导数的应用
二、典型例题
题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限（∞∞）：
（1）0ln tan 2lim ln tan 3x x
x +→ （2）0lim ln x x x +→
（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n
→∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x
x x x ++
→→===． （2）解：原式1'ln 1
lim lim 0t x
L H t t t t
t =→+∞→+∞-==-=．
（3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11()
x x x x x x a x x x a x
a x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12
x x x x x x a x x a x x a x a x π
→-∞→-∞--==++． （4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1)
lim an n an e a n
-→∞++==（不能用'L H ）．
注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x
x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快． 例2、求下列极限（0
000,,1,,0∞
?∞∞-∞∞，）：
（1）4301
sin sin
lim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1
x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--； （4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x
x x π→+∞；（6）101lim()x kx n
x k e n
→=∑；
（7）2122lim()x x x a →∞+． （1）提示：原式3300
32000tan ~sin 11cos 1
lim lim sin lim 36
x x x x x x x x x x x x →→→--+==． （2）提示：解：原式2200
'2001~(1)ln(1)ln(1)1
lim lim 22x L H x x e x
x x x x x x →→--++-+===-． （3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1
lim lim lim (1)tan 22x x x L H x
x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-． （4）提示：原式1'20ln(1)1
lim 2
t x
L H t t t t =→-+==． （5）提示：原式22
2
2
ln arctan arctan 12[(1)]2
lim
1lim
lim 111x x x x
x x x
x
x e
e
e
e ππ
π
π∞
→+∞
→+∞
→+∞
-+-
-====（令
2
arctan 1x t π
-=）．
（6）提示：原式1
1
00
11
ln(
)
11
1lim
1'lim
lim
2
n
n
kx kx n
kx
k k x x x k e n e n n ke L H
n x
x
e
e
e
e
∞==→→→=-+∑∑
∑
====．
（7）提示：原式0
∞=22222ln()2()
'lim
lim
21x x x a x x a L H
x x e
e
→∞→∞++==．
注1
：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求0
1lim 1x
x x
∞→+∞
=，而0
00
lim 1x
x x +
→=．
注2：0
1lim (1)
1x
x x e ∞→+∞
+=≠．
例3、设()1f a ''=，求2
lim [()()2()]h h f a h f a h f a -→++--．
解：原式0
'()'()lim
2h f a h f a h h →+--=00'()'()'()'()
lim lim 122h h f a h f a f a h f a h h
→-→+---=+=-．
例4、设lim )0x ax b →+∞
-=，求b a ,．
提示：由题意知lim )1x a →+∞
==；
1
lim )1)]23x t
x t b x t +
=→+∞
→==． 例5、当0→x 时，x
x
33
tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．
提示：tan tan 00003331tan lim lim lim3ln 3lim x x x x x
k k k x x x x x x x x x -→→→→---==2031'0tan ln 3ln 3lim 3k k L H x x kx =-→==．
例6、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,则a =2，b =1-．
提示： 由题设条件知0
0lim[()(2)(0)](1)(0)h af h bf h f a b f →=+-=+-，有01=-+b a ；
'00()(2)(0)0lim lim[()2(2)](2)(0)L H h h af h bf h f af h bf h a b f h
→→+-'''==+=+，有02=+b a .
例7、若 30
lim [()sin 6]0x x xf x x -→+=，则20
lim [()6]x x f x -→+=36.
