2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工农医科）
第Ⅰ卷
本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 2
4πS R = ()()()P A B P A P B +=+
其中R 表示球的半径
如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3
V R =
()()()P A B P A P B =
其中R 表示球的半径
一、选择题：
1. 设集合{}{}
2
|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =
Ａ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<
２.已知函数22log (2)()24(22
a x x f x x x x x +≥??
==?-
-?当时在点处当时）连续，则常数a 的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
３.复数2
(12)34i i
+-的值是
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i 4.已知函数()sin()()2
f x x x R π
=-
∈，下面结论错误．．
的是
A.函数()f x 的最小正周期为2π
B.函数()f x 在区间0,2π??
????
上是增函数 C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D.函数()f x 是奇函数
5.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形
，
,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是
Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面
C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ?
直线与平面所成的角为45 6.已知,,,a b c d 为实数，且c d >。则“a b >”是“a c b d ->-”的 A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件
C ．充要条件
D . 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线
22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点
0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ?
=
A. 12-
B. 2- C .0 D. 4
8.如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ?∠==，
球心O 到平面ABC 的距离是
2
，则B C 、两点的球面距离是 A.
3
π B.π C.43π D.2π
9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线
2l 的距离之和的最小值是
A.2
B.3 C .
115 D .3716
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元
B. 20万元
C. 25万元
D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360
B. 228
C. 216
D. 96
12.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
(1)(1)()xf x x f x +=+，则5
(())2
f f 的值是
A.0
B.12
C.1
D.
5
2
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理科）
第Ⅱ卷
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13.6
1(2)2x x
-
的展开式的常数项是 （用数字作答）
14.若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是
15.如图，已知正三棱柱
111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射
:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。若映射:f V V →满足：对所有,a b V ∈及任意实数
,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0
f =
②对,()2a V f a a ∈=设，则f 是平面M 上的线性变换；
③若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换； ④设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈，若,a b 共线，则(),()f a f b 也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）
在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且3
c o s2,s i n 5
10
A B ==
（I ）求A B +的值；
（II ）若1a b +=，求,,a b c 的值。
18. （本小题满分12分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3
4
是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有
13持金卡，在省内游客中有2
3
持银卡。 （I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。
19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互
相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
（II ）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM BCE 平面？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III ）求二面角F BD A --的大小。
20（本小题满分12分）
已知椭圆2221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，右准线方程为
2x =。
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，且22F M F N +=
l 的方程。
21. （本小题满分12分）
已知0,1a a >≠且函数()log (1)x
a f x a =-。
（I ）求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的单调性；
（II ）若()
*
,lim ;f n n
n a n N a a
→+∞∈+求 （III ）当a e =（e 为自然对数的底数）时，设()2()(1)(1)f x h x e x m =--+，若函数()h x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()h x 的极值。
22. （本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记
*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-。 （I ）求数列{}n b 的通项公式；
（II ）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有
32
n T <
； （III ）设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足：对任意正整数,n n R n λ≤恒成立，求λ的最小值。
数学（理工农医类）参考答案
一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13） -20 （14）4 （15）90
（16）①②③
三、解答题
（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。
解：（Ⅰ）A 、B 为锐角，sin B =
cos B ∴== 又2
3
cos 212sin 5
A A =-=
，
sin A ∴=
，cos A ==，
cos()cos cos sin sin A B A B A B ∴+=-==
0A B π<+<
4
A B π
∴+=
…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=
,sin 2
C ∴=. 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==得
==，即a =，c =
1a b -=
Q ，
1b -=，1b ∴=
a ∴= ……………………………………12分
（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，
考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人
持银卡。设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”
，
事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 12()()()P B P A P A =+
12111
9219621
33
3636
C C C C C C C =+ 92734170=
+ 36
85
=
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是
3685
。 …………………………………………………………6分
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3
33391(0)84C P C ξ===, 1263393
(1)14C C P C ξ===
21633915(2)28C C P C ξ===，363
915
(3)21
C P C ξ===， 所以ξ的分布列为
所以0123284142821
E ξ=?
+?+?+?=， ……………………12分 （19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量
知识解决数学问题的能力。 解法一： （Ⅰ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ，
平面ABEF 平面ABCD AB =，
所以BC ⊥平面ABEF 所以BC ⊥EF .
因为ABE ?为等腰直角三角形， A B A E =，
所以45AEB ∠=
又因为45AEF ∠= ，
所以454590FEB ∠=+=
，
即EF ⊥BE B =,
所以EF ⊥平面BCE 。 ……………………………………4分
（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE 的中点时，P M ∥平面BCE 取BE 的中点N ，连接AN,MN ，则M N ∥＝
1
2
AB ∥＝PC 所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN
因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，
所以PM ∥平面BCE ……………………………………8分 （Ⅲ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD
作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G ，则FG ∥EA 。从而，FG ⊥平面ABCD 作GH ⊥BD 于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH 因此，∠AEF 为二面角F-BD-A 的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=
2
. FG=A F ·sinFAG=
12
在R t △FGH 中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
12=32
,
GH=BG ·sinGBH=
32·2=4
在R t △FGH 中，tanFHG=
FG GH = 3
故二面角F-BD-A 的大小为 ………………………………12分 解法二:
(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE ⊥AB.
又因为平面ABEF ⊥平面ABCD,AE ?平面ABEF, 平面ABE F ∩平面ABCD=AB, 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.
因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B （0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而，11(0,,)22
F -
. 所以11(0,,)22
EF =- ,(0,1,1)BE =-
,(1,0,0)BC = .
11
0022
EF BE ?=+-= ,0EF BC ?= .
所以E F ⊥BE, E F ⊥BC.
因为BE ?平面BCE,B C ∩BE=B ,
所以EF ⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M 为AE 中点时,PM ∥平面BCE.
