直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角
重点二、斜率(倾斜角为α)
重点三、两条直线平行
对于两条不重合．．．
的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2?k 1＝k 2． [归纳总结] (1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．
(2)直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)对于不重合的直线l 1、l 2，其倾斜角分别为α、β，有l 1∥l 2?α＝β．
重点四、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直．
[归纳总结] 当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．
【典题精练】
考点1、直线的倾斜角
例1．下列命题正确的是（ ）．
A ．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α≥
D ．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π
【解析】倾斜角为90?的直线，其斜率不存在，故A 错误；若直线的斜率为tan α，只有当[
)0,απ∈时，
其倾斜角才为α，故B 错误；直线的斜率为0，其倾斜角为0而不是π，故D 错误．故选C ． 所以本题答案为C.
考点点睛： 1.求直线的倾斜角
(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k ，再由k ＝tan α，求倾斜角α．
2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：
α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k 的值依次为0，正值，不存在，负值．
考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率
例2．过两点(4,A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【解析】直线AB 的斜率k ==
,故直线AB 的倾斜角30α=，故选A 考点点睛：
(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．
考点3、两直线平行关系的判断与应用
例3．已知直线1:sin 0l x y θ+=与直线2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使12l l //． 【解析】
12//l l ，112sin sin 0112sin 00θθθ?-?=?∴??-?≠?，sin θ∴=，故θ=()4k k ππ±+∈Z
考点4、两条直线垂直关系的判断与应用
例4．已知()
2
2
2,3A m m +-，()
2
3,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45?，
且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】
()()
22232tan 45123AB
m m
k m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．
3211216AC n k n --=
=-+-，解得85n =，∴点2114,55C ??
???
.
考点点睛：
两条直线垂直的判定条件：
(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；
(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 课后训练：
1．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-
B ．1
2
-
C ．
12
D ．2
【解析】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，
所以20m -=，得2m =．故选：D ． 2．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）
A ．
56
π B ．
34
π C ．
3
π D ．
4
【答案】B
【解析】由题得直线的斜率为1-,故其倾斜角为34
π
.故选B 。 3．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为
A ．1
B ．4
C ．1或3
D ．1或4
【解析】
即
得
选A
4．若直线10ax y ++=与直线420x ay +-=平行，则实数a 的值为( ) A ．2
B ．1
C ．0
D ．2-
【解析】因为直线10ax y ++=与直线420x ay +-=平行，所以
1142
a a =≠-， 所以242a a ?=?≠-?
，解得2a =，故选：A
5．直线350x y +-=的倾斜角为（ ）
A ．30-?
B ．60?
C ．120?
D ．150?
【解析】由题,因为350x y +-=,则353
y x =-
+
, 设倾斜角为α,所以3
tan α=-
,所以150α=?,故选:D 6．点
、若直线过点
，且与线段AB 相交，则直线的斜率的取值范
围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】数形结合如上图所示．可得，
．要使直线过点
，且与线段AB 相交，由
图象知，
．故选A ．
7．已知点(1,3)A ，(1,33)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．60
B ．30
C ．120
D ．150
【解析】因为直线AB 的斜率为
333
3-=-，所以倾斜角为120，选C.
8．已知点23A （，）
在直线11210x ay +：﹣＝上，若21l l ∥，则直线2l 的斜率为（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．
1
2
D ．12
-
【解析】∵点A （2，3）在直线11：2x +ay ﹣1＝0上，∴2×
2+3a ﹣1＝0， 解得a ＝﹣1，∴直线l 1：2x ﹣y ﹣1＝0，∵l 2∥l 1，∴直线l 2的斜率k ＝2．故选：A ． 9．直线
与
平行，则的值等于( )
A ．-1或3
B ．1或3
C ．-3
D ．-1 选D ． 10．若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，则实数b 等于 A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9
【解析】由
得，b 的值为-9，故选D ．
11．如图直线123l l l ，，的倾斜角分别为123ααα，，，则有（ ）
A ．123ααα＜＜
B ．132ααα＜＜
C ．321ααα＜＜
D ．213ααα＜＜
【解析】由图象可知132,,l l l 的倾斜角依次增大，故132ααα＜＜.故选B 12．图中的直线123,,l l l 的斜率分别是123,,k k k ，则有（ ）
A ．123k k k <<
B ．312k k k <<
C ．321k k k <<
D ．231k k k <<
【解析】由图可知：10k >，20k <，30k <，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >，综上可知：231k k k <<，故选D ．
13．直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于______________. 【解析】直线y kx =与直线21y x =+垂直，21k ∴=-，解得1
2k =-
.故答案为：12
-. 14．若直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则实数m =__________．
【解析】直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则有2222m m ?=∴=或2m =-，当2m =时，两直线重合，所以舍掉，2m =-符合题意；故答案为-2 15．直线sin 20x y α-+=的倾斜角的取值范围是______. 【解析】设直线的倾斜角为()0θθπ≤<，则tan sin θα=.
