第3章命题逻辑的推理理论
3.1 推理的形式结构
一、有效推理
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
关于定义3.1还需要做以下几点说明：
1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。
2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：
(1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0.
(2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1.
(3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0.
(4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1.
由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
例3.1判断下列推理是否正确：
(1){p,p→q}q
(2){p,q→p}q
解只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.
(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.
表3.1
对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。在(1)中，当q 为假时，无论p是真是假，p∧(p→q)均为假，因而不会出现前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理正确。而在(2)中，当q为假，p为真时，出现了前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理不正确。
二、有效推理的等价定理
定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当
(A1∧A2∧…∧A k )→B
为重言式。
证首先证明其必要性。若A1,A2,…,A k推B的推理正确，则对于A1,A2,…,A k,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1∧A2∧…∧A k为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧A k )→B均为真，故它为重言式。
再证明其充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式，则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧A k
为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：
前提：A1,A2,…,A k
结论：B
是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确
{A1,A2,…,A k} B
可记为
A1∧A2∧…∧A k B
其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法：
1．真值表法
2．等值演算法
3．主析取范式法
下面用例子说明。
例3.2判断下面推理是否正确：
(1)若a能被4整除，则a能被2整除；A能被4整除。所以a能被2整除。
(2)若a能被4整除，则a能被2整除；A能被2整除。所以a能被4整除。
(3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳了。
(4)若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了30℃。
解解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号化。然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。
(1)设
p：a能被4整除。
q: a能被2整除。
前提：p→q，p
结论：q
推理的形式结构：(p→q)∧p→q (3.1)
由例3.1可知，此推理正确，即(p→q)∧p q。
(2)设p，q的含义同(1)。
前提：p→q，q
结论：p
推理的形式结构：(p→q)∧q→p (3.2)
当然可以用真值表法、等值演算、主析取范式等方法来判断(3.2)式是否为重言式。但在此推理中，容易看出01是(3.2)式的成假赋值，所以(2)推理不正确。
(3)设
p：马芳下午看电影。
q：马芳下午去游泳。
前提：p∨q，┐p
结论：q
推理形式结构：((p∨q)∧┐p)→q (3.3)
用等值演算法来判断(3.3)式是否为重言式。
((p∨q)∧p)→q
┐((p∨q)∧┐p)∨q
((┐p∧┐q)∨p)∨q
((┐p∨p)∧(┐q∨p))∨q
┐q∨p∨q
1
这说明(3.3)式为重言式，所以推理正确。
（4）设
p：下午气温超过30℃。
q：王小燕去游泳。
r：王小燕去看电影。
前提：p→q，q→┐r
结论：┐r→p
推理的形式结构：((p→q)∧(q→┐r))→(┐r→p) (3.4)
用主析取范式法判断(3.4)式是否为重言式。
((p→q)∧(q→┐r))→(┐r→p)
┐((┐p∨q)∧(┐q∨┐r))∨(r∨p)
((p∧┐q)∨(q∧r))∨r∨p
r∨p (用两次吸收律)
(p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r) ∨(p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧r) m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7（重排了序）
可见(3.4)式不是重言式（主析取范式中少两个极小项m0，m2），所以推理不正确。
三、重言蕴涵式
由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A B，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称
1．A(A∨B) 附加律
2.(A∧B) A 化简律
3.(A→B)∧A B 假言推理
4.(A→B)∧┐B┐A 拒取式
5.(A∨B)∧┐B A 析取三段论
6.(A→B)∧(B→C)(A→C) 假言三段论
7.(A B)∧(B C)(A C) 等价三段论
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D) 构造性二难
(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)
9.(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)
(┐A∨┐C) 破坏性二难
这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
3.2 自然推理系统P
一、形式推理系统
我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：
（1）非空的字符表集，记作A(I)。
（2）A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作A X(I)。
（4）推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为
形式系统一般分为两类。一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。
二、自然推理系统P
P是一个自然推理系统，因而没有公理。故P只有三个部分。
定义3.3自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1）命题变项符号：p，q，r，…,p i，q i，r i，…
（2）联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3）括号和逗号：( , )，，
2．合式公式同定义1.6
3．推理规则
（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
