（理）1.2 导数的计算
1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
（文）3.2 导数的计算
3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
［素养目标］
1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。
2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。
【课前·预习案】
[问题导学]
知识点1. 导数的运算法则
【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能．
〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数
符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数
符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数
符号表示：????f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)．
（理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ????3x －π
4的导数． 【提示】令u ＝g (x )＝3x －π
4
，y ＝f (u )＝cos u ，
∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ?
???3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数
复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评]
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( )
(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( )
(3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( )
解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x +x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．
答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )
A ．1－sin 1
B ．1＋sin 1
C ．sin 1－1
D ．－sin 1
解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋1
x ，
所以f ′(1)＝－sin 1＋1
1＝1－sin 1.
答案：A
3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )
A ．y ′＝cos2x ＋sin2x
B ．y ′＝cos2x －sin2x
C ．y ′＝2cos x ·sin x
D ．y ′＝cos x ·sin x
解析：y ′＝(sin x ·cos x)′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x)＝cos2x －sin2x.
答案：B
4．若f(x)＝(2x ＋a)2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.
解析：f(x)＝4x2＋4ax ＋a2，
∵f ′(x)＝8x ＋4a ，
∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：1
5．设f (x )＝2sin ????3x ＋π4，则f ′????π
4＝________.
解析：∵f ′(x )＝2cos ?
???3x ＋π4·????3x ＋π
4′ ＝6cos ?
???3x ＋π
4， ∴f ′????π4＝6cos ????3π4＋π4＝－6. 答案：－6
【课堂·探究案】
探究一 导数的四则运算法则的应用 【例1】求下列函数的导数：
(1)y ＝15x 5－4
3x 3＋3x ＋2；
(2)y ＝(3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)； (3)y ＝33
x 4＋4x 3.
【分析】这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．
解：(1)y ′＝????15x 5－43x 3
＋3x ＋2′ ＝????15x 5′－????4
3x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.
(2)法1：y ′＝(3x 5－4x 3)′(4x 5＋3x 3)＋ (3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)′＝(15x 4－12x 2)(4x 5＋3x 3)＋
(3x 5－4x 3)(20x 4＋9x 2)＝60x 9－48x 7＋
45x 7－36x 5＋60x 9－80x 7＋27x 7－36x 5＝120x 9－56x 7－72x 5.
法2：∵y ＝12x 10－7x 8－12x 6 ∴y ′＝120x 9－56x 7－72x 5. (3)y ′＝(33
x 4＋4x 3)′＝(3x 4
3)′＋(4x 32)′
＝4x 13＋6x 1
2＝43
x ＋6x .
【方法总结】1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
【跟踪训练1】求下列函数的导数．
(1)y ＝x ·tan x ；
(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x －1x ＋1
.
解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝????
x sin x cos x ′ ＝
(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′
cos 2x
＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝
sin x cos x ＋x
cos 2x
.
(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′
＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)
＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；
解法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，
∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11；
(3)解法1：y ′＝? ??
??x －1x ＋1′
＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′
(x ＋1)2
＝
x ＋1－(x －1)(x ＋1)2
＝2
(x ＋1)2
； 解法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－
2
x ＋1
， ∴y ′＝????1－2x ＋1′＝????－2
x ＋1′＝
2(x ＋1)2
. 答案：(1)y ′＝sin x cos x ＋x
cos 2x (2)y ′＝
3x 2＋12x ＋11 (3)y ′＝
2
(x ＋1)2
（理）探究二 复合函数的导数 【例2】求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝
1
1－2x
； (3)y ＝sin(－2x ＋π3
)；(4)y ＝102x ＋
3.
【分析】对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．
解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)y ＝
11－2x
＝(1－2x )－12可看作y ＝u －1
2，
u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－
12)u －32·(－2)＝(1－2x )－3
2
＝1
(1－2x )1－2x
；
(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π
3的复
合函数，
则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3
)
＝－2cos(2x －π
3
)．
(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，
则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋
3·ln 10·2＝(ln
100)102x ＋
3.