提示：由33
lim [()sin 6]lim [(()6)(sin 66)]0x x x xf x x x xf x x x x --→→+=++-=，
知 230
lim [()6]lim (6sin 6)x x x f x x x x --→→+=-=2
lim2(1cos6)36x x x -→-=．
例8、()
130
lim 1(),x
x x f x x e →++=''(0)f 存在，求)0(),0(),0(f f f '''．
提示：由题意知0
lim[())]0x f x x →=，则()0
(0)
lim ()0f x x f f x →==连续
；
且()0
(0)
lim{[()(0)]}lim[())]0f x x x f f x f x f x x →→'=-==可导
；
又()
1
20
lim [()]
1lim[()]
13
lim 1(),x x x x f x x f x x x
x e x f x x e
e
-→→++→=++==知20
lim ()2x x f x -→=，
则''(0)'2000()'()'()'(0)1
2lim lim
lim ''(0)222
f L H x x x f x f x f x f f x x x →→→-====存在，则''(0)4f =． 注1：本题也可换为3
lim[11(1)],n n n nf n e →∞
++=''(0)f 存在，求(0),(0),(0)f f f '''．
提示：若令1n t =，仿例8可求出(0),(0),f f '但对2
lim ()2t t f t -→=左式切勿使用'L H ．
题型二 函数性态的判定、求解与证明
例1、设)(x f y =由1)cos(2-=-+e xy e
y
x 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为022=+-y x ．
例2、对螺旋线θρe =在(,)(,2)e
πρθπ=处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=．
例3、求ln(1)y x e x =+ （0>x ）的渐近线方程． 提示：由1'(0)
lim [ln()]0x t
L H
t y e t =+
→+∞
+==，知0x =不是该曲线的铅直渐近线；
又1'0lim 1,lim ()
lim[ln()1]1x t
L H
x x t y x y x e t t e +
=→+∞
→+∞
→=-+-== ，故1y x e =+为其斜渐近线．
例4、设函数)(x f 连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(C)（局部保号性） (A) )(x f 在（0，)δ内单调增加 (B) )(x f 在)0,(δ-内单调减少
(C) 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例5、下列命题中正确的是(C)
(A) 若)(x f 在),(b a 上可导，且严格单调递增，则必有0)(>'x f (B) 若0()()0f x x x '->对0
0(,)x U x δ∈成立，则0()f x 为极小值
(C) 若00(,())x f x 是函数)(x f 的拐点，则必有0)(0=''x f 或0()f x ''不存在 (D) 0()()f x x x ''-在0
0(,)U x δ上不变号，则00(,())x f x 是)(x f 的拐点
例6、设3
()()
lim 11cos()x a f x f a x a →-=---，则函数()f x 的一个极大值必为)(a f ．（局部保号）
例7、数列21
{(12)}n n +中的最大项为916．
提示：设21
()(12)
,[1,)x f x x x +=∈+∞，令()0f x '=，
则在2ln 2x =处()f x 取得最大值，又22ln 23<<，而(2)12,(3)916f f ==，故该数列的最大值为第三项：916． 例8、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中()y f x ''=的图形如下图所示，则()f x 所示
曲线的拐点个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
提示：0x >时， ()f x ''与x 轴有一个交点，且在交点处左邻右舍所对应的的()f x ''值异号； 在点0x =处左邻右舍所对应的的()f x ''值异号，且()f x 连续，故()f x 有两个拐点.
例9、设)(x y y =由???+-=++=1
3133
3t t y t t x 确定，则曲线)(x y y =向上凸的x 取值范围为]1,()1,(-∞-∞或.
提示：令3
2
3
''()['()'()]()[()()()()]()4(1)
30y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t t t -'''''''==-=+=
得0t =，而2
()3(1)0x t t '=+>，说明x 关于t 单增，故0t <，既1x <时，''()0y x <. 注：(1,1)也为该曲线拐点，且该曲线在点(5,2)-处的曲率为16K =. 例10、设)(x f 二阶导数连续,且x
e x
f x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，
试问（1）若)1( ≠=a a x 是极值点时,是极小值点还时极大值点？
（2）若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点? 提示：（1）将0)(='a f 代入x
e x
f x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，
得0a ≠时，1()(1)1)0a
f a e a -''=-->，则)(x f 在a x =取极小值；
（2）由1()2()(1)(1)x
f x f x e
x -'''-=--，知1
1
lim ()2lim ()1x x f x f x →→'''-=
则,01)1(>=''f 又0)1(='f ，故1=x 为)(x f 的极小值点. （)(x f 在1=x 邻近处为凹） 注：设)(x f 满足2
(1)()2()1x
x f x x f x e
-'''--=-，问(0,(0))f 是否为)(x f 的拐点？
提示：(0)0f ''=，因212()x
e
x f x -'-+可导，则()f x ''也可导，对原方程两端求导，得
1(1)'''()''()2[2()''()]x x f x f x x f x xf x e -'-+-+=，则'''(0)1f =-，故(0,(0))f 为拐点.
三、课后练习
1、计算下列极限（（1）--（6）为(A)；（7）--（12）为(B)）
（1）2244ln()lim ln()x x x e x e x →∞+=+12（2）1ln(1)lim (0)n n n n αα+→∞+>=0（3
）0x →=1
4
- （4
）x x →=1（5）30arctan lim
ln(12)x x x x →-=+16- （6）sin sin 022lim 33x x x arc x x →-=-ln 2ln 3
- （7）201cot lim()x x x x →-=13（8）22201cos lim()sin x x x x →-=43（9）1lim[]ln(11)n n n →∞-=+1
2
- （10）10(1)lim x x x e x →+-=2e -（11）ln(1)
0lim(tan )x x x +-→=1
（12）1lim(tan )21
n n n n π→∞=+1 2(A)、设22
lim [ln(1)()]2x x x ax bx -→+-+=，则(,)a b =(1,52)-.