（4）假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧A B可知，B是A→B和A的有效结论。由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。用图式表示为如下形式：
以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
（5）附加规则：
（6）化简规则：
（7）拒取式规则：
（8）假言三段论规则：
（9）析取三段论规则：
（10）构造性二难推理：
（11）破坏性二难推理规则：
（12）合取引入规则：
本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。
这就完成了P的定义。
三、P中的证明
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。当然此结论
也为P中公式。
例3.3在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s
结论：r∧(p∨q)
(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s
结论：p→s
解 (1)证明：
①p→s 前提引入
②┐s 前提引入
③┐p ①②拒取式
④p∨q 前提引入
⑤q ③④析取三段论
⑥q→r 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
⑧r∧(p∨q) ⑦④合取
此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。
(2)证明：
①┐p∨q 前提引入
②p→q ①置换
③r∨┐q 前提引入
④q→r ③置换
⑤p→r ②④假言三段论
⑥r→s 前提引入
⑦p→s ⑤⑥假言三段论
从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
例3.4在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所以a是无理数。
解首先将简单命题符号化：
设p：a是实数。
q：a是有理数。
r：a是无理数。
s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s
结论：r
证明：
①p∧┐s 前提引入
②p ①化简
③┐s ①化简
④p→(q∨r) 前提引入
⑤q∨r ②④假言推理
⑥┐s→┐q 前提引入
⑦┐q ③⑥假言推理
⑧r ⑤⑦析取三段论
P中证明的两个常用技巧：
1．附加前提证明法
2．归谬法
四、附加前提法
有时推理的形式结构具有如下形式
（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B) （3.5）
（3.5）式中结论也为蕴涵式。此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。即，将（3.5）化为下述形式
(A1∧A2∧…∧A k∧A)→B （3.6）
其正确性证明如下：
（A1∧A2∧…∧A k)→(A→B)）
┐(A1∧A2∧…∧A k)∨(┐A∨B）
┐(A1∧A2∧…∧A k∨┐A)∨B
┐(A1∧A2∧…∧A k∧A)∨B
(A1∧A2∧…∧A k∧A)→B
因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。
例3.5在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
解将简单命题符号化：
设p:小张去看电影。
q:小王去看电影。
r:小李去看电影。
s:小赵去看电影。
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q
结论：s→r
证明：用附加前提证明法。
①s 附加前提引入
②┐s∨p 前提引入
③p ①②析取三段论
④(p∧q)→r 前提引入
⑤q 前提引入
⑥p∧q ③⑤合取
⑦r ④⑥假言推理
思考：不用附加前提证明法构造例3.5的证明。
五、归谬法
在构造形式结构为
(A1∧A2∧…∧A k)→B
的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出(A∧┐A)，则说明推理正确。其原因如下：
(A1∧A2∧…∧A k)→B
┐(A1∧A2∧…∧A k)∨B
┐(A1∧A2∧…∧A k∧┐B)
若(A1∧A2∧…∧A k∧┐B)为矛盾式，正说明(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式，即(A1∧A2∧…∧A k)B,
故推理正确。
例3.6在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A 队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B 队投球。
解先将简单命题符号化。
设p:小张守第一垒。
q:小李向B队投球。
r:A队取胜。
s:A队获得联赛第一名。
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p
结论：┐q
证明：用归谬法
①q 结论的否定引入
②┐r∨s 前提引入
③┐s 前提引入
④┐r ②③析取三段论
⑤(p∧q)→r 前提引人
⑥┐(p∧q) ④⑤拒取式
⑦┐p∨┐q ⑥置换
⑧p 前提引入
⑨┐q ⑦⑧析取三段论
⑩q∧┐q ①⑨合取
由于最后一步q∧┐q0，即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q0，所以推理正确。
思考：不用归谬法证明例3.6
主要内容
1. 推理的形式结构：
①推理的前提
②推理的结论
③推理正确
④有效结论
2. 判断推理是否正确的方法：
①真值表法
②等值演算法
③主析取范式法
3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明
4. ①自然推理系统P的定义
②自然推理系统P的推理规则：
前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法
④归谬法
学习要求
1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即
①{A1,A2,…,A k}├B
②A1∧A2∧…∧A k→B
③前提与结论分开写：
前提：A1,A2,…,A k
结论：B
在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会用附加前提证明法和归谬法。
1.分别用真值表法、等值演算法、主析取范式法、构造证明法，证明下面推理是正确的。设a,b∈R（R为实数集）。推理如下：
“若a是奇数，则a不能被2整除；若a为偶数，则a能被2整除。因此，若a为偶数，则a不是奇数。”
提示参看真值表，等值演算，主析取范式，在P系统中构造证明。
答案
先将简单命题符号化，然后写出推理的前提和结论。
令p：a是奇数，q：a是偶数，r：a能被2整除。
前提：p→┐r，q→r
结论：q→┐p
方法一、用真值表法证明推理正确。
首先写出推理的形式结构，并记为（*）
(p→┐r)∧(q→r)→(q→┐p) （*）
然后制作（*）的真值表，见下表
（*）的真值表
由于真值表的最后一列全为1，故（*）为重言式，因而推理正确。
方法二、等值演算法
(p→┐r)∧(q→r)→(q→┐r)
(┐p∨┐r)∧(┐q∨r)→(┐q∨┐p) （蕴涵等值式）
┐((┐p∨┐r)∧(┐q∨r))∨(┐q∨┐p) （蕴涵等值式）
(p∧r)∨(q∧┐r)∨┐q∨┐p （德·摩根律）
((p∧r)∨┐p)∨((q∧┐r)∨┐q) （交换、结合律）
(┐p∨r)∨(┐q∨┐r) （排中律、同一律）
(r∨┐r)∨┐p∨┐q （交换、结合律）
1∨┐p∨┐q （排中律）
1 （零律）
由于等值演算的结果为1，所以（*）为重言式，故推理正确。
方法三、主析取范式法
(p→┐r)∧(q→r)→(q→┐p)
(p∧r)∨(q∧┐r)∨┐q∨┐p（见方法二第4式）
(m5∨m7)∨(m2∨m6)∨(m0∨m1∨m4∨m5)∨(m0∨m1∨m2∨m3)
m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7
由于（*）中含3个命题变项，因而共可产生8个极小项，（*）的主析取范式中含全部8个极小项，所以（*）为重言式，故推理正确。
注意：在演算的倒数第二步，由括号括起来的极小项分别是由相应的简单合取式
派生的极小项。
方法四、构造证明法
证明：
①p→┐r前提引入
②┐p∨┐r①置换
③┐r∨┐p②置换
④r→┐p③置换
⑤q→r前提引入