【方法总结】 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须
是一些常见的基本函数．
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 【跟踪训练2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)3； (2)y ＝e
－0.05x ＋1
；
(3)y ＝sin(πx ＋φ)．
解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．
∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12. (2)函数y ＝e
－0.05x ＋1
可以看成函数y ＝e u 和函
数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．
∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u
)′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e
－0.05x ＋1
.
(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．
∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π
＝π cos(πx ＋φ)． 探究三 导数的应用
命题角度一 与切线方程有关的应用 [例3](1)（2018g 高考全国高考I 卷）设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+．若()f x 为
奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =
D ．y x =
(2)已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切
线l 的方程．
（理）（3）求曲线y ＝e 2x ＋1
在点(－1
2，1)处
的切线方程．
解析：(1) ∵()f x 为奇函数，∴
()()
f x f x -=-，即
1a =，∴
3()f x x x =+，
∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =. 答案：D
解：(2)∵f (x )＝1
3x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )
＝x 2－4x ＋a .
由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.
∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.
解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝2
3
，
∴切线l 的方程为y －2
3＝(－1)×(x －2)，即
3x ＋3y －8＝0.
∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.
（3）∵y ′＝e 2x ＋
1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，
∴y ′|
1
2
x =-
＝2，
∴曲线y ＝e 2x ＋1
在点(－1
2
，1)处的切线方程
为
y －1＝2(x ＋1
2)，
即2x －y ＋2＝0.
【互动探究】 题(2)的条件改为“f (x )＝1
3
x 3
－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，且f ′(1)＝5”，求曲线在(1，f (1))处的切线方程．
解：∵f ′(x )＝x 2－4x ＋a ， ∴f ′(1)＝1－4＋a ＝5，∴a ＝8， ∴f (x )＝13x 3－2x 2＋8x ，∴f (1)＝19
3，
则切线方程为y －19
3＝5(x －1)，
即15x －3y ＋4＝0.
【方法总结】求曲线切线的关键是正确求函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 【跟踪训练3】(1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在
点M ????π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12
B.12 C ．－
22
D.22
(2)设函数f (x )＝13x 3－a
2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，
曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．
（理）（3）曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．
解析：（1）y ′＝
cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )
(sin x ＋cos x )2
＝
1
(sin x ＋cos x )2
，
故y ′|x ＝π4＝1
2
，
∴曲线在点M ????π4，0处的切线的斜率为12
. 答案：B
（2）由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，
∴f ′(0)＝b ＝0.
由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a
2
x 2＋
bx ＋c 上又在切线y ＝1上知????
?
f (0)＝c ，y |x ＝0
＝1，
即c ＝1.
综上所述，b ＝0，c ＝1.
（3）设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x . y ′|x ＝0＝1.
则切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.
若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.
两平行线间的距离d ＝|c －1|
2＝2?c ＝3或
c ＝－1.
故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.
命题角度二 与最值有关的应用
[例4]在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． 【素养解读】
横坐标的方程.
算；解方程. 解：如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．
设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2
)′＝－
2x ，
∴－2x 0＝－43
，
∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49
，
∴点P ????23
，－4
9， 即抛物线y ＝－x 2上的点????23，－4
9到直线的距离最小．
【方法总结】导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．
【跟踪训练4】已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离．
解：过P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，
则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1
x 0＝1，∴x 0＝1或x 0
＝－1
2(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝
|1－1－2|
1＋1＝ 2.