1sin 1,1tan 1αθ-≤≤∴-≤≤,
0,04
π
θπθ≤<∴≤≤
或
34πθπ≤<.即30,,44ππθπ????∈?????????.故答案为：30,,44πππ????
?????????
. 16．已知点()2,1A --和点()2,0B ，过点()1,3P -点的直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是______. 【解析】由题,()()31412PA
k --==---,30
112
PB k -==---,如图所示,
所以4k ≥或1k ≤-,故答案为:(][),14,-∞-+∞
17．当m 为何值时，过两点()3,1A m --，(),2B m m -的直线：
（1）与过两点()3,2，()0,7-的直线垂直（2）与过两点()2,3-，()4,9-的直线平行.
【解析】（1）
72303--=-，13
AB k ∴=-，即()2111333m m m m -+-==---，解得：0m =.
（2）
93242
+=---，2AB k ∴=-，即()211233m m m m -+-==---，解得：5m =-. 18．已知直线l 平行于直线4370x y +-=，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程． 【解析】解法一：∵直线l 与直线4370x y +-=平行，∴43l k =-
．设直线l 的方程为47
()33
y x b b =-+≠，
则直线l 与x 轴的交点为3,04A b ?? ???，与y 轴的交点为(0,)B b ∴2
235||||44AB b b b ??=+= ???
．
∵直线l 与两坐标轴围成的三角形周长是15，∴
35
||1544
b b b ++=．∴||5b =，∴5b =±． ∴直线l 的方程是4
53
y x =-±，即43150x y +±=． 解法二：
∵直线l 与直线4370x y +-=平行，∴设直线l 的方程为430(7)x y C C ++=≠-， 令0x =得3C y =-
，令0y =得4
C y =-， ∴直线l 与x 轴的交点为,04C A ??- ???，与y 轴的交点为0,3C B ??- ???，∴2
2
5||4312C C AB C ????=-+-= ? ?????
．
∵直线l 与两坐标轴围成的三角形周长是15，∴5
153412
C C C -
+-+-=． ∴||15C =，∴15C =±．∴直线l 的方程是43150x y +±=． 19．已知两条直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.
(1)若l 1∥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数a 的值．
【解析】(1)由题可知，直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.
若l 1∥l 2，则
解得a=2或a=-3(舍去)综上，则a=2；
（2）由题意，若l 1⊥l 2，则
,解得
.
20．已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=. （1）若1l 与2l 交于点(),1P m -，求m ，n 的值； （2）若12l l //，试确定m ，n 需要满足的条件； （3）若12l l ⊥，试确定m ，n 需要满足的条件.
【答案】（1）1m =，7n =；（2）4m =，2n ≠-或4m =-，2n ≠-；（3）0m =，n R ∈.
【解析】（1）将点(),1P m -代入两直线方程得：280m n -+=和210m m --=，解得1m =，7n =. （2）由12l l //得：
821m n
m =≠-，∴42m n =??≠-?或42m n =-??≠-?
， 所以当4m =，2n ≠-或4m =-，2n ≠-时，12l l //. （3）当0m =时，直线1l ：8n
y =-
和2l ：12
x =，此时12l l ⊥， 当0m ≠时此时两直线的斜率之积等于1
4
，显然1l 与2l 不垂直，
所以当0m =，n R ∈时，直线1l 与2l 垂直.
21．已知两直线1:260l ax y ++=和2
2:(1)10l x a y a +-+-=
（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）试判断1l 与2l 是否平行. 【解析】（1）由已知条件得212(1)03a a a ?+?-=?=
，故所求实数a 的值为2
3
. （2）由12210A B A B -=，得(1)120a a --?=，即220a a --=，解得1a =-或2a =. 当1a =-时，1l 的方程为260x y --=，2l 的方程为20x y -=，显然两直线平行. 当2a =时，1l 的方程为30x y ++=，2l 的方程为30x y ++=，显然两直线重合.