⑥q→┐p⑤④假言三段论
还可以使用附加前提证明法。
证明：
①q附加前提引入
②q→r前提引入
③r①②假言推理
④p→┐r前提引入
⑤┐p③④拒取式
2.证明下面的推理不正确
如果今天是星期日，则明天是星期一；明天是星期一。所以今天是星期日。
提示参看真值表，等值演算，主析取范式，推理的形式结构，推理不正确。
答案首先将简单命题符号化，然后写出推理的形式结构。
令p：今天是星期日，
q：明天是星期一。
推理的形式结构为
(p→q)∧q→p （*）
判断（*）不正确，一般可以用4种方法：真值表法，等值演算法，主析取范式法，观察成假赋值法。
方法一、真值表法
（*）的真值表为
从真值表可知01是（*）的成假赋值，故（*）不是重言式，因而推理不正确。
方法二、等值演算法
(p→q)∧q→p
(┐p∨q)∧q→p（蕴涵等值式）
┐((┐p∨q)∧q)∨p（蕴涵等值式）
┐q∨p（吸收律）
p∨┐q（交换律）
由最后的式子可知01为成假赋值，所以推理不正确。
方法三、主析取范式法
(p→q)∧q→p
p∨┐q（见方法二）
(m2∨m3)∨(m0∨m2)
m0∨m2∨m3
主析取范式中缺m1，故（*）不是重言式，因而推理不正确。
方法四、观察法
从推理的形式结构可以观察到，当p为0，q为1时，使得蕴涵式的前件(p→q)∧q为真，而后件p为假，故（*）不是重言式，因而推理不正确。
观察法看起来简单，但当出现的命题变项较多时，不容易观察出成假赋值（即使存在），所以使用哪种方法，要根据具体情况而定。
3.在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
（1）前提：p→r，q→s，p∨q；结论：r∨s
（2）前提：p→(q→r)，p，q；结论：r∨s
（3）前提：┐p∨r，┐q∨s，p∧q；结论：r∧s
（4）前提：p→(q→r)，s→q，q；结论：s→r
提示参看系统P中的推理规则，构造证明，基本等值式。
答案
（1）直接证明
证明：
①p→r 前提引入
②┐p∨r ①置换
③┐r→┐p ②置换
④p∨q 前提引入
⑤┐p→q ④置换
⑥┐r→q ③⑤假言三段论
⑦q→s 前提引入
⑧┐r→s ⑥⑦假言三段论
⑨r∨s ⑧置换
本推理也可用归缪法证明：
证明：
（1）┐(r∨s) 结论的否定引入
（2）┐r∧┐s （1）置换
（3）p→r 前提引入
（4）┐r （2）化简
（5）┐p （3）（4）拒取式
（6）q→s 前提引入
（7）┐s （2）化简
（8）┐q（6）（7）拒取式
（9）┐p∧┐q （5）（8）合取
（10）┐(p∨q) （9）置换
（11）p∨q 前提引入
（12）(p∨q)∧┐(p∨q) （10）（11）合取(12）为矛盾式，由归缪法可知推理正确。
因为结论：r∨s┐r→s，所以还可用附加前提证明：
①┐r 附加前提引入
②p→r 前提引入
③┐p ①②假言推理
④p∨q 前提引入
⑤q ③④析取三段论
⑥q→s 前提引入
⑦s ⑤⑥假言推理
由附加前提证明法可知，推理正确。
（2）证明：
①p→(q→r) 前提引入
②p 前提引入
③q→r ①②假言推理
④q 前提引入
⑥r∨s ⑤附加
注意：有人说，前提中无s出现，结论却有s出现，所以推理不正确。此说法不对，他忘了附加推理规则。
（3）证明：
①┐p∨r 前提引入
②p∧q 前提引入
③p ②化简
④r ①③析取三段论
⑤┐q∨s 前提引入
⑥q ②化简
⑦s ⑤⑥析取三段论
⑧r∧s ④⑦合取
（4）证明：用附加前提证明法
①s 附加前提引入
②s→p 前提引入
③p ①②假言推理
④p→(q→r) 前提引入
⑤q→r ③④假言推理
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
由附加前提证明法可知，推理是正确的。
本推理也可以直接证明
①s→p 前提引入
②p→(q→r) 前提引入
③s→(q→r) ①②假言三段论
④┐s∨(┐q∨r) ③置换
⑤┐q∨(┐s∨r) ④置换
⑥q→(s→r) ⑤置换
4.在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果今天是星期六，我们就到颐和园或圆明园去玩；如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩；今天是星期六，并且颐和园游人太多。所以我们去圆明园玩。
提示参看命题符号化，推理的前提、结论，构造证明，推理规则，基本等值式。
答案先将简单命题符号化
令p：今天是星期六，
q：我们到颐和园去玩，
r：我们到圆明园去玩，
s：颐和园游人太多。
前提：p→(q∨r)，s→┐q,p,s
结论：r
证明：①p→(q∨r) 前提引入
②p 前提引入
③q∨r ①②假言推理
④s→┐q 前提引入
⑤s 前提引入
⑥┐q ④⑤假言推理
⑦r ③⑥析取三段论
第二章 命题逻辑 习题．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴p (q r )。⑵p q 。⑶q p 。⑷q p 。 习题 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p q ，p 二层： p q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p q )(q ( q r ))是5层公式，这是因为 一层：p q ，q ，r 二层：q r 三层：q ( q r ) 四层： (q ( q r )) 2．解 ⑴A =(p q )q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 p q q p ∨ A 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。真值表如表2-2所示：
第3章命题逻辑的推理理论 主要内容 1. 推理的形式结构： ①推理的前提 ②推理的结论 ③推理正确 ④有效结论 2. 判断推理是否正确的方法： ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明 4. ①自然推理系统P的定义 ②自然推理系统P的推理规则： 前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。 ③附加前提证明法 ④归谬法 学习要求 1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即 ①{A1,A2,…,A k}├B ②A1∧A2∧…∧A k→B ③前提与结论分开写： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。 2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。 3. 牢记P系统中的各条推理规则。 4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。 5. 会用附加前提证明法和归谬法。 3.1 推理的形式结构 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理 定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧A k )→B 为重言式。 A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确 {A1,A2,…,A k} B 可记为 A1∧A2∧…∧A k B 其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。 而判断命题公式永真性有三个方法： 1．真值表法 2．等值演算法 3．主析取范式法 三、重言蕴涵式 由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
司法推理的概念分析 学者们对于法律推理的涵义，至今未能统一，总体可归纳为以下三种观点： 一是法律推理即法律逻辑。这种观点在国内外有一定的代表性。认为法律推理是形式逻辑在法律中的应用，是一种逻辑学理论在法学领域中的应用活动。《牛津法律大辞典》解释为："法律推理大体上是对法律命题运用一般逻辑推理的过程"。国内出版的法律逻辑学著作中，对法律逻辑的定义大都使用与这一定义类似，如吴家麟主编的《法律逻辑学》一书中认为："法律逻辑学是一门应用性质的形式逻辑分支学科，它的任务在于把形式逻辑一般原理应用于法学和法律工作的实际，探索在法律领域应用形式逻辑的具体特点，因此，法律逻辑学并没有与传统形式逻辑不同的特殊对象，研究的还是属于思维领域的现象。"这种将法律推理定义为运用形式逻辑规则去解析司法实例的法律推理观，有它的不妥之处，主要表现在：一方面，从逻辑理论和实践的产生关系来看，"亚里士多德的逻辑，在古希腊丰富的论辩材料和几何证明材料的基础上，对正确论辩和有效证明的思维经验的总结"①，这说明就在亚里士多德概括总结逻辑思维方式的理论之前，就已经存在了运用逻辑思维规律的实践，就司法三段论来