M ( 0,0,
12 ), P ( 1, 12,0 ). 从而PM =11
(1,,)22
--,
于是PM ·EF =11(1,,)22--·11(0,,)22
--=0
所以PM ⊥FE,又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，
故PMM ∥平面BCE. ………………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n
=（x,y,z ）. 110BD =-（，，）
uu u v
， 31
022
BF =-（，，）uu u v
11n 0
n 0
BD BF ?=??=??u v uu u v g u v uu u v g 即
x y 0
31y z 022
-=???-+=?? 取y=1，则x=1，z=3。从而1n 113=
（，，）。 取平面ABD 的一个法向量为2n = （0，0，1）
。
12212
n n cos(n ,n )11n n ==
=1u v u u v
u u v u u v g u v u u v 。 故二面角F —BD —A 的大小为
。……………………………………12分 （20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题
及推理运算能力。
解：
（Ⅰ）有条件有
2c a a
2c
{
=
，解得a c=1=。
b 1∴=。
所以，所求椭圆的方程为2
2x y 12
+=。…………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -、210
F （，）。 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x=-1. 将x=-1
代入椭圆方程得y 2
=±
。
不妨设(1,
2M -
、12
N --（，，
22((2,(4,0)F M F N ∴+=-+-=-uuuu v uuuv .
224F M F N ∴+=uuuu v uuuv
,与题设矛盾。
∴直线l 的斜率存在。
设直线l 的斜率为k ，则直线的方程为y=k （x+1）。 设11(x y )M ，、22(,)N x y ，
联立
2
2x y 12
y=k(x+1){
+=，消y 得2222(12)4220k x k x k +++-=。
由根与系数的关系知2
122
412k x x k -+=+，从而1212
22(2)12k y y k x x k +=++=+， 又211(1,)F M x y =- ，222(1,)F N x y =-
，
221212(2,)F M F N x x y y ∴+=+-+
。
2
22221212(2)()F M F N x x y y ∴+=+-++ 222
22822(
)()1212k k k k +=+++ 4242
4(1691)
441
k k k k ++=++
422424(1691)441k k k k ++∴=++。
化简得42
4023170k k --= 解得2
2
17140
k k ==-
或者 1.
11
k l y x y x ∴=±∴=+=--所求直线的方程为或者
（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解：（Ⅰ）由题意知10x
a ->
当01()01()0a f x a f x <<+∞>-∞时，的定义域是（，）；当时，的定义域是（，）
ln log 11
a a e '=--g x x x x -a a f (x)=a a
当01(0,).10,0,x x a x a a '<<∈+∞-<>时，因为故f (x)<0,所以f(x)是减函数 当1(,0),10,0,()0,()x x a x a a f x f x '>∈-∞-<><时，因为故所以是减函数….（4分） （Ⅱ）因为()()log (1),1n f n n a f n a a a =-=-所以 由函数定义域知1n
a ->0,因为n 是正整数，故0 所以()11 lim lim f n n n n n n a a a a a a a →∞→∞-==++ （Ⅲ）2 2 )(1)(0),()(21)x x h x e x m x h x e x x m '=-+<=+-+（所以 令2()0,210,00h x x x m m '=+-+=?≥≥即由题意应有，即 ① 当m=0时，()0h x '=有实根1x =-，在1x =-点左右两侧均有()0h x '>故无极值 ② 当01m <<时，()0h x '=有两个实根1211x x =-=- 当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表所示： ()h x ∴ 的极大值为12e -，()h x 的极小值为12e - ③ 当1m ≥时，()0h x '= 在定义域内有一个实根，1x =- 同上可得()h x 的极大值为12e - 综上所述，0∈+∞m （，）时，函数()h x 有极值； 当01m <<时()h x 的极大值为12e -，()h x 的极小值为12e - 当1m ≥时，()h x 的极大值为12e - （22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）当1n =时，1111 51,4 a a a =+∴=- 又 1151,51n n n n a a a a ++=+=+Q 1111 5,4 n n n n n a a a a a +++∴-==-即 ∴数列{}n a 成等比数列，其首项114a =-，公比是1 4 q =- 1 ()4n n a ∴=- 14()411()4 n n n b +-∴= --……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知5 4(4)1 n n b =+ -- 2212215525164141(161)(164)n n n n n n n n c b b --?∴=-=+=-+-+ = 222516251625 (16)3164)(16)16n n n n n n ??<= +?- 又1211343,,33b b c == ∴= 当13 12n T =<时， 当234111 225()3161616 n n n T ≥<+?+++K 时， 1 211[1()]416 162513116 146931625 (713482116) n --=+?-<+?=<-分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知5 4(4)1 n n b =+ -- 一方面，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设*21()n k k N =+∈ 则1221n k R b b b +=+++K 1 2321 1111 45()41414141k n +=+?-+-+-+-++K K 1232211111145[()()]4141414141 k k n +=+?-+-++-+-+-+K K >41n - 41,41n n R n n λλ∴≥>-->-即（）对一切大于1的奇数n 恒成立 4,41n λλ∴≥->-否则，（）只对满足1 4n λ < -的正奇数n 成立，矛盾。 另一方面，当4λ=时，对一切的正整数n 都有4n R n ≤ 事实上，对任意的正整数k ，有 2122125 5 8(4)1(4)1n n k k b b --+=+ + ---- 520 8(16)1(16)4 k k =+ --+ 151640 88(161)(164) k k k ?-=-<-+ ∴当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈ 则1234212()()()n m m R b b b b b b -=++++++K <84m n = 当n 为奇数时，设* 21()n m m N =-∈ 则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++K <8(1)4844m m n -+=-= ∴对一切的正整数n ，都有4n R n ≤ 综上所述，正实数λ的最小值为4………………………….14分
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