傅里叶级数（Fourier Series ）
引言
正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数
)sin(?ω+=t A y 就是一个以ωπ
2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为
角频率，?为初相。
但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ
=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数
)sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为
∑∞
=++
=10)sin()(n n n t n A A t f ?ω 其中),3,2,1(,,0Λ=n A A n n ?都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为)(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）；而)2sin(22?ω+t A ， Λ)3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2
00，则上式等号右端的级数就可以改写成
∑∞=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件
（1） 函数)(x f 须为周期函数；
（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但
左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）
（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([2
1++-x f x f 。、 以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet ）充分条件）的内容。
2.函数展开成傅里叶级数
（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：
所谓三角函数1，ΛΛ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos nx nx x x x x ① 在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间
],[ππ- 上的积分等于零，即
?
-=ππ0cos nxdx )3,2,1(Λ=n ， ?
-=ππ0sin nxdx )3,2,1(Λ=n ， ?
-=ππ0cos sin nxdx kx )3,2,1,(Λ=n k ， ?-=ππ0cos cos nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠=Λ， ?-=ππ
0sin sin nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠=Λ. （2）傅里叶系数的推导
设)(x f 是周期为π2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数)(x f 的傅里叶级数记作
∑∞=++=1
0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ② 那么傅里叶系数Λ,,,110b a a 如何利用)(x f 表达出来？
先求0a ，对②式从π-到π逐项积分：
=?-ππdx x f )(∑??
?∞=---??????++10sin cos 2n n n nxdx b nxdx a dx a ππππππ 根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
=?
-ππdx x f )(π22
0?a 从而得出 ?-=π
ππdx x f a )(10 其次求n a ，用nx cos 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得
??--=ππππnxdx a nxdx x f cos 2cos )(0∑??
∞=--??????++12cos sin cos n n n nxdx nx b nxdx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出： πππππππn n n a nx a nxdx a nxdx x f =+==???---2
2cos 1cos cos )(2 ?
-=?πππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1(Λ=n . 类似地，用nx sin 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得
??--=ππππnxdx a nxdx x f sin 2sin )(0∑??
∞=--??????++12sin cos sin n n n nxdx b nxdx nx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出：
πππππππn n n b nx a nxdx a nxdx x f =-==???---2
2cos 1sin sin )(2 ?
-=?πππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1(Λ=n 由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可以合并写成
?-=?π
ππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1,0(Λ=n ，
?-=π
ππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1(Λ=n ，
例： 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为
???????<≤<≤--=.
0,1,0,1)(ππx x x f 将)(x f 展开成傅里叶级数。
解 所给函数满足收敛定理的条件，它在点),2,1,0(Λ±±==k k x π处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知)(x f 的傅里叶级数收敛，且当πk x =时级数收敛于 02
)1(1211=-+=+-， 当πk x ≠时级数收敛于)(x f 。
计算傅里叶系数如下：
?-=
πππnxdx x f a n cos )(1 ??+-=-ππππ00
cos 1cos )1(1nxdx nxdx 0= )3,2,1,0(Λ=n ；
?-=
πππnxdx x f b n sin )(1 ??+
-=-ππππ00sin 1sin )1(1nxdx nxdx +??????=-0cos 1ππn nx ππ
0cos 1??????-n nx ]1cos cos 1[1+--=πππ
n n n ])1(1[2n n --=π
???
????===.,6,4,2,0,,5,3,1,4ΛΛn n n π
将求得的傅里叶系数代入，得出)(x f 的傅里叶级数展开式为：
??
????+--+++=ΛΛx k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 4)(π +∞<<-∞x (；),2,,0Λππ±±≠x .
3.奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理：设)(x f 是周期为π2的函数，满足收敛定理的条件，则
① 当)(x f 为奇函数时，它的傅里叶系数为
??
???====?ππ0).,3,2,1(sin )(2),
,2,1,0(0
ΛΛn nxdx x f b n a n n ② 当)(x f 为偶函数时，它的傅里叶系数为
??