所以，当1a =-时，12l l //；当()(),11,a ∈-∞--+∞时两直线不平行.
22．已知直线1:260l ax y ++=和直线2
2:(1)10l x a y a +-+-=．
（Ⅰ）1l 与2l 能否平行？为什么？（Ⅱ）12l l ⊥时，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）若1l 与2l 平行，则()12a a -=，解得2a = 或1a =-. 当2a =时，直线1:30l x y ++=和直线2:30l x y ++=．重合，
当1a =-时，直线1:260l x y --=和直线2:20l x y -=．平行，所以当1a =-时1l 与2l 平行. （Ⅱ）若12l l ⊥则()
210a a +-=，解得2
3
a =.
2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计方案 2014年11月
《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案 【授课对象】计算机网络专业二年级学生 【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率 【授课类型】课堂教学 【授课时间】1课时 【教材分析】 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。 【学情分析】 教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。 【教学目标】 根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标： （一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。 （二）能力目标 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。 （三）情感目标 通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。 【教学重难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念， 直线斜率公式及其应用； 难点：斜率公式的推导。
突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。 【教学策略】 1．教学方法：问题探究法 课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究 按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价 尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。 【教学设备】 多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。 【设计思路】 首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。
《直线的倾斜角与斜率》导学案 一、教学内容分析 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。 二、教学目标分析 .理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2.理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析，确定本课时的教学难点为： 直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。
课件1 直线的倾斜角与斜率的关系 课件编号：ABⅡ－3－1－1． 课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）． 图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）． 图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P.
（5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）． 图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色． （8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”． 图4
课题8.2.2直线的倾斜角与斜率课型新授第几 课时 1 课 时 教 学 目 标（三维） 教学重点与 难点 1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围． 2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系． 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力． 教学重点： 直线的倾斜角和斜率． 教学难点： 直线的斜率 教学这节课主要采用讲练结合的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直 方法线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上与两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，手段是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念． 使 用 教 材 的 构 想
α y ☆补充设计☆ 教师行为 学生行为 设计意图 导入; 教师提出问题，学生讨论回 引入本节 1．由一点能确定一条直线吗？ 2．观察并回答问题： y A 答． 课题． 由直观图 形引入问题，激 发学生学习兴 师：从图中可以看出，直线 趣． B C 1 AC 比直线 AB 更陡一些．在数学 －1 O 1 x 中，我们用倾斜角和斜率来衡量 在图中，直线 AB ，AC 都经过哪一点？ 直线相对于 x 轴的倾斜程度． 它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？ 新课： 1．直线倾斜角的定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向 上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角α叫 做这条直线的倾斜角． y l α x O 特别地，当直线与 y 轴垂直时，规定 这条直线的倾斜角为 0?． 2．倾斜角的范围 0?≤ <180?． 3．直线斜率的定义 倾斜角不是 90?的直线，它的倾斜角的 教师对定义进行三方面的诠 释： （1）直线向上的方向； （2）x 轴的正方向； （3）最小的正角． 学生结合图形理解倾斜角的 概念． 教师强调与 y 轴垂直的直线 （包括 x 轴）的倾斜角． 教师强调倾斜角是 90?的直 明确直线 倾斜角的定义． 倾斜角与 正切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表 线的斜率不存在．应当使学生明 斜率的关系． 示，即 k ＝tan α． 练习一 已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ： （1）α＝0?； （2）α＝30?； （3）α＝135?；（4）α＝120?． 探究一 （1）由不同的两点 P 1(x 1， 1)和 P 2(x 2， y 2)能否确定一条直线？ 确所有的直线都有倾斜角，但与 x 轴垂直的直线的斜率不存在． 学生练习，教师巡视点评． 教师指明，当倾斜角是锐角 时，斜率 k 为正值；当倾斜角是 钝角时，斜率 k 为负值． 教师投影探究问题，学生分 使学生通 过练习感悟倾 斜角的变化对 斜率的影响．
直线的倾斜角和斜率 【教学目标】 1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用； 3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养； 4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想． 【教学重点】 斜率概念理解与斜率公式 【教学难点】 斜率概念理解与斜率公式 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。 3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。 提问：
