学生思考得：能。x＝log a y
教师询问：将上述x、y互换一下表达得到y＝log a x后，请判断y＝log a x 是否为函数？
学生思考得：每给一个x，都有唯一的y与之对应，所以y＝log a x是函数。
1min 新
课
教师引导学生给出对数函数的定义：一般地，函数y＝log a x称为对数函数，
其中a是常数，a>0且a≠1。
6min 对
数
函
数
的
性
质
学生探究对数函数的性质（不同学生对a取不同的值，对于多个x值分别利用对数运算求出相应的y值，观察数据，归纳出对数函数的性质）教师提升，帮助学生整理得到对数函数的性质：
（1）定义域是( 0,＋∞)；
（2）值域是R；
（3）奇偶性是非奇非偶函数；
（4）单调性是a>1时，增函数；0 （5）过定点（1.，0）。 8min 对 数 函 数 的 图 像 教师引导设问，学生画出（描点法）对数函数y＝log 2x 和y＝log0.5x或y ＝log 3x 和y＝log?x的图像： 并验证上述根据解析式及计算观察出的对数函数性质是正确的。 6min 课 堂 例 题 例1.比较下列各组数中两个值的大小： ⑴log 23.4 , log23.5 ⑵log0.31.8 , log0.32.7 ⑶log22.1 , log0.52.5 例2. 已知log0.7（2m） 例3.求下列函数的定义域： (1) y=log a x2 (2) y=log(x-1)(9－x2) (3) y=x 3 log 1min 课 堂 小 结 及 布 置 作 业 小结：1.对数函数的定义；2.对数函数图像的作法； 3.对数函数y＝log a x 的图像与性质：布置作业：1.读课本P24-P27；2.完成课后练习BP28 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 20XX 年秋高一数学第一学期函数压轴训练题 1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112 2 2(log )7log 30x x ++≤，求2 2()log log 42 x x f x =?的最大值与最小值及相应x 值． 2.（14分）已知定义域为R 的函数2()1 2x x a f x -+= +是奇函数 （1）求a 值； （2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性； （3）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2 ()1ax b f x x +=+为奇函数,且12 ()25f =. (1) 求实数a ,b 的值； (2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<. 4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f 5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2 -2bx+4 b (b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。 6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式； （2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围； （3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值. 7. （12分）设函数124()lg ()3 x x a f x a R ++=∈. （1）当2a =-时，求()f x 的定义域； （2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1) ()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。 （1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式； （2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间 []0,1上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 9. （本题满分14分）已知函数1 ()(0x f x a a -=>且1)a ≠ （Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1 (lg )( 2.1)100 f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l g )100f a =，求a 的值． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 课题：4.2.3 对数函数的图象和性质 【教学目标】 1. 初步了解对数函数的性质，并初步运用对数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题； 2. 在用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，并探索对数函数的性质的过程中，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养； 3. 类比指数函数的研究过程，让学生经历设计对数函数图象和性质的研究内容方法、步骤并实施，再次提升和丰富了函数的图象和性质研究的基本思想和基本活动经验. 【教学重点】 了解对数函数的图象和性质并能初步应用. 【教学难点】 抽象、概括出对数函数性质（底数a 对对数函数图象变化的影响)． 【教学过程】 教学流程：明确思路→感知图象→发现性质→尝试应用→归纳小结→布置作业 （一） 回顾经验、明确思路 教师导语：对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质—应用”的过程进行研究.前面我们学习了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质.回顾指数函数的研究过程，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法又是什么？ 师生活动：教师引导学生类比指数函数的学习，共同商议、制定研究对数函数的图象和性质的内容、方法以及步骤. 【设计意图】：从初中到现在，学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，可以通过类比的方法研究学习，从而明确了对数函数的图象与性质的研究内容、方法以及步骤，为接下来的学习建立先行组织者. （二）尝试画图、形成感知 教师导语：在明确了探究方向后，下面请同学们按照“数学实验活动探究卡”的步骤进行探究活动. 活动（1）自主探究：用描点法画出对数函数x y 2log =的图象. 师生活动：由于描点法作图时列举点的个数的限制，学生对对数函数的图象特征缺乏直观感受．教师借助几何画板作出对数函数x y 2log =图象，验证猜想． 教师追问1：在同一个坐标系中，如何画出对数函数x y 2 1log =的图象？ 函数专题训练（一） 一、选择题 1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f (2x )x 的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) 2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝????? x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1.则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x>0， 则f(2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 3．已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1， 若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 4．