说，"早在亚里士多德从逻辑学上提出三段论的理论之前，三段论包括司法三段论的思维实践就已经存在并为亚里士多 德逻辑理论的提出提供了不可或缺的材料"。②因此将法律推理说成是逻辑思维方式在法律活动中的应用，不是十分恰当。况且，在缺少像西方那样的完整逻辑体系的中国古代，司法官所用到的法律推理多是一种实践理性。另一方面，法律推理的研究有其自身的特殊性。在法律中运用逻辑当然要考虑到逻辑规则的要求，而且法律推理还要关注法律原则以及推理所得结论的合理与正义性，这是形式逻辑所不能完成的任务，正如雍琦学者所言：我们现有的逻辑教材提供的知识却难称其"职"。就以传统的形式逻辑（或普通逻辑）来说，尽管它与人们的日常思维联系比较密切，至今也不失为其普遍适用的意义，但它终究是适用于各个领域的一般性知识；它没有、也不可能对法律适用活动这一特定领域中具有特殊性意义的思维形式和方法，给以科学的概括和说明。"③实际上，法律推理不仅需要形式推理，也要用到形式推理之外的辩证推理。 二是法律推理即规范推理。该观点认为，法律推理是规范到规范的推理，是关于法律规范的推理，将包括模态命题和规范逻辑的现代逻辑理论应用于法律领域中，是以规范逻辑推导关系为基础，例如，《中华人民共和国刑事诉讼法》第6条规定："人民法院、人民检察院和公文机关进行刑事诉
一，简答定义的规则，以及违反规则所犯的逻辑错误． 1义必须相应相称．，违反这条规则就会犯定义过宽，或定义过窄你的逻辑错误。 2定义中不能直接或间接地包含被定义项，违反这条规则就会犯同语反复或循环定义的逻辑错误。 3不能用负概念去定义正概念．违反这条规则就会犯-定义否定一的逻辑错误． 4定义必须清楚确切．违反这条规则就会犯“定义含混的逻辑错误．- 二，简答演绎推理与归纳推理的区别． 1．思维进程的方向不同．演绎推理是从一般到特殊，而归纳推理则是从特殊到.-般． 2．前提与结论的联系性质不同，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，因而其结论是必然的．而归纳推理的结论则一般超出前提所断定的范围，因而其结论一般是或然的．_ 三、简答直言命题的种类，写出其逻辑形式公式，并分别描述其主、谓项的周延性情况． 1．全称肯定命题．SAP．主项周延，谓项不周延． 2．全称否定命题．SEP．主项周延，谓项周延． 3．特称肯定命题．SIP．主项不周延，谓项不周延． 4，特称否定命题．SOP，主项不周延，谓项周延． 5．单称肯定命题．SAP．主项周延，谓项不周延． 6．单称否定命题。SEP．主项周延，谓项周延。- 四、简答三段论的基本规则。 1．一个三段论有且只有三个不同的项。 2．中项在两前提中至少周延一次． 3．前提中不周延的项在结论中也不得周延。 4．两否定前提推不出任何必然性结论。 5．如果前提之一是否定的，则结论也是否定的l如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的， 五、简答充分条件假言推理的规则，并写出其有效的推理形式．规则： 1．肯定前件就要肯定后件．但否定前件不能否定后件． 2．否定后件就要否定前件．但肯定后件不能肯定前件， 有效的推理形式．1．肯定前件式 2．否定后件式． 六、简答充分条件假言推理的规则．并举例说明它的一个有效的推理形式”规则： 1．肯定前件就要肯定后件，但否定前件不能否定后件 2．否定后件就要肯定前件，但肯定后件不能肯定前件。 举例说明:如果物体不受外力作用，那么它将保持静止或匀速直线运动 七、简答必要条件假言推理的规则，并写出其有效的推理形式。
离散数学（课件上习题） 第一章 例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴2是个素数。 ⑵雪是黑色的。 ⑶2013年人类将到达火星。 ⑷如果a>b且b>c，则a>c 。（其中a,b,c都是 确定的实数） ⑸x+y<5 ⑹请打开书！ ⑺您去吗？ ⑴⑵⑶⑷是命题 例1-2.1 P：2是素数。 ?P：2不是素数。 例1-2.2 P：小王能唱歌。 Q：小王能跳舞。 P∧Q：小王能歌善舞。 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。（析取“∨”） 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。（异或、排斥或。即“?”） 注意：P ?Q 与(P∧?Q)∨(Q∧?P ) 是一样的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“?”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“?”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“?” 例1-2.5：P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。 P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。 也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。 还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。 以下是关于蕴含式的一个例子 P：天气好。Q：我去公园。 1.如果天气好，我就去公园。 2.只要天气好，我就去公园。 3.天气好，我就去公园。 4.仅当天气好，我才去公园。 5.只有天气好，我才去公园。 6.我去公园，仅当天气好。 命题1.、2.、3.写成：P→Q 命题4.、5.、6.写成：Q→P 例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。Q ：△ABC是等角三角形。 P?Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：八年级课时数： 3课时学员姓名：杨宇智辅导科目：数学学科教师：高银波授课类型T-知识梳理T-巩固训练T-达标检测 授课主题推理定义和命题 授课日期及时段2013 教学内容 1.推理证明的必要性 我们认识事物，可能有偏差，有时是“想当然”，过于草率，有时是乱花渐欲迷人眼,观察产生了错觉，但无论哪一种情况，没有严格的证明都是不能令人放心和信服的。 2.检验数学结论是否正确的常用方法 实验验证法、举出反例、推理论证等。 3.定义的概念 对一些术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。例如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义”；“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义；“对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形”的定义。 4.命题的概念 命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。
5.命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。一般地，命题都可以写成“如果......那么......”的形式，其中,如果引出的部分的部分是条件，那么引出的部分是结论。有些命题的题设和结论不够明显，这是要认真分析，先把命题改写成如果......那么......再找条件和结论。在改写时应适当地补充一些修饰成分，但内容要保持不变。 6.真命题、假命题、反例的概念 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，若具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例。 7.公理、定理、证明的概念 公认的真命题称为公理。 有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理。 推理的过程称为证明 对于公理，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判定其他命题真假的依据，对于定理，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为判定其它命题真假的依据。 1．写出下列命题的题设和结论. （1）对顶角相等.
