准形：
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２
＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３。 解：［Ｐ１９７－Ｐ１９８，掌握］必须求出正交矩阵Ｐ。
例５．３［Ｐ１９９］求一个正交变换，把二次型ｆ（ｘ，ｙ）＝５ｘ２－４ｘｙ＋８ｙ
２
化成标准形。
解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝?
?
?
?
??--8225。
A E -λ＝
8
225
--λλ＝4)8)(5(---λλ＝36132
+-λλ＝)9)(4(--λλ Ａ的全部特征值为：λ１＝４，λ２＝９。
对λ１＝４，解方程组（４Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由 ４Ｅ－Ａ＝????
??--4221→??
?
???-0021，通解为：ｘ１＝２ｘ２（ｘ２任意）
。 一个基础解系为ξ＝（２，１）Ｔ
，单位化，得ｅ１＝（5
2，
5
1）Ｔ
，ｅ１为属于
λ１＝４的单位特征向量。
对λ２＝９，解方程组（９Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由
９Ｅ－Ａ＝??????1224→??
?
???1212→??????0012，通解为：ｘ２＝－２ｘ１（ｘ１任意）
。一个基础解系为：ξ２＝（１，－２）Ｔ
，单位化，得ｅ２＝（－
5
1，
5
2）Ｔ
，ｅ２
为属于λ
２
＝９的单位特征向量。
令Ｐ＝（ｅ１，ｅ２）＝?????????
?
?
?
-
525
15152，则Ｐ为正交矩阵，且作正交变换 ??????y x ＝Ｐ??????''y x ，即??????y x ＝?????
?
??
?
??
?
-525
15152??
?
???''y x ，化ｆ为标准形 ｆ（ｘ，ｙ）＝４2
x '＋９2
y '。
说明： Ｐ２００：－５行至Ｐ２０１：１４行：
例５．３用正交变换化实二次型ｆ（ｘ，ｙ）为标准形４2x '＋９2
y '时，由“二次
齐次多项式”变成“二次齐次多项式”不会产生常数项，故该正交变换化二次曲线５ｘ２
－４ｘｙ＋８ｙ２
＝３６为４2x '＋９2
y '＝３６，两边同除３６，得椭圆方程
4
92
2y x '+'＝１。 例５．２［Ｐ１９８］ 已知二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１２
＋ａｘ２２
＋ｘ３２
＋２ｂ
ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２８ｘ２ｘ３，经过正交变换??????????321x x x ＝Ｐ????
?
?????321y y y 化成了标准形ｆ＝ｙ２２
＋４ｙ３２
。求ａ，ｂ的值和正交矩阵Ｐ。 要掌握题目类型
解：令实二次型ｆ的矩阵为Ａ，其正交标准形的矩阵为Ｄ，则
Ａ＝??
??
??????111111a b b ；Ｄ＝?????
?????410。 因为Ａ∽Ｄ，所以Ａ与Ｄ有相同的特征值：λ１＝０，λ２＝１，λ３＝４。
据Ａ所有特征值之和＝Ａ主对角线上元素之和，得１＋ａ＋１＝０＋１＋４， 故ａ＝３。 将ａ＝３及λ
１
＝０代入特征方程，得A E -0＝０，
A E -0＝111131
1---------b
b ＝1
1
1
0210
10------b b ＝－2
110---b b
＝2)1(b -，
令2
)1(b -＝０，得ｂ＝１。于是
Ａ＝????
??????111131111。 求正交矩阵Ｐ，用书，只写主要步骤 对λ
１
＝０，解方程组（０Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，基础解系为ξ１＝（１，０，－１）Ｔ
，
单位化，得ｅ１＝（
2
1，０，
2
1）Ｔ
，ｅ１为属于λ
１
＝０的单位特征向量。
对λ
２
＝１，解方程组（Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，基础解系为ξ２＝（１，－１，１）Ｔ
，
单位化，得ｅ２＝（
3
1，－
3
1，
3
1）Ｔ
，ｅ２为属于λ
２
＝１的单位特征向量。
对λ
３
＝４，解方程组（４Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，基础解系为ξ３＝（１，２，１）Ｔ
，
单位化，得ｅ３＝（
6
1，
6
2，
6
1）Ｔ
，ｅ３为属于λ
３
＝４的单位特征向量。
所求正交矩阵为：Ｐ＝（ｅ１，ｅ２，ｅ３）＝????
???
????????
