倚窗远眺,目光目光尽处必有一座山,那影影绰绰的黛绿色的影,是春天的颜色。周遭流岚升腾,没露出那真实的面孔。面对那流转的薄雾,我会幻想,那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜,我会静静地,静静地,等待一场流星雨的来临…
许下一个愿望,不乞求去实现,至少,曾经,有那么一刻,我那还未枯萎的,青春的,诗意的心,在我最美的年华里,同星空做了一次灵魂的交流…
秋日里,阳光并不刺眼,天空是一碧如洗的蓝,点缀着飘逸的流云。偶尔,一片飞舞的落叶,会飘到我的窗前。斑驳的印迹里,携刻着深秋的颜色。在一个落雪的晨,这纷纷扬扬的雪,飘落着一如千年前的洁白。窗外,是未被污染的银白色世界。我会去迎接,这人间的圣洁。在这流转的岁月里,有着流转的四季,还有一颗流转的心,亘古不变的心。
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、
1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )
(A ))()(3
2
x o x o x =? (B ))()()(3
2
x o x o x o = (C ))()()(2
2
2
x o x o x o =+ (D ))()()(2
2
x o x o x o =+
【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例
如当0→x 时)()(),()(2
332x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是
)(2x o 故应该选(D ).
2.函数x
x x x x f x
ln )1(1)(+-=
的可去间断点的个数为( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e
x x
x x
ln ~11ln -=-,
1ln ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
==+-=→→→x x x x x x x x x f x x
x x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点.
2
1
ln 2ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
1
1
=
=+-=→→→x
x x
x x
x x x x f x x
x x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x
x x x x
x x x x f x x x x ln )1(ln lim
ln )1(1lim
)(lim 1
1
1
,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的
可去间断点.
故应该选(C ).
3.设k D 是圆域{}
1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记??-=k
D k dxdy x y I )(,则
( )
(A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
()πππ
πππθθθ
θθθθθ22
1
2211
02
22
)1(|cos sin 3
1
)sin (sin 31)cos (sin )(k k k
k k
k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-
=-=-=-=?????
所以ππ3
2
,32,04231-==
==I I I I ,应该选(B ). 4.设{}n a 为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A )若1+>n n a a ,则
∑∞
=--1
1
)
1(n n n a 收敛;
(B )若
∑∞
=--11
)
1(n n n a 收敛,则1+>n n a a ;
(C )若
∑∞
=1
n n
a
收敛.则存在常数1>P ,使n p
n a n ∞
→lim 存在;
(D )若存在常数1>P ,使n p
n a n ∞
→lim 存在,则
∑∞
=1
n n
a
收敛.
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D )正确,故应选(D).
此小题的(A )(B )选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A ),但少一条件0lim =∞
→n n a ,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,
选项(B )也不正确,反例自己去构造.
5.设A,B,C均为n 阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价. (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价. (D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价.
【详解】把矩阵A ,C 列分块如下:()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==,由于AB=C,则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ,得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.同时由于B 可逆,即1
-=CB A ,同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示,所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.应该选(B ).
6.矩阵????? ??1111a a b a a 与矩阵???
?
? ??00000002b 相似的充分必要条件是
(A )2,0==b a (B )0=a ,b 为任意常数 (C )0,2==b a (D )2=a ,b 为任意常数
【详解】注意矩阵????? ??00000002b 是对角矩阵,所以矩阵A=????? ??1111a a b a a 与矩阵???
?
?
??00000002b 相
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.
)22)2((1
1
1
1
22a b b a
a b
a
a A E -++--=---------=-λλλλλλλ
从而可知b a b 2222
=-,即0=a ,b 为任意常数,故选择(B ).
7.设321,,X X X 是随机变量,且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ,
{}22≤≤-=i i X P P ,则
(A )321P P P >> (B )312P P P >> (C )123P P P >> (D )231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ,则
)1,0(~N X σ
μ
-
1)2(21-Φ=P ,{}1)1(21212222
2-Φ=?
??
???≤≤-=≤≤-=X P X P P , {}())13737)1(3523535222333Φ-???
??Φ=??? ??-Φ--Φ=?
?
????-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ,
=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-??
?