【本节小结】
【基础巩固】
1．（2018?山西太原市期中）已知函数f （x ）=sinx ﹣x ，则f′（0）=（ ）
A ．0
B ．﹣1
C ．1
D ．﹣2
解析：f′（x ）=cosx ﹣1，∴f′（0）=cos0﹣1=1﹣1=0．
答案：A
2．（2018?四川资阳雁江区期中）下列运算正确的个数为（）
A ．
B．（3x）'=3x log3e
C．（lgx）′=
D．（x2cosx）'=﹣2xsinx
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A ，）′==，
正确；
对于B，（3x）'=3x ln3，错误；
对于C，（lgx）′=，错误；
对于D，（x2cosx）'=（x2）′cosx+x2
（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，错误；
答案：A
3.（2018?河南商丘市期中）已知函数f（x）
=（x3﹣2x）e x，则
的值为（）
A．﹣e B．1 C．e D．0
解析：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′
（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，
∴=f′（1）=（1+3
﹣2﹣2）e=0．
答案：D
4.（2018?福建三明三元区月考）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度（单位：℃）为f （x ）=x3﹣x2+8（0≤x＜5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（）A．8 B ．﹣C．﹣1 D．﹣8
解析：由题意，f′（x）=x2﹣2x=（x ﹣）2﹣
，
∵0≤x≤5
∴x=时，f′（x ）的最小值为﹣，即原油
温度的瞬时变化率的最小值是﹣
.
答案：B
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝() A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋
1
x，
∴f′(e)＝2f′(e)＋
1
e，解得f′(e)＝－1
e.
答案：C
6．(2018?高考全国高考II卷）曲线2ln
y x
=
在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：由()2ln
y f x x
==，得
()2
f x
x
'=，
则曲线2ln
y x
=在点()
1,0处的切线的斜率为()12
k f
='=，
则所求切线方程为()
021
y x
-=-，即22
y x
=-．
答案：y =2x –2
7．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.
解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，
所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.
答案：－6
（文）8．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.
解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设
切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a
＝2，解之得a ＝1
2ln2.
答案：1
2
ln2
（理）8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.
解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)
＝2sin ?
???3x ＋φ＋5π
6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，
即0＝2sin ????φ＋5π6，∴φ＋5π
6＝k π(k ∈Z )．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π
6.
答案：π
6
9．求下列函数的导数
(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋
3)(3x －2)；
（理）(3)y ＝ln(2x 2＋x )；（理）(4)y ＝x ·2x －1.
解：(1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .
(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′
＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9. 方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2
＋9x －6，
∴y ′＝18x 2－8x ＋9.
(3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′ ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x
. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，
t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －1
2·(2x －1)′
＝12×12x －1×2＝1
2x －1. ∴y ′＝2x －1＋
x
2x －1＝3x －12x －1
. 10.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b
x ，曲线y ＝f (x )在
点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．
解：f ′(x )＝a ????x ＋1
x －ln x (x ＋1)2
－b
x 2，
由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－1
2，且过
点(1,1)，
故????? f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即?????
b ＝1，a 2－b ＝－12.
解得a ＝1，b ＝1.
【能力提升】
11．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析：本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．
令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1
. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.
答案：D
12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )
A ．sin x
B ．－sin x
C ．cos x
D ．－cos
x 解析： f 0(x )＝sin x ，
f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ， ∴4为最小正周期，∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .
答案：C
（文）13.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．
解析：设切点为P (x 0，y 0)． 则f ′(x 0)＝2ax 0，即2ax 0＝1.
又y 0＝ax 20，x 0－y 0
－1＝0， 联立以上三式，得????
?
2ax 0＝1，y 0＝ax 20，
x 0－y 0－1＝0， 解得a ＝1
4.
答案： 1
4
（理）13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1
x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.
解析：设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1
x 2，由题意
可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．
答案：(1,1)
14．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.
解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(－a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，
所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.
因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.
答案：212
【创新探究】
15．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．
解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′
＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，
∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得5＝|b－1|
5
，解得b＝6或
－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y ＝2x－4.