3(A)、已知2)13(lim 2
=++-+∞
→bx ax x x ，则(,)a b =(9,12)-.
4(A)、设当)1(,02
++-→bx ax e x x 是比2
x 高阶的无穷小，则(,)a b =(12,1).
5(B)、设函数()arcsin f x x =，若)(')(ξxf x f =，则2
20
lim[]x x ξ
→=1.
提示：22
22arcsin
(arcsin )x x x ξ---=-.
6 (A)、设()1,'()ln 2f a f a ==，则lim[(1)()]n
n f a n f a →∞
+= 2．
7 (B)、若2)0(,1)0(='=f f ，则1(1)l i m
[t a n (1)]n f n
n n n
-→∞
=1
6
e
-
.（先求0tan 11
lim
[1()]6
x x x x f x →-=--）
8(B)、若lim (1)0n nf n →∞
=，''(0)4f =，则l
i m [1(1)]n
n n f n
→∞
+= 2e .（先求2
lim ()2x x f x -→=）
9(B)、设'()f x 在x = 0处连续，又2
1
lim[sin ()]2x x x x f x --→+=，则(0)f =1-，(0)f '=2． 提示：2
1
2
1
2lim[sin ()]lim (sin )lim [()1]x x x x x x f x x x x x f x ----→→→=+=-++．
10 (B)、当n →∞，444ln ,ln ,ln ,4n
n n n 趋于无穷大速度最慢与最快的分别是(D)
(A) 4
ln ln ,4n
n (B) 4
4
ln ,n n (C) 4
ln ln ,4n
n (D) 44
ln ,n n
提示：ln ln 44
n n =．
11 (A)、设10
()ln f x x =，()g x x =,10()x h x e =,则当x 充分大时有（C ） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<
12(B)、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，
)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．
13（A ）、曲线???==t
e y t
e x t
t cos 2sin 在点)1,0(处的法线方程为012=-+x y . 14（A ）、若曲线b ax x y ++=2和3
12xy y +-=在点)1,1(-处相切，则 (,)a b =(1,3)--. 15（A ）、设曲线)(x f y =和x x y -=2
在点()0,1处有公切线，则
()l i m (2)n n f n n →∞
+=2-．
16（A ）、曲线极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6θπ=处的切线与法线的直
角坐标方程（切线：(540x y -+-=，法线：(140x y ++=）. 17（A ）、证：1(0)y x x =>上任一点处切线与两坐标轴所围的直角D 面积恒为2.
18（A ）、证明： 23
223x
y a +=上任一点的切线在,x y 轴上截距的平方和为常数. 19（A ）、求曲线 x x y arctan =的渐近线（有两条斜渐近线 21y x π=±-）. 20（B ）、若)(x f 连续，且周期为5，当0x →，)(8)sin 1(3)sin 1(x x x f x f α+=--+，其中)(x α是x 的高阶无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点(6,(6))f 处的切线方程.（提示：'(6)'(1)f f =，切线方程为)6(2-=x y ）
21（A ）、设()(1)f x x x =-, 则(C)
(A)0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点 (B)0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点 (C)0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点
(D)0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点 22（A ）、设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是（B ）
（A ）(0)f 是极大值，(2)f π是极小值. （B ）(0)f 是极小值，(2)f π是极大值. （C ）(0)f 是极大值，(2)f π也是极大值. (D) (0)f 是极小值，(2)f π也是极小值. 23（A ）、设)(x f 满足2
2
()[()]1f x f x x '''+=+，且'(0)0f =，则(B) (A)(0)()f f x 为的极大值 (B)(0)()f f x 为的极小值 (C) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点
(D))0(f 不是)(x f 极值，))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点
24（A ）、设()f x 有二阶连续导数，且(0)0f '=，0
lim[()]1x f x x →''=，则（B ）
（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点
（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点
25（A ）、设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且''()0g x <。若0()=g x a 是()g x 的极值，则[]()f g x 在0x 处取得极大值的一个充分条件是（B ）
(A)()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)()0f a ''> 26（A ）、设函数4
2
()f x x ax bx =-+的图象为凹曲线，则a b ，应满足 (A) (A) 0a b R ≤∈， (B) 0a R b ∈≤， (C)0a b R ≥∈， (D)0a R b ∈≥， 27（A ）、设3)]([)(x x f ?='，其中0)(>'x ?，则必有)(x f 在R 内为 (C) (A)单调增 (B)单调减 (C)（上）凹的 (D)（上）凸的 28（B ）、设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其导函数图形如下，则)(x f 有（C ） （A ）一个极小值和两个极大值 （B ） 两个极小值和一个极大值 （C ） 两个极小值和两个极大值 （D ） 三个极小值和一个极大值
29（A ）、设1()f x -=
30（A ）、若c bx ax x y +++=2
3上有拐点)1,1(-，且0=x 时曲线上点的切线平行于x 轴，试确定,,a b c .(,,)(3,0,1)a b c =-
31（A ）、设())x
f x e -=，问其何时出现极大值与极小值？
提示：当)3
x k π
π=
+，其有极值，k 为偶数，有极大值；k 为奇数，有极小值. 32（B ）、设n x nx x f )1()(-=（N n ∈），记)(max )(]
1,0[x f n M x ∈=，则lim ()n M n →∞
=1
e -.