(2013·银川模拟)设函数f(x)＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0， 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 5．(文)函数f(x)＝22x －2 的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) (理)若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x ) 的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103] 6．a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f(x)＝x ，则a ＋b 高一数学函数的知识点和例题 （一）、映射、函数、反函数 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射. 2、对于函数的概念，应注意如下几点： （1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数. （2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式. （3）如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数. 3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤： （1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)； （3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f－1(x)，并注明定义域. 注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起. ②熟悉的应用，求f－1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算. （二）、函数的解析式与定义域 1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型： （1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑； （2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如： ①分式的分母不得为零； ②偶次方根的被开方数不小于零； ③对数函数的真数必须大于零； ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； ⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等. 应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）. （3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可. 已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种情况 （1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式. （2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可. （3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域. （4）若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量（如f(－x)，等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式. （三）、函数的值域与最值 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下： （1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域. （2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元. 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 《对数函数》教学设计 一、教材分析 《对数函数》是在人教版高中数学第一册（上）第二章第2.8节。函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。学生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。 二、学情分析 学生在初中已经学习过二次函数及其图象，又刚刚学习了指数函数的定义、图象的画法并掌握了相关的性质，有了一定的读图能力，能够根据函数图象抽象概括出一些简单的性质。经过两个多月的教学观察，所教班级的学生数学能力及数学思想的形成还很欠缺，逻辑思维能力也有待加强训练。本节课课前布置学生带着问题预习，让学生找出指数函数与对数函数之间的关系，采用多媒体，采取“诱思探究”的教学方法进行教学，充分发挥学生的积极性和主动性，在独立思考与讨论中获取知识，实现教学目标。 三、设计理念 按照认知规律，从感性认识再到理性研究，由浅入深得出对数函数的概念。然后引导学生利用对称作图法和描点作图法比较作出函数图像。通过观察图象、分析图象特征，得出函数的基本性质。整个教学过程始终贯彻学生为主体、教师为引导的教学理念，综合培养学生动手、动眼、动脑的能力，培养学生的探究合作意识和创新能力。 四、学习三维目标 1、知识目标: ⑴、通过求指数函数的反函数，了解对数函数的概念。 ⑵、能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质。 ⑶、能应用对数函数的性质解有关问题。 2、能力目标: ⑴、培养学生数形结合的意识。 ⑵、让学生学会用比较和联系的观点分析问题，认识事物间的相互转化。 ⑶、了解对数函数在实际问题中的简单应用。 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 高一数学函数的基本性质知识点梳理 1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域. 注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1 分式的分母不等于零; 2 偶次方根的被开方数不小于零; 3 对数式的真数必须大于零; 4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . 6指数为零底不可以等于零 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数 2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备 值域补充 1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . 2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的 1、已知01,1a b <<<-,则函数 x y a b =+的图像必定不经过………………………（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、函数 (0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ） 3、设1a >，函数x y a =的图像形状大致是（ ） 4、将指数函数()x f 的图象向右平移一个单位，得到如图的()x g 的图象， 则()=x f （ ） A B C D A. x ??? ??21 B. x ??? ??31 C. x 2 D. x 3 5、下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，4/3] C ．[0，3/2) D ．