1.7 推 理 理 论 从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。 1.7.1 蕴含与论证 1．推理的含义与形式 [定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ?，或p q 。此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。得出此逻辑关系的过程称为论证。 [辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ?，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。因此，p q ?也称为“永真蕴含” ，即p 永真蕴含q 。 [延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。 所有逻辑推理的实质就是证明p q ?，也就是证明p q →为永真式。例如，以下是一个简单的初等数学证明题目： 已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。 如果记 p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+ 则上述论证要求可描述为： p q r ∧? 证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。 通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作： 12n H H H C ∧∧∧? ，或12,...,n H H H C ?，，或 12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C 可见，论证A C 、A C ?或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如
第3章命题逻辑的推理理论 3.1 推理的形式结构 一、有效推理 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 关于定义3.1还需要做以下几点说明： 1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。 2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0. (2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1. (3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0. (4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1. 由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。 3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
离散数学命题逻辑练习 题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
一、选择题 1. 设命题公式) ?，记作G，使G的真值指派为1的P，Q，R的真值是( ) P∧ → (R Q 2. 与命题公式P（QR）等价的公式是( ) A () →→ D () P Q R P Q R →∨ P Q R ∨→ B () P Q R ∧→ C () 3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的 ( ) A ,P P B ,P P A A** D ,A A ? C ,() (其中P为单独的命题变元，A为含有联结词的公式) 4. 命题公式(P∧(P→Q))→Q是_____式。 A 重言 B 矛盾 C 可满足 D 非永真的可满足 5. 下面命题联结词集合中，哪个是最小联结词 ( ) A {,} ∧→ ?∧∨ C {}↑ D {,} ? B {,,} 6. 命题公式() ?∧→的主析取范式种含小项的个数为 ( ) P Q R A 8 B 3 C 5 D 0 7. 如果A B ?成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立 ( ) A B A ?? ??? D A B ??? C B A ? B A B 8. 命题公式()() →∧→的主析取范式中包含小项 ( ) P Q P R A P Q R ∧?∧? ∧?∧ D P Q R ∧∧? C P Q R ∧∧ B P Q R 9. ,, A B C为任意命题公式，当（）成立时，有A B ?。 A A B ∧?∧ D C A C B →?→??? B A C B C ∨?∨ C A C B C 10. 下面4个推理定律中，不正确的是 ( ) A () ∨∧?? A B A B A A B ?∧ B () C () →∧??? A B B A A B A B →∧? D ()
概念、命题、推理与问题解决教学 [单项选择题] 1、底面为平行四边形的四棱柱与平行六面体这两个概念的外延之间具有（）关系。 A.交叉 B.从属 C.矛盾 D.同一 参考答案：D 参考解析：底面为平行四边形的四棱柱是平行六面体，故选D。 [单项选择题] 2、“大于”与“小于”这两个概念属于（）关系。 A.矛盾关系 B.对立关系 C.从属关系 D.同一关系 参考答案：B 参考解析：“大于”和“小于”是对立关系的两个概念，故选B。 [单项选择题] 3、高中数学课程中关于椭圆的定义方式是（）。 A.关系定义法t B.描述性定义法 C.解释外延定义法 D.发生式定义法 参考答案：D 参考解析：高中数学课程中关于椭圆的定义方式是发生式定义法。 [单项选择题] 4、教师为了引导学生注意，激发学生学习动机，调动学生积极情感而采用的教学策略是（）。 A.整体性策略 B.问题性策略 C.情境性策略 D.过程性策略
参考答案：B 参考解析：题干所描述的是问题性策略的定义，故选B。 [单项选择题] 5、下列关于概念教学的说法不正确的是（）。 A.概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的 B.根据概念外延间的同异关系，概念间的关系分为全同关系和交叉关系 C.数学概念的获得有两种方式，概念形成与概念同化 D.高中数学概念下定义的常见方式主要包括属概念加种差、揭示外延、描述性定义等方式 参考答案：B 参考解析：根据概念外延间的同异关系，概念间的关系分为全相容关系和不相容关系，故选B。 [单项选择题] 6、下列哪一项不属于建构数学模型的步骤？（） A.模型建立 B.模型求解 C.模型检验 D.模型预设 参考答案：D 参考解析：建构数学模型解决实际问题的步骤不包括模型预设，故选D。 [单项选择题] 7、旨在加强命题知识的纵向联系和横向联系，构建命题的知识体系，使得学生在命题学习过程中，在“林”中见“树”，在“树”中见“林”的命题教学策略是（）。 A.准备性策略 B.产生式策略 C.过程性策略 D.整体性策略 参考答案：D 参考解析：题干描述的是整体性策略的教学目的，故选D。 [填空题] 8请以四边形为属概念，选择不同的概念种差，给出平行四边形的几组定义。参考答案：（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形。
