高考三角函数解题方法与技巧
（分为两部分，一是周期，二是公式的灵活应用 ）
高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型。
一、 给值求值
知识点：1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。
2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用。
1（2004天津卷17） 已知2
1
)4
tan(=
+απ
(I)求αtan 的值；
(II)求
α
αα2cos 1cos 2sin 2+-的值。
2（2004.江苏卷17）已知0<α<
2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3
π
α-)的值. 3（2004.湖北卷17）已知6sin 2
α+sin αcos α－2cos 2
α=0，??????∈
ππ,2a ，求??? ?
?
+32sin πa 的值。 4（2004.全国人教版17）已知α为锐角，且21tan =
α，求α
αα
αα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
5（2004.四川卷17）已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=5
1
,(i)求证tanA=2tanB;(ii)设AB=3，求AB 边上的高。 6（05江苏理5分）若1sin()6
3π
α-=
，则2cos(2)3
π
α+= (A)9
7-
(B)31- (C)31 (D)
97
7．（2006年安徽卷）已知310,tan cot 43
παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-?
?
- ?
?
?的值。
8、（07海、宁文理9
）若
cos 2πsin 4αα=?
?- ?
?
?cos sin αα+的值为（ ）
Ａ．2
-
Ｂ．12
-
Ｃ．
12
Ｄ．
2
9（2004.春季北京卷12）
s i n ()s i n ()
c o s ααα
+?--?3030的值为____________。
10（05浙江理14分）已知函数f (x )＝－3sin 2
x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (
256
π
)的值；
(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (
2
α)＝
4
1
，求sin α的值． 11已知α为第三象限的角，3cos 25α
=-
,则tan(2)4
π
α+= . 12 若4
cos 5
α=-
，α是第三象限的角，则1tan 21tan
2
αα
+=-
(A) 12-
(B)
12
(C) 2 (D) -2
13已知1sin cos 2α=
+α，且0,2π??α∈ ???
，则cos 2sin 4πα
?
?α- ?
?
?的值为__________ 14若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1cos()43πα+=
，cos()42πβ-=cos()2βα+= A
B
．C
D
．15、（07四川理17）已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan
的值.
（Ⅱ）求β.
16、（07海、宁文理9
）若
cos 2π2sin 4αα=-
?
?- ?
?
?cos sin αα+的值为（ ）
Ａ．
Ｂ．12
-
Ｃ．
12
二、 解三角形问题
知识点:解三角形的有关问题时，关键是正弦定理、余弦定理 1： 正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
== 2:余弦定理：a =b +c -2bc cos A , ; 3:面积公式：1
sin 2
S ab C =
4:三角形内角和：A+B+C=1800
解题时根据已知条件选用正弦定理、余弦定理或者在同一道题中两个定理同时应用，若给出的方程两边是正弦齐次或边的齐次问题我们就可以把正弦换成相应的边，边换成相应的正弦，从而达到只有边或者只有三角函数的问题。
（2004.四川卷17）已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53
,sin(A-B)=5
1,(i)求证tanA=2tanB;(ii)设AB=3，
求AB 边上的高。
1、（07湖南理12）在ABC △中，角
A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b
c =B = ．
2、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
3（2004.北京卷15）在△ABC 中，sinA+cosA=
2
2
，AC=2，AB=3，求tgA 的值和△ABC 的面积。
4（2004.春季北京卷16） 在?A B C
中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c a cb c
2
2
-=-，求∠A 的大小及b B c
sin 的值
5 （2004.浙江卷17）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，且cos A =3
1 (Ⅰ)求sin
2
2
B C
++cos2A 的值； (Ⅱ)若a =
3,求bc 的最大值。
6（05湖北理12分）在△ABC 中，已知AC B AB ,6
6
cos ,364==
边上的中线BD=5，求sinA 的值.
7．（2006年天津卷）如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，4
3
cos =
C ． （1）求
AB 的值；
（2）求()C A +2sin
的值.
8．（2006年安徽卷）已知
310
,tan cot 43
παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-?
?
- ?
?