?-
-613
121623
10
613
12
1。
作业：Ｐ２１５：５（２） 选作５（１）、（３） Ｐ２２１：３（６） 注意基础解系的求法 Ｐ２１５：６
Ｐ２１６：１填空题（４） Ｐ２１７：３（１）、（２）
５．２．４惯性定理与实二次型的规范形 ［实二次型在满秩线性变换下的不变量］
一、设ｎ元二次型ｆ＝ＸＴ
ＡＸ（ＡＴ
＝Ａ），有
ｆ的秩＝秩（Ａ）＝标准形中系数非零平方项的个数。
二次型的标准形不唯一，与所作满秩线性变换有关［如例５．４］；但是标准形中
系数非零平方项的个数唯一，与所作满秩线性变换无关。即 ｎ元二次型
ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｒｙｒ２
（ＡＴ
＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 二、惯性定理与规范形：
定理５．２［Ｐ２０４：－７行至Ｐ２０５］：
惯性定理，正惯性指数、负惯性指数，实二次型的规范形。 例如：Ｐ２０４：－１行至Ｐ２０５：１行。
ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形：
ｆ＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋…＋ｄｐｙｐ２－ｄｐ＋１ｙｐ＋１２－…－ｄｒｙｒ２
（ＡＴ
＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换：
?????
?????
???====++n
n r r r
r
r z y z y z d y z d y 1111
1
11，
化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１２
＋…＋ｚｐ２
－ｚｐ＋１２
－…－ｚｒ２
，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。
小结：实二次型中：
正惯性指数ｐ＝标准形中系数为正的项的个数 ＝规范形中系数为＋１的项的个数；
负惯性指数ｒ－ｐ＝标准形中系数为负的项的个数 规范形中系数为－１的项的个数； 实二次型的秩ｒ＝正惯性指数ｐ＋负惯性指数ｒ－ｐ 作业：Ｐ２４７：２（４） 思考题：Ｐ２０５ （１）、（２）。
§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为： 定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为
????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C '，可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形，令 ??? ? ??=G O O C 12,
化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以 线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型线性替换矩阵标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对 其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。
化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方 把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i 化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方． 关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法 reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量 进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可 逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形 定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y 2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班 学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日 目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。 化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴） (2) 设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵 ５－２ 化二次型为标准形 包括四个内容：１、满秩线性变换与合同矩阵； ２、用正交变换化实二次型为标准形； ３、用配方法化二次型为标准形； ４、惯性定理与实二次型的规范形。 ５．２．１满秩线性变换与合同矩阵 一、满秩线性变换与正交变换 复习：Ｐ２１：－６行至Ｐ２２：－１行，线性变换及其矩阵表示 定义：［Ｐ１９４：－６行至Ｐ１９５：８行］ 由变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ到ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的实线性变换?? ? =CY X )9.5()8.5(矩阵形式代数形式。 当矩阵Ｃ是可逆矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为满秩（可逆）线性变换。 当矩阵Ｃ是正交矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为正交变换。 正交变换是满秩变换，但满秩变换不一定是正交变换。 二、经过满秩线性变换后，原二次型矩阵与新二次型矩阵的关系 设实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）的矩阵为Ａ，则 ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ ＝Ａ） 作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０），得 ｆ（Ｘ）＝ＸＴ ＡＸ＝（ＣＹ）Ｔ Ａ（ＣＹ）＝ＹＴ （ＣＴ ＡＣ）Ｙ＝ｇ（Ｙ） （５．１０） ｇ（Ｙ）是关于变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ的二次型，并且 （ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，所以ＣＴ ＡＣ是对称矩阵。 可见，经过满秩线性变换后，新二次型的矩阵为：ＣＴ ＡＣ。 定义５．２［Ｐ１９６：３－７行］ｎ阶方阵Ａ与Ｂ合同：Ａ Ｂ。 合同变换，合同变换的矩阵。 定理：满秩线性变换前后，两个二次型的矩阵是合同的。［从两方面详细讲述］ 思考题（１）［Ｐ２０５］若二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ ＝Ａ）经过满秩线性变换Ｘ＝Ｃ Ｙ化成了二次型ｆ＝ＹＴ ＢＹ，问Ａ与Ｂ的关系是什么？ 本章中心问题：［Ｐ１９５：－６行至－１行］ 实二次型 ????→?满秩实线性变换 标准形（只含平方项的二次型） ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２ （ＡＴ ＝Ａ） 莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初 等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的 第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 化二次型为标准型公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为 对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; 化二次型为标准型的方法 一、 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线 的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. 莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名：廖丹 学号：410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使 化二次型为标准型的办法 二、 令狐采学 三、 二次型及其矩阵暗示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个 有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针标的目的转轴）'' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不单在几何中呈现，并且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多 项 式 222 12n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来暗示。另ij ji a =a ，i 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 化二次型为标准型的方法 一、绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的 二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 02第二节化二次型 为标准型 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 -4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换化二次型为标准型的方法
化二次型为实用标准形地几种方法
02 第二节 化二次型为标准型
二次型化为标准形的几种方法
化二次型为标准型的方法
5-2 化二次型为标准形
用初等变换化二次型为标准规定型
化二次型为标准型
化二次型为标准型的方法样本
用初等变换化二次型为标准型
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法
02 第二节 化二次型为标准型学习资料
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