??Φ+.
故选择(A ).
8.设随机变量X 和Y 相互独立,且X 和Y 的概率分布分别为
X 0 1 2 3P P
1/2
1/4
1/8
1/8
Y -1 0 1 P
1/3
1/3
1/3
则{}==+2Y X P ( ) (A )121 (B )81 (C )61 (D )2
1 【
详
解
】
{}{}{}{}6
1
2412411211,30,21,12=++=
-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ,故选择(C ).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9.设曲线)(x f y =和x x y -=2
在点()0,1处有切线,则=??
?
??+∞
→2lim n n nf n .
【详解】由条件可知()1)1(',01==f f .所以
2)1('22222)
1(221lim 2lim -=-=-+?
+--??? ??+-+=??? ??+∞→∞→f n
n n f n f n n nf n n 10.设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x
=+确定,则
=??)2,1(|x
z
. 【详解】 设
()xy
y z z y x F x -+=)(,,,
则
()1)(),,(,)l n ()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ,
当2,1==y x 时,0=z ,所以
2ln 22|)2,1(-=??x
z
. 11.
=+?
∞+x d x x
1
2
)
1(ln . 【详解】
2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )
1(ln 11111
2=+=+++-=+-=+∞
+∞+∞+∞+∞
+???
x x dx x x x x x xd x d x x 12.微分方程04
1
=+
'-''y y y 的通解为 . 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr
,两个特征根分别为2
121==λλ,所以方程通
解为2
21)(x
e x C C y +=,其中21,C C 为任意常数.
13.设()
ij a A =是三阶非零矩阵,A 为其行列式,ij A 为元素ij a 的代数余子式,且满足
)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ,则A = .
【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+T
A A ,其中*A 为A 的伴随矩阵,从而可知
A A
A A T -===-1
3**,所以A 可能为1-或0.
但由结论??
???-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知,0*=+T
A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只
能为3,所以.1-=A
14.设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ,则()
=X Xe E 2 . 【详解】
()
=
X Xe E 2dx e
x e
dx e
x dx e
xe x x x x
??
?
∞+∞
---
∞+∞
-+--
∞+∞
--
+-=
=2
)2(2
22
)2(2
22
2
2)22(2221π
π
π
22222222)(222
2
e e X E e dt e dt te e t t =+=???
? ??+=??∞+∞--∞+∞--π. 所以为2
2e .
三、解答题
15.(本题满分10分)
当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与n
ax 是等价无穷小,求常数n a ,.
【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式. 【
详
解
】
当
→x 时,
)
(2
11c
o s 22x o x x +-=,)
(21)()2(21
12cos 2222x o x x o x x +-=+-=,
)(2
9
1)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=,
所
以
)(7))(2
9
1))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+-
-=-,
由于x x x 3cos 2cos cos 1-与n
ax 是等价无穷小,所以2,7==n a .
16.(本题满分10分) 设D 是由曲线3
x y =
,直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形,y x V V ,分别是D 绕x
轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积,若y x V V =10,求a 的值. 【详解】由微元法可知
πππ35
3
20
2
5
3
a dx x dx y V a a
x ===?
?;
πππ37
3
40
7
6
2)(2a dx x dx x xf V a a y ===?
?;
由条件y x V V =10,知77=a . 17.(本题满分10分)
设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成,求??D
dxdy x 2
. 【详解】
3
416
83
6
2
2
33
2
22222
1
=+=+=??????????-x
x x
x D D D
dy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x . 18.(本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,1000
60Q
P -=(P 是单价,单位:元,Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该的边际利润.
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义. (3)使得利润最大的定价P . 【详解】
(1)设利润为y ,则60001000
40)206000(2
--
=+-=Q Q Q PQ y , 边际利润为.500
40'Q y -
= (2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.
经济意义为:当P=50时,销量每增加一个,利润增加20. (3)令0'=y ,得.4010000
20000
60,20000=-==P Q
19.(本题满分10分)
设函数()x f 在),0[+∞上可导,()00=f ,且2)(lim =+∞
→x f x ,证明
(1)存在0>a ,使得();1=a f
(2)对(1)中的a ,存在),0(a ∈ξ,使得a
f 1)('=ξ. 【详解】
证明(1)由于2)(lim =+∞
→x f x ,所以存在0>X ,当X x >时,有
2
5)(23<
(2)函数()x f 在],0[a 上可导,由拉格朗日中值定理, 存在),0(a ∈ξ,使得a
a f a f f 1
)0()()('=-=ξ.
