图3
G
F
B
C
A
D L
E 2011年中考数学综合训练（几何探究题）
1、两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．
（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______ 和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG 。
图2
图1
G
F
H
D
H
G
F D
A
B
B
A
C
E
C E
A
B D E
C H
F G 图3 A
B D E
C H F G 图1 图2
A B
D
E
C H F G
(2)若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ，则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；. (3)如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 3. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?，点D 为AC 的中点． （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 4、（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．
图 1 图2 图3
M
F
E
D
C
B
B
F
E
D
C
A
A
B
A
C
D E
F
M N
O
H F
图2图1H
F E
B
C D
A E D
B C
A
5.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放
在D处．
(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF 的面积(直接写出结果)．
(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．
设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
6.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．
(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．
(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予
证明．
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
(1)证明：PC＝2AQ．
(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
6.
y
x
A
C
O D
B
O A
B
C B 1
D
y x
2011年中考数学训练（与函数有关的综合题）
1、如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x
的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ， 已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n∠AOC ＝1
3
．
(1)求反比例函数的解读式； (2)求一次函数的解读式；
(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．
2、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，并且OA 、OC 的长满足：
|OA －2|＋(OC －23)2
＝0． (1)求B 、C 两点的坐标．
(2)把△ABC 沿AC 对折，点B 落在点B 1处，AB 1线段与x 轴交于点D ， 求直线BB 1的解读式．
(3)在直线BB 1上是否存在点P 使△ADP 为直角三角形？若存在， 请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3、已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 的图象经过点A (m ，0)、B (0，n )，
其中m 、n 是方程x 2
－6x ＋5＝0的两个实数根，且m ＜n ，． (1)求抛物线的解读式；
(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，求C 、D 点的坐标和△BCD 的面积；
(3)P 是线段OC 上一点，过点P 作PH ⊥x 轴，交抛物线于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，求P 点的坐标．
4、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒１个单位的速度分别从点A 、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为；用含t 的式子表示点P 的坐标为；
（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？
（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且
三角形的面积是△ONC 面积的1
3
？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
O A
B
C
P
N
M x
y
O
A
B
C
x
y
（备用图）
y
x
B
A
O
C
D
1．(1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .
2
2
1
tan 33
10101 3.
AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.
，，
， ∴点A 的坐标为(3，1)．
A 点在双曲线上，13k
∴=，3k =．
∴双曲线的解读式
为3y x
=．
(2)
点(2)B m -，在双曲线3
y x
=
上， 3322
m m ∴-=
=-，． ∴点B 的坐标
为322??
-- ???，． ……231332 1.
2a b a a b b +=??=??∴∴??-+=-??=-??，
，
∴一次函数的解读式
为2
13
y x =-．
(3)C D ，两点在直线213y x =
-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ??
- ???
，
，，． ∴3
12
OC OD ==，，132DC =．
过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．
PDC CDO △∽△，213.4
PD DC DC PD DC OD OD ∴
===， 又139144OP DP OD =-=-=，P ∴点坐标为904?? ???
，．
y x
A
C O
D B
P
E
3．(1)解方程2
650x x -+=，得125,1x x ==．
由m ＜n ，知m =1，n =5．
∴A (1，0)，B (0，5)． ………………………1分 ∴10,5.b c c -++=??
=?解之，得4,
5.b c =-??=?
所求抛物线的解读式为2
4 5.y x x =--+ ……3分
(2)由2
450,x x --+=得125, 1.x x =-=故C 的坐标为(-5，0)． ………4分
由顶点坐标公式，得D (-2，9)．………………………………………………5分 过D 作DE ⊥x 轴于E ，易得E (-2，0)．
∴BCD CDE OBC OBDE S S S S ???=+-梯形
159139255222
+=??+?-??=15．…………………………………………7分 (注：延长DB 交x 轴于F ,由BCD CFD CFB S =S -S ???也可求得) (3)设P (a ，0)，则H (a ，2
45a a --+)．
直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，须且只须BC 等分线段PH ，亦即PH 的中点
y
x
B
A
O
C
第25题图
D
E
(245,2
a a a --+)在直线BC 上．
易得直线BC 方程为： 5.y x =+
∴
245
5.2
a a a --+=+ 解之得121,5a a =-=-(舍去)．故所求P 点坐标为(-1，0)． 4．解：（1）（6，4）；（2
,3
t t ）.（其中写对B 点得1分）
（2）∵S △OMP =
12×OM ×2
3t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =2
13t -+2t ．
＝2
1(3)33
t --+（0 < t <6）．
∴当3t =时，S 有最大值．
（3）存在．
由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43
y x =
． 设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3
b
y x b =-
+， 解方程组433y x b y x b ?=????=-+??得3444b x b
b y b ?
=??+??=?+?
∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b b
b b
++．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
O
A
B
C
x
y
（备用图）
N
M
P R 2
T 1 T 2
R 1 E D 2 D 1