?的值。
9 设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
22sin sin(
) sin(
) sin 33
A B B B π
π
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值；
(Ⅱ)
若12,AB AC a ==
,b c （其中b c <）。
10、（07浙江理18）已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=．
（I ）求边
AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为
1
sin 6
C ，求角C 的度数． 11、（07上海理17）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4
π
,2=
=C a ，
5
522cos
=B ，求ABC △的面积S ．
12、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
三：三角函数性质问题
知识点：基本公式 1、定义域，值域，奇偶性，周期性，三角恒等变形，诱导公式，倍角公式，图像，正弦定理，余弦定理，对称轴，中心对称点等
从近几年高考形式来看，这类题型出题可能性非常大，而且还会经常考察向量乘法运算法则，解题时先用第一组公式降次，再用第二组公式达到“同角同名”化的目的。先将函数式化为基
本三角函数的标准式，y=Asin(ωx+φ) 周期 2T π
ω
=
单调区间： 把ωx+φ看做一个整体，用y=sinx 的单调性去解
1：（本小题满分12分） （2006年福建理科）
已知函数f (x )=sin 2x + x cos x +2cos 2x ,x R. （I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？
.2（2008天津理5分）（3）设函数()R x x x f ∈??
?
?
?
-
=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数
(C) 最小正周期为
2π的奇函数 (D) 最小正周期为2
π
的偶函数 3（2008重庆理5分）(10)函数f(x)
02x π
≤≤) 的值域是
（A ）[-
2
] (B)[-1,0] （C ）]
（D ）]
4（2008江苏）1.
()cos()6
f x wx π=-的最小正周期为
5π
，其中0w >，则w =
5（2004.四川卷5）已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(
0,12
π
)，则φ的值可以是( A )
A -6π
B 6π
C 12π-
D 12
π
6（2008北京理13分）已知函数
2π()sin sin 2f x x x x ωωω?
?=++ ?
?
?（0ω>）的最小正周
期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03????
??，上的取值范围．
7已知函数()sin (0,)2
y x π
ω?ω?=+><
的部分图象如题（6）图所示，则
A ． ω=1 ?=
6
π
B ．ω=1 ?=- 6
π
C ．ω=2 ?=
6π
D ．ω=2 ?= -6
π
8
已知函数
2()22sin f x x x -．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；
（II ）求函数
)(x f 的零点集合
9 为了得到函数
sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像
（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π
个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
10．（2006年天津卷）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=x 处取得最小值，则函数
)4
3(
x f y -=π
是（ ）
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(
π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
11（2004.重庆卷17）
求函数
44
sin cos cos y x x x x =+-的取小正周期和取小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。 12．( 2006年重庆卷)设函数f (x )=3cos 2
cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R),且f (x )的图象在y
轴右侧的第一个高点的横坐标为6
x .
（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间
??
?
???-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.
13．（2006年陕西卷）已知函数2())2sin ()().612
f x x x x R ππ
=-+-∈
（I ）求函数
()f x 的最小正周期；
（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合。
14．（2006年广东卷）已知函数R x x x x f ∈+
+=),2
sin(sin )(π
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值；
（Ⅲ）若
4
3
)(=αf ，求α2sin 的值.
2010广东理数 15已知函数
()f x =Asin （3x +?）
（A>0,x ε(-∞,+∞),0
π
时取得最大值4. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求
()f x 的解析式； （3）若f
（
23
a+
12π）=125
，求sina. 16 已知函数()tan(2),4
f x x π
=+
，
（Ⅰ）求
()f x 的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设0,4πα
??
∈ ???
，若()2cos 2,2f αα=求α的大小
2011重庆理数 17设a R ∈，
()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π??
=-+- ???
满足()03f f π??-= ???，求函数
()f x 在11[,]424
ππ
上的最大值和最小值. 2010湖北理数 18已知函数f(x)=11
cos(
)cos(),()sin 23324
x x g x x π
π+-=- （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h （x ）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合
19、（07重庆理17）设2()6cos 2f x x x =．
（Ⅰ）求
()f x 的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α满足
()3f α=-4
tan 5
α的值．
20、（07天津理17）已知函数
()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（Ⅰ）求函数
()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
()f x 在区间π3π84??
????
，上的最小值和最大值．
21、（07全国卷2理17）在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；
（2）求
y 的最大值．
22、（07辽宁理5）若35ππ44θ??
∈ ???
，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4.结合向量再求值的问题
先解向量问题，数量乘积，再回归到前面三种
1（2004.福建卷17）（本小题满分12分）
设函数f(x)=a ·b ，其中向量a=(2cosx ，1)，b=(cosx ， 3sin2x)，x ∈R.
（Ⅰ）若f(x)=1-
3且x ∈[-
3π，3
π
]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2
π
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值。
2（05山东理12
分）已知向量(cos ,sin )m θθ=
和)
()sin ,cos ,,2n θθθππ=
∈ ，且
m n += 求cos 28θπ??+ ???
的值.