???====?).,3,2,1(0),,2,1,0(cos )(20ΛΛn b n nxdx
x f a n n π
π 下面对这个定理加以证明
（1）证 设)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-。按傅里叶系数公式有：
?-=
π
ππnxdx x f a n cos )(1 ??+=-π
πππ00cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f
利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x -代替x ，然后对调积分的上下限同时更换它的符号，得
??+
---=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f a n ??+-
=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f .),2,1,0(0
Λ==n
同理 ?-=
πππnxdx x f b n sin )(1 ??+=
-ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ??+---=ππππ00
sin 1))(sin()(1nxdx x dx nx x f
??+=
ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ).,3,2,1(sin )(20Λ==?n nxdx x f ππ
（2）证 设)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-。
同（1）利用定积分换元法
?-=
πππnxdx x f a n cos )(1 ??+=-ππ
ππ00cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f ??+---=ππππ00
cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f ??+=
ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f ).,3,2,1,0(cos )(20Λ==?n nxdx x f ππ
?-=
πππnxdx x f b n sin )(1 ??+=
-ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ??+
---=ππππ00sin 1))(sin()(1nxdx x dx nx x f ??+-
=ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f .),2,1,0(0Λ==n
这个定理说明了：如果)(x f 为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
∑∞
=1sin n n nx b 如果)(x f 为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
∑∞=+1
0.cos 2n n nx a a
4.傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。
设周期为π2周期函数)(x f 的傅里叶级数为
∑∞=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a ③ 其中系数n n b a ,为
???
????==
==
??--ππππππ).,3,2,1(sin )(1),,2,1,0(cos )(1ΛΛn nxdx x f b n nxdx x f a n n ④ 利用欧拉公式 2cos it it e e t -+=，i
e e t it
it 2sin --= 于是③式化为 ∑∞=--??
????--++10)(2)(22n inx inx n inx inx n e e ib e e a a
.)22210∑∞=-??
????++-+=n inx n n inx n n e ib a e ib a a ⑤ 记
n n n n n n c ib a c ib a c a -=+=-=2
,2,200 ),,3,2,1(Λ=n 则⑤式就表示为 []
.)210∑∞=--++n inx n inx n e c e c a +==0)(n inx n e
c [].)1∑∞
=--+n inx n inx n e c e c inx n n e c ∑∞-∞==
⑥
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数n c 的计算
根据④式可得出dx x f a c ?
-==πππ)(212
00 2n n n ib a c -= ??
????-=??--ππππππnxdx x f i nxdx x f sin )(cos )(121 ()dx nx i nx x f sin cos )(21
-=?-πππ
),3,2,1()(21Λ==--?n dx e x f inx ππ
π； 2
n n n ib a c +=- ),3,2,1()(21Λ==?-n dx e x f inx πππ
将已得的结果合并为：
.),2,1,0()(21Λ±±==--?n dx e x f c inx n πππ ⑦
⑦式就为傅里叶系数的复数形式。
傅里叶级数的两种形式，在本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且在电子技术中经常用到这种形式。
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里
叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich · 6 个月前 作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生
上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ——————————————以上是定场诗—————————————— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？
毕业论文 题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉 指导教师：李博 职称：讲师 院系：理学院数学系 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 日期： 2014年5月
傅里叶级数及其应用 摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎. 关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型
Fourier series and its applications Abstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians. Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model
傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版） ——老师不会这么讲，书上也不会讲 注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。此为更正版。 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性：
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目录 摘要： 0 关键词 0 Abstract 0 1绪论 (1) 2傅里叶级数的概念 (1) 2.1周期函数 (2) 2.2傅里叶级数的定义 (2) 3 傅里叶变换的概念及性质 (10) 3.1傅里叶变换的概念 (10) 3.2傅立叶变换的性质 (11) 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12) 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12) 5.1傅里叶级数的应用 (12) 5.2傅里叶变换的应用 (13) 参考文献 (15)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features. Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
傅里叶级数及其应用 专业：数学与应用数学 班级： 姓名：
目录 引言 (3) 1 傅立叶级数的计算 (5) 1.1 傅立叶级数的几何意义 (5) 1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10) 1.3 傅里叶级数的展开 (11) 1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16) 1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19) 2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21) 2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21) 2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28) 3 微分中值定理在复数域上的推广 (32) 3.1 复数域上的中值定理 (32) 3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36) 结论 (39) 致谢 (40) 参考文献 (41)