（1）哪些条件可以确定一条直线？ （2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？ （3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？ （4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0 直线的倾斜角与斜率（导学案） 使用说明： 1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本62 59- p页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自测练习。 【学习目标】 1．了解在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念直线的 3．掌握过两点的斜率的计算公式 【重点难点】 重点：直线的倾斜角和斜率的概念； 难点：直线的倾斜角与斜率的关系 一、知识链接 1.在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2．在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、教材助读 1.直线的倾斜角 （1）在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素有 （2）倾斜角的定义是 （3）当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度 （4）直线倾斜角的范围为 试试：请描出下列各直线的倾斜角 函数y=x的图像的倾斜角为 , y=-x的图像的倾斜角 为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为2.直线的斜率 （1）在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？ （2）斜率的定义:一条直线的倾斜角 a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率,记为 k=tan a 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 α=0°时，则k 0°<α< 90°,则k α= 90°，,则k 90 °<α< 180°，则k 3．过两点的直线斜率的公式 (1)由直线上两点) , ( 1 1 y x A、) , ( 2 2 y x B来求直线的斜率k的公式是： 当 2 1 x x≠时，k= 当x1=x2 时, k （2）如果 1 2 1 2 ,x x y y≠ =则直线与x轴k= 如果 1 2 1 2 ,x x y y= ≠则直线与x轴倾斜角等于k （3）直线的斜率与所选择直线上两点的位置有无关系？顺序有无关系？ 预习自测 1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 （１） 30 = α（２） 135 = α（３） 90 = α 2．已知直线的斜率求直线的倾斜角 （１）0 = k（２）1 = k（３）3 - = k（４）k不存在 3．分别求经过下列两点的直线的斜率 （1）（2，3）和（4，5）（2）（-3，-1）和(2，-1) （3）（1，3）和（-1，3 3） 4.过点) ,2 (m P-和)4, (m Q的直线的斜率等于1，则m的值为___________ 基础知识探究 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1) 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足关系式_________;当直线与x轴垂直时，直线的斜率________ 预习案 探究案 直线的倾斜角与斜率的教学设计 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参 3.1.1 倾斜角与斜率导学案 ★学习目标 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题. ★学习重点：直线倾斜角与斜率概念；斜率计算公式. ★学习难点：直线的倾斜角与斜率关系；直线斜率公式的推导. ★学习过程 一、自主学习 阅读课本P82—P86回答下列问题： 问题1、在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？这些直线有什么联系和区别呢? 问题2、怎样描述直线的倾斜程度呢？可以用一个什么几何量来反映这一倾斜程度呢？ 问题3、直线的倾斜角的取值范围是多少？任一直线一定有倾斜角吗？ 问题4、在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？ 问题5、任何直线都有斜率么？斜率为正或负时，直线具有怎样的位置？请用图形语言表 示. 二、合作探究 1、如何在直线l 上任取两个不同点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠坐标计算直线的斜率？ 2、过直线上两点的直线斜率公式适用范围如何？与两坐标的顺序有关吗？当直线与x 轴平行或重合或垂直，公式还适用吗？ 三、训练反馈 1、在平面直角坐标系中，下列叙述中不正确的是（ ） A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B. 每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为?0或?90 D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan 2、填表：已知直线的倾斜角或斜率，求相应的斜率或倾斜角。 参考公式：当α是锐角时，tan 180tan αα?-=-（）. 3、已知A(－3,2),B(4,1),C(0,－2),求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 4、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,－1,2及－3的直线1234,,l l l l 及 四、拓展延伸 经过点P(0,-1)作直线l ，若直线l 与连接A(1,2),B(2,1)的线段总有公共点，找出直线 l 的斜率k 的取值范围，并说明理由. ★学后总结： 1、今天学到了什么？（知识方面） 课题：直线的倾斜角和斜率 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节 一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点： 倾斜角概念的形成，斜率公式的推导 四、教学方法与手段： 计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】 一、知识导入 在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有 序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么， 问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答 预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？ 〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于 激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索 第九章平面解析几何 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程班级__________ 姓名_________ 【概念自查】 一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”，并举反例) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．() (2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.() (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．() (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．() (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．() 【知识梳理】参考《优化方案》P145 1．直线的倾斜角与直线的斜率 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α。 注：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° (2)直线l倾斜角α的范围是． (3)直线的倾斜角α与斜率k的关系：①． ②．（数形结合来解释） 2．直线方程的五种形式 例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.????0，π4∪????3π 4，π C.????0，π4 D.????0，π4∪??? ?π 2，π (2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点， 则直线l 斜率的取值范围为 ． 【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π 4 ≤θ＜π，故选B . (2)如图，因为k AP ＝1－0 2－1＝1， k BP ＝ 3－0 0－1 ＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞ 【考点突破】考点2 求直线的方程 例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5. 