33（B ）、设可导函数)(x f y =由32233
23=+-y xy x 所确定，讨论)(x f 的极值. 提示：令'0y =，由22
''|140x y y =-==>，知)(x f 在2-=x 处有极小值2=y .
34（B ）、设)(x f 二阶可导，且20000
lim [()()()]0h h f x h f x f x a -→'+--=≠,试讨论)(x f 在
0x 点的极值（ 0a >时,0x 为极小值点; 0 35（B ）、设()()2xf x f x x '''+=，且()00f '=，试问()f x 在0x =处的极值性？ 提示：用定义可证()''01f =，易知()f x 在0x =处取得极小值. 36（B ）、曲线()2 3 4 (1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的一个拐点为（C ） （A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0) 37（A ）、设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. （凸弧） 38（B ）、若2 arctan ln(1)sin x t y t y =?? =--?确定了二阶可导函数()y y x =， 试讨论()y y x =在0x =处的极值性与局部凹凸性.（极大值(0)0y =，凸弧） 39（B ）、设函数)(x f 满足关系式x x f x f sin )]([)(2 ='+'',且0)0(='f ，试问点))0(,0(f 是不是曲线)(x f y =的拐点？ 提示：因(0)0,f ''=对x x f x f sin )]([)(2 ='+''两端求导，确定'''(0)1f =，是拐点. 40（A ）、设)(x f 在],0[a 上二次可微，且0)(,0)0(<''=x f f ，令()()g x f x x =， （1）为使)(x g 在],0[a )0(>a 上连续，应加什么条件？（(0)(0)g f '=） （2）在（1）的条件下，证明：)(x g 在],0[a 上单调减少． 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ） 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 导数及其应用测试题 一、选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．) 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5 )′＝－15 x －6 2．函数y ＝x 2 (x －3)的减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(0,2) D ．(－2,2) 3．曲线y ＝4x －x 3 在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝7x ＋2 C ．y ＝x －4 D ．y ＝x －2 4．若函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 －9在x ＝－2处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．函数y ＝13 x 3＋x 2 －3x －4在[－4,2]上的最小值是( ) A ．－ 173 B.163 C ．－643 D ．－113 6．若曲线y ＝1 x 在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A.????12，2 B.????－12，－2或????12，2 C.????－12，－2 D.????1 2，－2 7．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x )( ) A ．在(－∞，0)上为减函数 B ．在x ＝0处取极小值 C ．在(4，＋∞)上为减函数 D ．在x ＝2处取极大值 8．若f (x )＝－x 2 ＋2ax 与g (x )＝ a x ＋1 ，在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 9．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( ) A ．2∶1 B ．1∶πC．1∶2 D ．2∶π 10．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=， 且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ） Ａ．()0f x '>，()0g x '> Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ． ()0f x '<，()0g x '> Ｄ． ()0f x '<，()0g x '< 11.已知f(2)=-2,f ′(2)=g(2)=1,g ′(2)=2,则函数()() g x f x 在x=2处的导数值为( ) A.- 54 B.5 4 C.- 5 D.5 12．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（） ≥0，则必有（ ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ） （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。 解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。 解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈， 使()0 f ξ'==，解出2ξ=。 解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a => 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(导数及导数应用专题练习题
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