3．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=
，且1m n ?=
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若
221sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=m π, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co s π)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++
用锐角三角函数概念解题的常见方法 1．锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义 我们规定： sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ，cotA= b a ． 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数． （2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可 以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2 直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质 （1）0 （2）tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ； （3）tan α= sin cos αα，cot α=cos sin α α ． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）． 有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数 例1. 在ABC ?中，?=∠90C ，如果125 tan = A ，那么sin B 的值等于（ ） 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求 AB AC 的值，而已知的12 5 tan =A ，也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ，选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α，求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1 2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数 高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化 例1．已知2tan =θ，求（1） θ θθ θsin cos sin cos -+； 解：（1）2232 121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+ = -+θθθ θθθ θθθθ； 函数的定义域问题 例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期?? ????-23,2ππ上符合①的角为??? ???-67,6ππ,由此可 得到函数的定义域为????? ? +-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>=a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例3、求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 4 3133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 2 2= D ．22m n = 关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1． (四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度 已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值． 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/3413150180.html, 高中数学三角函数解题方法与技巧分析 作者：王元蕾 来源：《文理导航》2017年第29期 【摘要】在高中学习期间，三角函数是相对独立又颇为重要的一块内容。分析历年来的高考试题可以发现，全国卷中涉及的三角函数的内容一般为选择题（或填空题）和一道大题。选择题的型多变，不易解答。而大题一般出现在第一道大题的位置上，较为简单。另外，数理不分家，三角函数在高中物理的叠加场大题中也发挥着关键作用。总之，加强对于高中数学三角函数内容的学习，十分必要。在本文中，我将介绍自己在高中学习过程中，对三角函数这块内容的理解以及一些解题方法、答题技巧。 【关键词】三角函数；答题技巧；高考 引言 三角函数，顾名思义，与角度和函数有关，数学上对函数的定义为：给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），因此，角度也就是函数定义中A了。据专家、老师以及我的分析，在全国卷中，三角函数题属于低档题，而且三 角函数知识属于高中阶段的工具性知识，因此必须熟练掌握。下面我根据个人经验，从三个方面介绍三角函数的答题技巧。 1.解题时要注意灵活运用基础知识 如例2：如右图所示，在三角形ABC中，已知：tan∠B=3/4，sin∠ADC=4/5，AD长度为5米。求：AB的长度。 解析：由sina/cosa=tana、tan∠B=3/4两个条件可以得出，sina=3/4cosa，再由 sina+cosa=1，联立方程组，再观察图一三角形，可以判断正弦值为正数，可以计算出 sin∠B=3/5。又因为知道sin∠ADC=4/5，则sin∠ADB=sin（180°-∠ADC）=sin∠ADC=4/5。由正弦定理得AD/sin∠B=AB/sin∠ADB，代入数值，解得AB的长度为20/3米。 2.解题时要注重题目的隐含条件 我们都知道三角函数隶属于函数，笔者根据高一学函数时总结的经验可以发现，三角函数题（特别是给出图的题，对图中标注的条件观察不仔细而导致题做不出来）有时候会含有隐含条件，例如：奇偶性、极值、锐角三角形等。 