【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝ 10 10 (0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1 3. 故所求直线方程为y ＝±1 3(x ＋4)， 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1， 又直线过点(－3，4)， 从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互 相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率 互为负倒数，那么它们互 相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ） 33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 第三章第一节倾斜角与斜率 三维目标 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2．理解直线倾斜角的唯一性和斜率的存在性； 3．掌握过两点的直线的斜率公式； 4. 通过本节课的学习，学生体会数形结合的思想，逐步养成观察和探索的习惯. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 *问题1.初中我们学过一次函数)0(≠+=k b kx y ，请问，一次函数的图象是什么？其中k 的正负对直线有何影响？进一步，当k>0时，随着k 的增大直线有何变化？ 问题2.对于平面直角坐标系内的一条直线l ,它的位置由哪些条件确定的？ 问题3.在数学中，我们可以用哪些量来刻画直线的“倾斜程度”？ 问题4.什么叫直线的倾斜角？它的范围是什么？任何一条直线都有倾斜角吗？ 问题5.什么叫直线的斜率？任何一条直线都有斜率吗？ 问题6.当倾斜角从0o一直增大到180o（0°≤α＜180°）的时候，直线的斜率k 是如何变化的？ 问题7. (小组合作) 探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率？ 平面直角坐标系下，直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) （其中x 1≠x 2），则直线l 的斜率 k= ? 进一步：（1）运用该公式计算经过两点P 1(x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2)的直线l 的斜率时，与这两个点坐标的顺序有关吗？ *（2）当x 1=x 2时，该公式还适用吗？此时直线的斜率如何？ （3）当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，该公式适用吗？直线的斜率等于多少呢？ 【学做思2】 1. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角（或是其它的特殊角）． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(4,4)，(4,5)； (4)( 10,2)，(－10,2)． 【思考】在本例（2）中，直线倾斜角的大小是多少？ 2. 在平面直角坐标系中，画出经过原点并且斜率分别为1，-1,2及-3的直线1234,,,l l l l 3.（1）已知点A(3,4),在坐标轴上有一点B,若直线AB 的斜率等于2，则点B 的坐标为 _____________________;(2) 已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74 ， 则点P 的坐标为________． 【变式】（1） 若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是____________; （2）已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3 )共线，则a ＝____________. 达标检测 直线的倾斜角与斜率 教学目标： 1、了解确定直线位置的几何要素(两个定点、一个定点和斜率) . 2、对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围． 3、理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率． 1. 直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是________． 答案：45° 解析：tan α＝k ＝1，∴α＝45°. 2. (必修2P 115习题2改编)已知过两点A(－a,3)，B(5，－a)的直线的斜率为1，则实数a ＝________. 答案：－4 解析：由k ＝－a －35＋a ＝1，得a ＝－4. 3. 已知过两点A(m 2＋2，m 2－3)，B(3－m 2－m,2m)的直线l 的倾斜角为45°，则实数m ＝________. 答案：－2 解析： ∵m 2－3－2m m 2＋2－(3－m 2－m ) ＝tan45°＝1，∴m 2＋3m ＋2＝0，解得 m ＝－1或－2. 但当m ＝－1时，A 、B 重合，舍去. ∴m ＝－2. 4. 在直角坐标系中，直线y ＝－ 33 x ＋1的倾斜角为________． 答案：5π6 解析：∵tanα＝k ＝－ 33，又α∈[0，π)，∴α＝5π6. 1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定： 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)． 2. 直线斜率的定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tanα.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同． 3. 过两点的斜率公式 过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tanα＝y 2－y 1x 2－x 1 ，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 直线的倾斜角与斜率 导学案 3.1.1直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1 ?理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2?掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3?能用公式和概念解决问题. 【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。 【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 一、自主学习 新知1:当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角叫做_____________ . 关键：①_______ :②_______ :③________ . 注意:当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为______ . 试试：请描出下列各直线的倾斜角 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 反思：直线倾斜角的范围? 新知2： 一条直线的倾斜角 (2)的_叫做这条直线的斜率.记为k= ____________ 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当 0°时，则k ° ;⑵当0 90 ° 时，则k ⑶当 90°时，则k ;⑷当90° 180 ° 时，则k 新知 3：已知直线上两点 R （X 1, yj P 2（X 2 ,y 2）（x X 2) 的直线的斜率公式: k= 练习： 1已知直线的倾斜角 (90 )，则直线的斜率为—；已知直线上两 点A(x“ 且冷x ?，则直线的斜率为 __________ . 2. 若直线I 过(—2,3)和(6, - 5)两点，则直线l 的斜率为 ______ ,倾斜角为 —. 3. __________________________________________________________________________ 斜率为2的直线经过(3, 5)、(a,7)、(— 1,b)三点，贝U a 、b 的值分别为 ___________________ . 4?已知I l ,l 2的斜率都不存在且I i ,l 2不重合，则两直线的位置关系 _______________________ . 5 .已知一直线经过两点A(m,2), B( m,2m 1),且直线的倾斜角为60 ,则 m ________ . 