20.(本题满分11分) 设???
?
??=????
??=b B a A 110,011,问当b a ,为何值时,存在矩阵C ,使得B CA AC =-,并求出所有矩阵C .
【详解】
显然由B CA AC =-可知,如果C 存在,则必须是2阶的方阵.设???
? ??=43
21
x x
x x C , 则B CA AC =-变形为????
?
?=???? ??---++-+-b ax x x
x x ax x ax ax x 110324314213
2, 即得到线性方程组???????=-=--=++-=+-b
ax x x x x ax x ax ax x 324314
2132110
,要使C 存在,此线性方程组必须有解,于是对方
程组的增广矩阵进行初等行变换如下
()??
??
?
?
?
??+---→???????
??-----=b a a b a a
a a
b A 000010000001011101
01011
1011010010|, 所以,当0,1=-=b a 时,线性方程组有解,即存在矩阵C ,使得B CA AC =-.
此时,()??????
?
?
?--→00
0000000000110
11101
|b A , 所以方程组的通解为??
??
???
??+??????? ??-+?
?????
? ??=??????? ??=100101110001214321C C x x x x x ,也就是满足B CA AC =-的矩阵
C 为
???
?
??-++=211211C C C C C C ,其中21,C C 为任意常数.
21.(本题满分11分) 设
二
次
型
2
3322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=.记
????
? ??=????? ??=321321,b b b a a a βα.
(1)证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2;
(2)若βα,正交且为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 2
2
212y y +. 【详解】证明:(1)
()()()()()()()()
()(
)
??
?
?
? ??+=????
? ??+???
?
?
??=??
?
??
??????? ??+????? ??????? ??=+++++=3213213213213213213213213213213213213213212
33221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T T T
T ββααββαα
所以二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2. 证明(2)设=A T T ββαα+2,由于0,1==αβ
αT
则()
ααββα
ααββααα2222
=+=+=T T
T A ,所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征
向量;
()
ββββααβββααβ=+=+=2
22T T T A ,所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向
量;
而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T T r r r A r ββααββαα,所以03=λ也是矩阵的一个特征值.
故f 在正交变换下的标准形为 2
2
212y y +. 22.(本题满分11分)
设()Y X ,是二维随机变量,X 的边缘概率密度为???<<=其他
,010,3)(2x x x f X ,在给定
)10(<<=x x X 的条件下,Y 的条件概率密度为??
?
??<<=其他,0,0,3)/(3
2
x y x y x y f X
Y . (1)求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,; (2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y .
【详解】(1)()Y X ,的联合概率密度()y x f ,:
()??
?
??<<<<=?=其他,00,10,9)()/(,2
x y x x
y x f x y f y x f X X
Y (2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y :
??
???<<-===??∞+∞
-其他,010,ln 99),()(212
y y y dx x y dx y x f y f y
Y 23.(本题满分11分)
设总体X 的概率密度为??
???>=-其他,00
,);(32x e x x f x θ
θθ,其中θ为为未知参数且大于零,
n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本.
(1)求θ的矩估计量; (2)求θ的极大似然估计量.
【详解】(1)先求出总体的数学期望E (X )
θθθ
===?
?∞+-
∞+∞
-0
2
2
)()(dx e x
dx x xf X E x ,
令∑===n n i X n X X E 11)(,得θ的矩估计量∑=∧==n
i i X n X 1
1θ.
(2)当),2,1(0n i x i =>时,似然函数为
???
?
??-==-∑
???
? ??=????
??==∏∏n i i i
x n i i n
n
i x
i
e x e x L 11312132
)(θθ
θθθ,
取对数,∑∑==-???
? ??-=n
i i n i i x x
n L 11ln 31
ln 2)(ln θθθ,
令0)(ln =θθd L d ,得01
21=-∑=n i i
x n θ, 解得的极大似然估计量为.