[1,2] 6、已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）．（Ⅰ）若函数()f x 在[23]， 上的最大值与最 小值的和为2，（1）求a 的值；（2）将函数()f x 图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a 的取值范围． 7、把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合， 则 a 为（） A ．4 B ．2 C ．1 2 D ．14 8、已知函数31()()log 5x f x x =-，若0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<， 则1()f x ( A ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值 D ．不大于0 9、关于x 的方程0|34|2=-+-a x x 有三个不相等的实数根，则实数a 的 值是_________________。 10、已知关于x 的方程 012=-+-a x x 有四个不等根，则实数a 的取 值范围是________ 11、若存在负实数使得方程 11 2-=-x a x 成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0( 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1). 函数的概念与性质专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数，则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象 C 、Y 可以是空集 D 、以上结论都不对 2、下列各组函数中，表示同一函数的是 A 、||2x y x y ==与 B 、2 lg lg 2x y x y ==与 C 、23) 3)(2(+=--+= x y x x x y 与 D 、10 ==y x y 与 3、函数1+=x y 的定义域是 A 、( ,+) B 、[1,+ ） C 、[0,+] D 、(1,+) 4、若函数y f x =()的图象过点(0，1), 则y f x =+()4的反函数的图象必过点 A 、（4，—1） B 、（—4，1） C 、（1，—4） D 、（1，4） 5、函数)10(≠>+=+=a a b ax y b a y x 且与函数的图像有可能是 A B C D 6、函数241x y --=的单调递减区间是 A 、 ?? ? ? ?∞-2 1, B 、 ?? ????+∞,21 C 、 ?? ? ???- 0,21 D 、 ?? ????2 1,0 7、函数f(x)()R x ∈是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是 A 、())(,a f a - B 、())(,a f a -- C 、())(,a f a --- D 、())(,a f a -- 8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 x y O x y O x y O x y O 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 2.2.2对数函数及其性质（第一课时）教案 一、教学目标 知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特点.能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养.情感目标：培养学生勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质.二、教学重点、难点与关键 重点：掌握对数函数的概念及其图象，使学生能初步自觉地、有意识地利用图象 研究对数函数的性质.难点：理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分01a <<和1a >不同条件下的性质. 关键：认识底数a 与对数函数图象之间的关系. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 由§2.2.1的例题6（即考古学家是如何估算出土文物或古遗址的年代）引入，让学生利用计算器计算并填写下表. 学生填写完毕后，引导他们观察上表，让他们体会“对每一个碳14的含量P 的取值,通过对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与它对应，并且对不同的P 值，也都有不同的t 值与它对应，从而t 是P 的函数”. （二）对数函数的概念 1、对数函数的定义函数x log y a =(0>a 且1≠a )称为对数函数.定义域：),0(+∞.2.例题1：求下列函数的定义域。 （1）() 2x log y a = （2）()x log y a -=4 （三）分组讨论，得出对数函数图象及其性质 1、学生分成几个小组并分发第一张表格（印有直角坐标系）；然后引导学生通过常规方法（即列表、描点、连线成图）画出四个具体的对数函数x log y 2=、x y 21log =、x y 3log =以及 x y 3 1log =的图象. 生物的死亡年数t 0.001 0.01 0.1 0.3 0.5 碳14的含量P 高一数学函数练习题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高一数学第二章函数练习题 一、选择题 1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素 n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、已知不等式为2733 1<≤x ，则x 的取值范围 （A ）321<≤- x （B ）32 1 <≤x （C ）R （D ） 31 21<≤x 3、函数1 1 2 -=x y 在定义域上的单调性为 （A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数 （B ）减函数 （C ）在()1,∞-上是减增函数，在()+∞,1上是减函数 （D ）增函数 4、函数x x x f -+= 11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则 （A ）B B A = （B ）B A ? （C ）B B A = （D ）B A = 5、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 6、下列式子或表格 ①)1)(1(log 1>-+-=a x a y a x ②x y 2=，其中}3,2,1,0{∈x ,}4,2,0{∈y ③122=+y x ④)0(122≥=+y y x ⑤ 其中表示y 是x 的函数的是 （A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤ 7、已知函数)(x f y =的反函数)(1 x f -的定义域为]1,0[，那么函数 ))((R m m x f y ∈+=的值域是 （A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R 8、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤a ，且1≠a )的图象必经过点 (A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 11、下列函数中值域为()∞+， 0的是 (A) x y -=21 5 (B) x y -? ? ? ??=131 (C) 121-?? ? ??=x y (D) x y 21-= 12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快。若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各高中数学对数函数教案
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