问题1:特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ______ ，两直线位置 关系是 ----- (2) 当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 —，另一条直线的倾 斜角为 ，两直线的位置关系是 ___________ : 普通高中课程标准实验教科书（北师大版） 数学必修2第二章第二节 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 尝 试 探 究 形 成 概 念 问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例） 如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。 坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在 变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟 是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的 关系？ 前进量 坡度比＝前进量 升高量 例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角 的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化 升 高 量 尝 试探究形成概念对 取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系 直线情况 平行于 情况 由左向 右上升 垂直于x 轴 由右向左 上升 的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率 已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直 线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆 注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在 为有利于调动学 生学习的积极 性，加深对两者 关系理解，通过 用几何画板演示 倾斜角与斜率之 间关系，给学生 直观认识，降低 学习的难度 课本中是用坐标 法去推导两点直 线的斜率,学生课 前预习易掌握,在 证明过程中用向 量法来推导两点 确定直线的斜率, 比较两种方法解 题思路不同. 0 x y 新修订高中阶段原创精品配套教材 《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line" 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育 《直线的倾斜角与斜率》导学案 一、教学内容分析 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。 二、教学目标分析 1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析，确定本课时的教学难点为： 直线的倾斜角和斜率（一） 一、知识点： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞 在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率王新敞 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____王新敞 因此，根据定义，我们可以得到倾斜 角的取值范围是___________王新敞 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率王新敞 二、范例： 例1 如图，直线1l 的倾斜角1α＝30°，直线1l ⊥2l ，求1l 、2l 的斜率. 例2 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝4 3π 例3、判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（ ） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（ ） ④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在 （ ） A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4 π 2.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 . 4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 . 5.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 . 6.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 思考： 如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为 2.1.1倾斜角与斜率 【学习目标】 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(数学抽象) 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象) 3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理) 4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算) 情境导学 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向 的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点, 在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为 DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度 水平距离 = DB AD .k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道 路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画 道路的倾斜程度的呢? 阅读反馈（阅读课本，完成反馈内容） 一、直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,与直线l的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角 规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为 记法 图示范围 作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的; (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的,二者缺一不可 微练习1.如图所示,直线l的倾斜角为( ) A.45° B.135° C.0° D.不存在 二、直线的斜率 1.定义与表示 定义(α为直线的倾 斜角) 90≠α 一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率 90=α 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k 表示,即=k 范围 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 2. 填表:斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) 0=α 900<<α 18090<<α 斜率 (范围) 0>k 不存在 斜率 变化 规律 定值 直线逆时针旋转,倾斜角 α在 0至 90间逐渐增 大,斜率也逐渐增大,且恒为正数 不存在 直线逆时针旋转,倾斜角 α在 90至 180间逐渐 增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数 微练习2.已知直线l 的斜率1-=k ,则其倾斜角α= . 三、直线的斜率公式 如果直线经过两点()()()21222111,,,,x x y x P y x P ≠,则直线的斜率公式为1 21 2x x y y k --=. 微练习3.已知点()()3,1,5,321--P P ,则直线2,1P P 的斜率k 等于( ) A.2 B.1 C. 2 1 D.不存在 讨论展示 直线的倾斜角 例1已知直线l 过原点,l 绕原点按顺时针方向转动角( ) 1800<<αα后,恰好与y 轴重合, 求直线l 转动前的倾斜角是多少?2.1.1直线的倾斜角与斜率-导学案
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