第三节法律概念 一、概念的外延与归类活动 概念的外延就是概念所指的各个对象，法律上通常称为使用范围。例如，笔的外延，就是各式各样的笔，如毛笔、钢笔、圆珠笔、粉笔、粉笔等。 二、归类与概念外延边缘的模糊性 （一）归类与司法归类。归类，确定某一对象是否属于某一概念外延的思维活动。比如，乌鸦，白色的乌鸦是不是乌鸦；换妻是否属于聚众淫乱。归类活动在司法中的应用，就是司法归类。司法归类：将确认的案件事实归属于某一特殊的法律构成要件，以确定某一行为或或事件是否属于某个法律概念的外延范围。法学方法论中统称为涵摄或归摄。比如，对某甲的行为致某乙死亡这一法律事实进行归类，它可能属于意外事故（交通事故），也可能属于犯罪行为（故意杀人、故意伤害等），也可能属于合法行为。（正当防卫，紧急避险、合法的职务行为等）这一概念的外延。 （二）概念外延边缘的模糊性。就是一个概念的外延与另一个概念的外延之间的灰色地带，其实质在于，客观对象中存在着有难以界定的是否属于某个概念外延的两个情形的对象。一个概念的中心也许是清楚的，明确的，但当我们离开这个中心地带是就开始变得模糊起来，而这正是概念的这一性质所在。 假设有ABC三个概念，在其外延的中心区域，某个对象X是否属于某一概念的外延很清楚，若X出于ABC的边缘地带，则很难分清X属于哪个概念的外延。由于概念外延的模糊性，就导致司法归类时的复杂性和困难性。例如，某甲拾得某乙的遗忘物，数额巨大，拒不返还的行为，在司法归类，可能是不当得利，或者是侵占罪。 三、概念的分类 1．实概念与虚概念：实概念就是指在现实世界中外延有所指的概念，也就是说，在现实世界中，外延非空的概念，例如，山脉、水果、河流、动物等。虚概念就是指空概念，在现实世界中外延无所指的概念，也就是在现实世界中外延没有任何对象的概念，其外延是一个空集或空类。例如，孙悟空、上帝、永动机，等。
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题. 说明:
文章编号:167126914(2005)04200292(09) 收稿日期:2004211203 作者简介:邱昭继(1978— ),男,湖南浏阳人,西北政法学院法理学教研室教师。 3在第三届“法律方法与法律思维”研讨会期间,於兴中先生建议我写作本文,他后来还提供了本文写作的所有英文资料,在此谨致谢意。 法律中的可辩驳推理3 邱昭继 (西北政法学院,陕西西安 710063) [摘 要] 法律中的可辩驳推理是法律方法研究中的一个新课题。可辩驳推理作为一种独立的推理模式而 在各个领域发生影响主要有以下三种理论的支持:其一,哲学的“语用学转向”;其二,人工智能研究的深入;其三,单一性法律推理向非单一性法律推理的转向。法律中的可辩驳推理可以分为三个维度:推定的可辩驳性;过程的可辩驳性和理论的可辩驳性。可辩驳推理对法律方法、法律论证与民主法治等重大的法律理论问题都产生了深远的影响。 [关键词] 可辩驳;可辩驳推理;非单一性推理;法律论证;协商民主 Abstract :Defeasible reasoning is a new subject in legal method.Defeasible reasonings which have influence in many fields as an independent reasoning mode is supported by three theory to happen.First ,’linguistic turn ’of philosophy ;Second ,Deepening studying in artificial intelligence ;Third ,monotonic legal reasoning turn to non -monotonic legal rea 2soning.Defeasible reasoning is widely used in legal reasoning.According to the different levels of legal reasoning ,Defeasi 2ble reasoning can be divided into three faces :inference -based defeasibility ;process -based defeasibility ;theory -based defeasibility. K eyWords :defeasible ;defeasible reasoning ;non -monotonic reasoning ;legal argument ;deliberative democracy 中图分类号:DF0-051 文献标识码:A 法律中的可辩驳推理是法律方法研究中一个新的课题。国人谈到法律推理时,想到的往往是演绎推理、归纳推理和类比推理,而很少有人涉及可辩驳推理。事实上,西方学界早在二十世纪中期就已经开始研究可辩驳推理而且成果斐然。本文试图对可辩驳推理及其在法律中的运用与意义作一番初步的探讨,希望能抛砖引玉,引起国内学者对可辩驳推理的重视。 一、“可辩驳”与“可辩驳推理”(一)“Defeasible ”一词的翻译 “可辩驳”一词译自英文单词“Defeasible ”。国内的法学词典一般把这个词翻译为“可作废的;可取消 的;可解除的;可宣告无效的”① 。哲学词典将其翻译 为“可破例的;可废弃的”②。这些翻译都不妥当。 《元照英美法词典》对“Defeasible ”一词解释是:“指行 为,权利、合同等可以被撤消或归于无效。”如果把“Defeasible ”翻译为“可作废的;可取消的;可解除的;可宣告无效的”,那就意味着权利、合同一定被撤消或归于无效,而不是可以被撤消或归于无效。如抵押财产因为抵押人在衡平法上享有的回赎权而可以被撤消或归于无效,但这并不意味着抵押财产就一定被撤消。把“Defeasible ”翻译为“可破例的”似乎更能表达该词的意义,但“可破例的”说的是一种例外情况,它不表达进一步辩论的含义,所以这样翻译也不确切。於兴中先生在“人工智能、话语理论与可辩驳推理”一文中将“Defeasible ”译为“可辩驳”,笔者认为“可辩 ①②《新哲学词典》将其翻译为:“可破例的,允许有异议的。”见〔英〕安东尼?弗卢主编:《新哲学词典》,黄颂杰等译,上海译文出版社1992年版,第123页。《西方哲学英汉对照词典》将其翻译为:“可废弃的”,见〔英〕尼古拉斯?布宁、余纪元编著,《西方哲学英汉对照辞典》,人民出版社2001年版。 《元照英美法词典》将“Defeasible ”翻译为:“可作废的;可取消 的;可解除的;可宣告无效的。”参见薛波主编:《元照英美法词典》,法律出版社2003年版,第386页。《英汉法律词典》将其翻译为:“可使无效的;可取消的;可废除的。”见彭金瑞编:《英汉法律词典》,中国法制出版社2001年版。《法律名词辞典》将其翻译为:“可作无效;可取消的。”见李启鹏编译:《法律名词辞典》,五洲出版社1986年印行。《英汉法律词汇》将其翻译为:“可废除”。见律政司编:《英汉法律词汇》,第三版,香港印务局1998年印。