为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性． 关键词： n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域
第八节 傅里叶级数 内容分布图示 ★ 引 言 ★ 引 例 ★ 三角函数系的正交性 ★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4 ★ 利用傅氏展开式求数项级数的和 ★ 正弦级数与余弦级数 ★ 例5 ★ 例6 ★ 函数的奇延拓与偶延拓 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题11-8 ★ 返回 讲解注意： 一、三角级数 三角函数系的正交性 早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即 ∑∞ =++=1 0)sin()(n n n t n A A t f ?ω (8.1) 其中n n A A ?,,0),3,2,1( =n 都是常数. 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果. 二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 ?????? ?====??--).,3,2,1(,sin )(1 ),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππ ππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 ∑∞=++1 )sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)
第十五章 傅里叶级数 §1 傅里叶级数 教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求 (1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数． (2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议 (1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤． 教学程序 一、 Fourier 级数的定义 背景： ⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 T 1 ( ωπ2=T ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其
中 01 ()a f x dx π π π- = ?，1 ()cos ,1,2,n a f x nxdx n π ππ - ==?L ， 1 ()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ - = =?L 称为()f x 的 Fourier 系数，记为0 1 ()~ (cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞ =++1 0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑一致收敛到()f x 之前， 不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只 须求出Fourier 系数. 例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为 1,0()0,0x f x x π π≤≤?=? -<
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 φ1t,φ2t,…,φn t构成一个函数集，若这些函数在区间t1,t2上满足 φi tφj t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(1) 如果是复数集，那么正交条件是 φi tφj?t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(2) φj?t为函数φj t的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设φn t=cos nωt，φm t=cos mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt cos mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt+cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω +sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 再证两个都是正弦的情况 设φn t=sin nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=sin nωt sin mωt dt t0+T t0 当n≠m时
=1 2 cos n+mωt?cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω ?sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设φn t=cos nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt sin mωt dt t0+T t0 =1 2 sin n+mωt?sin n?mωt t0+T t0 dt =1 2 ?cos n+mωt (n+m)ω +cos n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设φn t=?jnωt，φm t=?jmωt,则φj?t=??jmωt把φn t，φj?t代入(2)得 φi tφj?t t0+T t0dt=?jnωt t0+T t0 ??jmωt dt =?j(n?m)ωt t0+T t0 dt 当n≠m时，根据欧拉公式 =cos n?mωt+j sin?(n?m)ωt t0+T t0 dt =sin n?mωt n?mω?j cos?(n?m)ωt n?mωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m)
傅里叶级数的收敛性及其应用 摘要 傅里叶级数是数学分析的一个重要组成部分.本文首先介绍了傅里叶级数的相关知识、以2π为周期函数的傅里叶级数展开式、以2l为周期函数的傅里叶级数展开形式.其次，通过狄利克雷积分和黎曼—勒贝格引理及局部化定理傅里叶 f t展开成傅里叶级数的收敛定理及其证明.级数的收敛定理分析了周期函数() 最后，给出了傅里叶级数一些简单应用，其原理主要是利用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和趋于无穷大时吉伯斯现象不存在以及利用傅里叶级数展开法研究了平顶高斯光束通过有光阑限制的近轴ABCD光学系统的传输特性问题. 关键词：傅里叶级数；收敛性；积分；周期函数
CONVERGENCE OF FOURIER SERIES AND ITS APPLICATION ABSTRACT Fourier series is an important part in Mathematical Analysis. The first introduced the knowledge of Fourier series, toπ2for the periodic function of the Fourier series expansion, to l2for the periodic function of the Fourier series expansion. Second, analyzed periodic function()x f expand into Fourier series convergence theorem and its proof by Dirichlet integral and Riemann-Lebesgue Lemma and local theorem of Fourier series convergence theorem . Finally, some simple application of Fourier series, and its main principle is to use the mean square error of the Fourier series is proved, and tends to infinity, some of Gibbs phenomenon does not exist and the use of fourier Fourier series expansion of the flattened Gaussian beams through apertured paraxial optical system ABCD, the transmission characteristics of the problem. Key words:Fourier series; Convergence; Integral; Periodic function ----