直线和圆的方程知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
直线与圆的直线方程
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
3. ⑴两条直线平行：
1
l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l .
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有
12121-=?⊥k k l l
4. 直线的交角：
5. 过两直线???=++=++0:0
:222
21111
C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程
λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2
2
00B
A C By Ax d +++=.
注：
1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.
2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212
PP PP PP λλ=所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λ
λλλ++=++=
1,12
1
21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k
4. 过两点1
21
2222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=
的直线的斜率公式：. 12()x x ≠
当2121,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α＝?90，没有斜率王新敞
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2
2
21B
A C C d +-=
.
注；直线系方程
1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ?R, C ≠m ).
2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ?R)
3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)
4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ?R ） 注：该直线系不含l 2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
二、圆的方程.
2. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是
222)()(r b y a x =-+-.
3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心???
?
?--
2,2E D C ，半径2
422F
E D r -+=
.
当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???
??--
2,2
E D . 当0422
F E D -+时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程： ()222cos 0sin x r x y r r y r θ
θ
=?+=>??=?，θ为参数
()()
()22
2cos 0sin x a r x a y b r r y b r θ
θ=+?-+-=>??
=+?
，θ为参数
②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且
0422 AF E D -+.
③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A （用向量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-?
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
①r d =时，l 与C 相切；
②r d 时，l 与C 相交；，有两个交点，则其公共弦方程为
0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .
③r d 时，l 与C 相离. 5. 圆的切线方程：
①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆
222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.
②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则?
?
?
??+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出?k 切线方程.
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②
4
)()(2
22
b y a x R A A -+-=
…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.
解题方法：1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;
2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
B
C )
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外
如定点()00,P x y ，圆：()()2
2
2x a y b r -+-=，[()()2
2
200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-
第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！
如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上
1）
若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2）
若点()00x y ，在圆()()2
2
2x a y b r -+-=上，则切线方程为
()()()()200x a x a y b y b r --+--=
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，2
2
2AP CP r AP =-?=
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC r
k k ?=??=-?
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．
及勾股定理——常用
弦长公式：
12l x =-=
握）
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题 4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）
5
y
x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）
（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知AOB ?中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ?内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设(),P x y 为圆()2
211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，
则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（d 为圆心距）
（1）12d r r >+?外离 （2）12d r r =+?外切 （3）1212r r d r r -<<+?相交 （4）12d r r =-?内切 （5）12d r r <-?内含 2.两圆公共弦所在直线方程
圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题