1、简述什么是思维形式，什么事思维形式的结构？（思维的形式与思维的逻辑形式） 思维形式，也称思维形态，就是思维反映客观对象的方式，包括概念、判断（命题）、推理。而思维形式的结构，即思维的逻辑形式，就是思维形式（如命题、推理等）本身各个部分之间的联接方式。 2、逻辑的含义。 （1）是用以指客观事物的规律性 （2）是指思维、语言表达或论证的规律性、科学性 二、概念的一般逻辑 （1）单独概念与普遍概念 （2）集合概念与非集合概念 （3）简单概念与复合概念 （4）外延关系有：全同、真包含于、真包含、交叉、全异（包括矛盾关系、反对关系） 三、命题的一般特征 描述命题、评价命题 命题： （一）非模态命题： （1）简单命题：性质命题、关系命题 （2）复合命题：联言命题、选言命题、假言命题、负命题 （二）模态命题： （1）真值模态命题 （2）规范模态命题 四、性质命题 （一）性质命题又叫直言命题 量主联谓 所有（量）共青团员（主）都是（联）青年人（谓）。 S表示主项，P表示谓项 一个性质命题的真或假，取决于所断定的两个词项的外延关系，是否同它们在客观上的外延关系一致（所谓一致，并不意味着完全相同）。若一致，该命题为真；若不一致，该命题为假。 （1）全称命题与特称命题 全称命题的公式：所有S是（或不是）P 特称命题的公式：有的S是（或不是）P 单称命题的公式：（某个特定的）S是（或不是）P A：全称肯定 E：全称否定 I：特称肯定 O：特称否定
即性质命题的基本分类及其公式就是： 全称肯定命题：SAP（另，S有P，其实逻辑形式就是所有S是P，是SAP） 全称否定命题：SEP（另，S没有P，其实逻辑形式就是S没有P，是SEP） 特称肯定命题：SIP 特称否定命题：SOP 单称肯定命题：（某个特定的）S是P即SFP 单称否定命题：（某个特定的）S不是P即SNP （2） 全称命题的主项是周延的，特称命题的主项是不周延的 两个概念的外延关系：（1）全同（2）真包含于（3）真包含（4）交叉（5）全异 对于A命题：当S与P是（1）全同或（2）真包含于时，真。 对于E命题：当S与P是（5）全异时，真 对于I命题：当S与P是（1）全同或（2）真包含于或（3）真包含或（4）交叉时，真 对于O命题：当S与P是（3）真包含或（4）交叉或（5）全异时，真。 所谓词项周延不周延，其实就是一个具体性质命题的断定是否涉及某个词项全部外延的问题。如果在一个性质命题中断定了主项或谓项的全部外延，那么，该词项在这个问题中就是周延的；反之，就是不周延的。 SAP中，S是周延的，P是不周延的 SEP中，S是周延的，P是周延的 SIP中，S是不周延的，P是不周延的 SOP中，S是不周延的，P是周延的 （3） A与E是反对关系。不能同真，可以同假。 I与O是下反对关系。不能同假，可以同真 A与O，E与I是矛盾关系。既不能同真，也不能同假。 A与I，E与O是差等关系。既可以同真，也可以同假。 （4） 换质法： 换质后的命题，其谓项必须是原命题的矛盾概念。 1、所有S是P，得出，所有S不是非P SAP←→SEP（非） 2、所有S不是P，得出，所有S事非P SEP←→SAP（非） 3、有的S是P，得出，有的S不是非P SIP←→SOP（非） 4、有的S不是P，得出，有的S是非P SOP←→SIP（非） 换位法：
一、选择题 1、 设命题公式)(R Q P ∧→?,记作G ,使G 的真值指派为1的P ,Q ,R 的真值就是( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 2、 与命题公式P →(Q →R )等价的公式就是( ) A ()P Q R ∨→ B ()P Q R ∧→ C ()P Q R →→ D ()P Q R →∨ 3、 下列各组公式中,哪组就是互为对偶的 ( ) A ,P P B ,P P ? C ,()A A ** D ,A A (其中P 为单独的命题变元,A 为含有联结词的公式) 4、 命题公式(P ∧(P →Q))→Q 就是_____式。 A 重言 B 矛盾 C 可满足 D 非永真的可满足 5、 下面命题联结词集合中,哪个就是最小联结词 ( ) A {,}?€ B {,,}?∧∨ C {}↑ D {,}∧→ 6、 命题公式()P Q R ?∧→的主析取范式种含小项的个数为 ( ) A 8 B 3 C 5 D 0 7、 如果A B ?成立,则以下各种蕴含关系哪一个成立 ( ) A B A ? B A B ??? C B A ??? D A B ?? 8、 命题公式()()P Q P R →∧→的主析取范式中包含小项 ( ) A P Q R ∧∧ B P Q R ∧∧? C P Q R ∧?∧ D P Q R ∧?∧? 9、 ,,A B C 为任意命题公式,当( )成立时,有A B ?。 A A B ??? B A C B C ∨?∨ C A C B C ∧?∧ D C A C B →?→ 10、 下面4个推理定律中,不正确的就是 ( ) A ()A A B ?∧ B ()A B A B ∨∧?? C ()A B A B →∧? D ()A B B A →∧??? 11、 下列命题公式就是等价公式的为( ). A.?P ∧?Q ?P ∨Q B.A →(?B →A) ??A →(A →B) C.Q →(P ∨Q )??Q ∧(P ∨Q ) D.?A ∨(A ∧B) ?B
第二章 命题逻辑 习题2、11.解 ⑴不就是陈述句,所以不就是命题。 ⑵x 取值不确定,所以不就是命题。 ⑶问句,不就是陈述句,所以不就是命题。 ⑷惊叹句,不就是陈述句,所以不就是命题。 ⑸就是命题,真值由具体情况确定。 ⑹就是命题,真值由具体情况确定。 ⑺就是真命题。 ⑻就是悖论,所以不就是命题。 ⑼就是假命题。 2.解 ⑴就是复合命题。设p :她们明天去百货公司;q :她们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵就是疑问句,所以不就是命题。 ⑶就是悖论,所以不就是命题。 ⑷就是原子命题。 ⑸就是复合命题。设p :王海在学习;q :李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹就是复合命题。设p :您努力学习;q :您一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不就是命题。 ⑻不就是命题 ⑼。就是复合命题。设p :王海就是女孩子。命题符号化为:?p 。 3.解 ⑴如果李春迟到了,那么她错过考试。 ⑵要么李春迟到了,要么李春错过了考试,要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当她迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试,那么她没有通过考试。 4.解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题2、2 1.解 ⑴就是1层公式。 ⑵不就是公式。 ⑶一层: p ∨q ,?p 二层:?p ?q 所以,)()(q p q p ??→∨就是3层公式。 ⑷不就是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))就是5层公式,这就是因为 一层:p →q ,?q ,?r 二层:q →?r 三层:?q ?( q →?r ) 四层:?(?q ?( q →?r )) 2.解 ⑴A =(p ∨q )∧q 就是2层公式。真值表如表2-1所示: 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(就是3层公式。真值表如表2-2所示:
一、选择题 1. 设命题公式)(R Q P ∧→?，记作G ，使G 的真值指派为1的P ，Q ，R 的真值是( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 2. 与命题公式P →（Q →R ）等价的公式是( ) A ()P Q R ∨→ B ()P Q R ∧→ C ()P Q R →→ D ()P Q R →∨ 3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的 ( ) A ,P P B ,P P ? C ,()A A ** D ,A A (其中P 为单独的命题变元，A 为含有联结词的公式) 4. 命题公式(P ∧(P →Q))→Q 是_____式。 A 重言 B 矛盾 C 可满足 D 非永真的可满足 5. 下面命题联结词集合中，哪个是最小联结词 ( ) A {,}?€ B {,,}?∧∨ C {}↑ D {,}∧→ 6. 命题公式()P Q R ?∧→的主析取范式种含小项的个数为 ( ) A 8 B 3 C 5 D 0 7. 如果A B ?成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立 ( ) A B A ? B A B ??? C B A ??? D A B ?? 8. 命题公式()()P Q P R →∧→的主析取范式中包含小项 ( ) A P Q R ∧∧ B P Q R ∧∧? C P Q R ∧?∧ D P Q R ∧?∧? 9. ,,A B C 为任意命题公式，当（ ）成立时，有A B ?。 A A B ??? B A C B C ∨?∨ C A C B C ∧?∧ D C A C B →?→ 10. 下面4个推理定律中，不正确的是 ( ) A ()A A B ?∧ B ()A B A B ∨∧?? C ()A B A B →∧? D ()A B B A →∧??? 11. 下列命题公式是等价公式的为（ ）． A ．?P ∧?Q ?P ∨Q B ．A →(?B →A) ??A →(A →B) C ．Q →(P ∨Q )??Q ∧(P ∨Q ) D ．?A ∨(A ∧B) ?B
第一章命题逻辑 1.1 命题与联结词 一、单项选择题 1、 A．明年“五一”是晴天。 B．这朵花多好看呀！。 C．这个男孩真勇敢啊！ D．明天下午有会吗？ 在上面句子中，是命题的是( ) 2. A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。 C．这朵花多好看呀！ D．计算机机房有空位吗？ 在上面句子中，是命题的是( ) 3. A．如果天气好，那么我去散步。 B．天气多好呀！ C．x=3。 D．明天下午有会吗？ 在上面句子中( )是命题 4．下面的命题不是简单命题的是( ) A．3是素数或4是素数 B．2018年元旦下大雪 C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与π之积 5．下面的表述与众不一致的一个是( ) A．P：广州是一个大城市 B．?P：广州是一个不大的城市 C．?P：广州是一个很不小的城市 D．?P：广州不是一个大城市 6．设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。” 可符号化为：( ) A．P ∧Q B．P→Q C．P∨?Q D．P∧?Q 7．设：P ：刘平聪明。Q：刘平用功。在命题逻辑中，命题： “刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：( ) A．P ∧Q B．?P∨Q C．P∨?Q D．P∧?Q 8．设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。” 在命题逻辑中可符号化为( ) A．P ∧Q B．P→Q C．P∨?Q D．P∧?Q 9．设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题： “我们不能既划船又跑步。” 可符号化为：( ) A．P→Q B．?（P ∧Q） C．P∨Q D．P∧?Q 10．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为( ) A．P ∨Q B．P→Q C．P∧?Q D．P∧Q 11．设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”
行测判断推理——直言命题之“有些”概念 齐创公考廖姗 在判断推理中，直言命题和复言命题主要考查的角度是矛盾和推理，如果搞不清概念间的关系，要么会浪费时间，要么根本解不出答案。其中直言命题当中最主要的几个概念--某个、有些和所有。“某个”和“所有”大家都能理解，但是“有些”这个概念你真的懂吗？ “有些”：至少有一个 中国人理解的“有些”，重点在“些”，数量上指的就是“一部分”。但是值得注意的是，逻辑学起源于古希腊，所有我们需要按照古希腊人的方式去理解，他们所强调的重点不在于“些”，而在于“有”，也就是一部分可以称为有些，所有可以称为有些，而一个也是可以称为有些。总而言之，“有些”指的是“至少有一个”，大于等于1。 考点：直言命题之推出关系 现在我们来看看逻辑判断中经常考查的一个角度—推出关系：在同一话题中存在A和B，如果A存在，则B一定存在；而B存在不一定导致A的存在。此时AB具有推出关系，A推出B。结合“有些”的概念，我们大家总结直言命题中常见的推出关系： 所有→有些 所有→某个 某个→有些 注意： 因为并不明确“有些”究竟是一个还是一部分或者所有，所以当“有些”为真的时候，不能确定“某个”和“所有”的真假性，也就是“有些”推不出“某个”和“所有”。 真题再现 新学期伊始，研究生院发现有新生没有到教务处办理注册手续。【2014-湖南】 若该命题为真，则下列陈述不确定真假的是： Ⅰ.所有新生都没有到教务处办理注册手续 Ⅱ.所有新生都到教务处办理了注册手续 Ⅲ.有的新生到教务处办理了注册手续 Ⅳ.新生小明到教务处办理了注册手续 A.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ B.Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ C.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ D.Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