如例3：在銳角三角形ABC中，如果tan∠B=2+√3，sin∠C=√3 /2。求∠A的余弦值。 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简 解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角， 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 209 二○一九年一月（下旬） 高 考 ·考试研究· 高中数学三角函数的解题技巧 山东省济宁市实验中学 薛丁方 摘 要：三角函数是高中数学学习中的主要内容，不仅在高中阶段的数学学习中具有重要地位，而且据了解，历年高考数学题中约15%的考察内容与三角函数有关。想要掌握三角函数的解题技巧，首先需要对三角函数概念、性质、公式具备足够的了解，奠定抓实基础，进而在三角函数的解题过程中总结规律，掌握灵活多变的解题方法，做到活学活用，以此提升三角函数的学习质量。本文在三角函数学习的过程中总结了以下几点经验，以供参考与批评。 关键词：高中数学；三角函数；解题技巧 一、掌握基本概念、性质定理，打好基础 三角函数的内容较为复杂，其中涉及到大量的公式与定理，而每一个三角函数公式的使用条件与定理的使用范围受到题目内容的限制，若是在三角函数学习中没有充分的掌握三角函数的概念、公式、性质，理解程度不够，记忆量不足，缺乏知识的灵活运用能力，就会在三角函数解题过程中盲目性解答，出现错用、错套等问题。基于此，笔者认为提升高中生三角函数解题能力，掌握解题技巧的关键在于打好基础。 1.概念与性质的学习是学生三角函数学习中的基础，只有真正吃透三角函数概念，掌握三角函数的性质，才能具有三角函数概念的灵活运用能力，在三角函数的解题过程中灵活应对,周期性与图像性质是我们在高中阶段三角函数学习中的常见性质，在解题中学生应具备三角函数性质的正确判断能力，通过对其性质的判断降低解题难度。如该题目为三角函数周期性类型，学生在该类问题解答中实现利用角度转换的方式，减少解题过程中的计算难度，利用该问题的类型得出解集，利用周期性三角函数在某一特定区间内的奇偶性和单调性，建立图像，利用其特性，迅速找出问题解决的方法。 2.需要重点学习三角函数公式，公式的学习效果以及应用能力的提升，可以让高中生的三角函数解题更加快速、准确。但是，高中阶段的三角函数公式涉及的内容角度，在强行记忆与三角函数有关的公式下，虽然记忆量增加，众多公式也进入的脑袋里，但是，在面对实际问题解答中如何灵活运用，成为了高中生三角函数学习过程中的又一难题。因为用一类型的三角函数公式具有一定的相似度，很多同学会容易记混、错用，因此，我们可以使用口诀记忆的方式，如“一全正，二正弦，三正切，四余弦”、“函数名不变，符号看象限”等，快速记忆，同时需要通过实际的联系，掌握不同公式之间的差异，区分其具体用法，通过总结与分析，掌握不同公式的应该规律。 二、三角函数解题技巧探究 1.利用转化法，灵活多变，解答问题 在充分了解三角函数概念、性质、定理的基础上，需要我们具有清晰的解题思路，掌握科学、简便的解题方法，以求在有限的时间内快速解答出正确的答案。转化法是我们在高中阶段三角函数学习中常用的一种方法，通过转化法在解题中的应用，可以将原本看似复杂的问题转化为简单易懂的形式，在求解，降低了三角函数问题的解答难度。举例说明： 例1已知sinα+cosα=m2，tgα+ctgα=n，求m 2与n 的关系． 此题看似较为复杂，但只要对tgα+ctgα进行适当转换，并找出sinα+cosα与sinαcosα的关系，就可以快 速解出答案．由于tgα+ctgα=1/sinαcosα，根据题目已知条件，可以得出sinαcosα=1/n，又由于sinαcosα=［(sinα+cosα)2－1］/2=m 2－1/2，因此，可以推导出m2与n 的关系式，即m 2=2/n+1． 2.利用托底法简化表达式 上述中的例题属于容易转化的类型，而在面对不易转化的题目类型时，可以采取托底法简化求解，还是结合一道例题进行具体说明． 例2已知tgα=3，求解sinα－3cosα2sinα+cosα的值． 在该题中，只有把求解表达式化简为包含tgα的形式，才能利用已知条件进行求解．根据求解表达式特点，可以将其分子和分母同时除以cosα，将其转化为tgα－3/2tgα+1，代入已知条件后，可以快速求解出， sinα－3cosα/2sinα+cosα=0．3.总结方法规律 首先，在练习的过程中应选择具有典型特征的题型，盲目性的练习不仅不会提升解题能力，还会增加学习负担。其次，针对性练习，每一种三角函数题型都有其自身的一套解题方法，学生可以采取逐个类型练习的方法，从中总结方法与规律，掌握该类型的解题技巧，再次面对此类型题的时候，就能够轻松应对。三角函数的解题方法分为很多种，除了上述提到的转化法、简化法外，还包括排除法、特殊值法、数形结合法等。通过平时练习中的总结经验、积累和归纳，有助于提升解题速度与准确率。 结语：结合上文可知，三角函数的知识内容繁杂，涉及到的公式较多，对于高中生而言具有一定的学习难度。想要掌握三角函数的解题技巧，要一步一步脚印，扎实基础，吃透三角函数的概念，充分了解不同类型公式的使用条件，具有公式的灵活运用能力，能够根据题目的类型及时判断解题方法，通过对条件以及表达式的转化、简化，梳理清晰的解题思路，避免错误理解题目内容、错用公式，总结规律与经验，以此提升高中生的三角函数解题能力，掌握符合自身学习特点的三角函数解题技巧。 参考文献 [1]例析三角函数求值题的解题技巧[J].彭万雷.华夏教师.2016(12) [2]分析高中数学三角函数解题常见误区及正确解题方案[J].宗位勇.数学大世界(下旬).2016(07) 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。 解析：已知 显然有： 由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜ 点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。 解析：设θ＋15°＝α，则 原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝ 证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） 所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C高考数学解题技巧三角函数
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