导数公式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1 x ；(5)y ＝f (x )＝x . 问题：上述函数的导数是什么？ 提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ???? 1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x . 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1 2 )′＝12x 112 －＝ 12x ，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式
二、导数运算法则 已知f (x )＝x ，g (x )＝1 x . 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1 x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1 x ＋Δx －? ? ???x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ) ， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ?? ????1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1 x 2. 问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 3.??????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2 1log =； (4)y ＝4 x 3；(5)12cos 2sin 2 -??? ?? +=x x y . [解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝ 1 x ln 10；
第121课 导数中不等式放缩 基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()() f x g x >解析：设()()() h x f x g x =-23e 91x x x =+-+， ∵()3e 29x h x x ￠=+-为增函数，∴可设()00h x ￠=， ∵()060h ￠=-<，()13e 70h ￠=->，∴()00,1x ?. 当0x x >时，()0h x ￠>；当0x x <时，()0h x ￠<. ∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+， 又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+， ∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--. ∵()00,1x ?，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()e 2e 1 ln 1x x x x +--3+. 答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析 解析：（1）()e 2x f x x ￠=-，由题设得()1e 2f ￠=-，()1e 1f =-， ()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1. y x =-+（2）()e 2x f x x ￠=-，()e 2x f x =-，∴()f x ￠在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+￥上单调递增，
3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材戶88~&9,找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线y = f（x）上点（心,/（无0））处的切线的斜率.因此，如果 y = /（%）在点心可导，则曲线y = /（劝在点（兀0，/（兀°））处的切线方程为__________ 复习2：求函数y = f（x）的导数的一般方法： （1） ____________________________________ 求函数的改变量Ay = ; （2） _________________________________________________ 求平均变化率乞二 （3）取极限，得导数#=厂（兀）=lim^- 心TO A Y 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程学习过程合作探究 探究任务一：函数y = f（x） = c的导数. 问题：如何求函数y = f（x） = c的导数 新知：/ = 0表示函数y = c图象上每一点处的切线斜率为_______ . 若y =c表示路程关于时间的函数，则y = _________ ,可以解释为___________________________ 即一直处于静止状态. 试试：求函数）匕/（x） = x的导数 反思：y = l表示函数y = x图象上每一点处的切线斜率为________ . 若y =x表示路程关于时间的函数，则）/ = _____ ,可以解释为___________________________ 探究任务二：在同一平面直角坐标系屮，画出函数）=2兀,）u3兀,y = 4兀的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数y = kx伙H0）增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1求函数y = /（%）=—的导数 x 1 1 解析：因为0=/（兀+山）_/（兀）=兀+心兀 Ar Ar Ax
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
【2021高考数学理科苏教版课时精品练】 第九节 导数的概念及运算 1．(2011年苏南四市联考)曲线y ＝2x －ln x 在点(1,2)处的切线方程是________． 解析：由y ′＝(2x －ln x )′＝2－1x ，当x ＝1可得k ＝2－11 ＝1，即得在点(1,2)处的切线方程是y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0 2．设直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，则实数b 的值是________． 解析：∵y ＝x 3－3x 2，∴y ′＝3x 2－6x ，令y ′＝3x 2－6x ＝－3可解得x ＝1，即得切点的坐标为(1，－2)，且该切点在切线y ＝－3x ＋b 上，于是可得b ＝3x ＋y ＝3×1＋(－2)＝1. 答案：1 3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于________． 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－2 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________． 解析：∵y ＝x 3－10x ＋3，∴y ′＝3x 2－10.由题意，设切点P 的横坐标为x 0，且x 0＜0， 即3x 20－10＝2，∴x 20＝4，∴x 0＝－2，∴y 0＝x 30－10x 0＋3＝15.故点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15) 5．(2011年苏南四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b (a 、b 为实数)上，已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________. 解析：把(0,1)代入曲线方程可得b ＝1，又y ′＝3x 2－2x －a ，得－a ＝2，即有a ＝－2，∴a ＋b ＝－1. 答案：－1 6．已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，π2 ＋1)处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，得f ′(π2)＝sin π2＋π2·cos π2＝1，所以曲线在点(π2，π2 ＋1)处切线的斜率为1，据切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得1×a ＝－1，求出a ＝－1. 答案：－1 7．(2011年苏北四校联考)设函数f (x )＝13 ax 3＋bx (a ≠0)，若f (3)＝3f ′(x 0)，则x 0＝________. 解析：由已知得，f ′(x )＝ax 2＋b ，又f (3)＝3f ′(x 0)，则有9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝ 3，则x 0＝±3. 答案：±3 8．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋a ，若f (x ＋1)是奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，a )处的切线方程是________． 解析：∵f (x ＋1)是奇函数，∴f (x )的图象关于点(1,0)成中心对称，∴a ＝2，而f ′(0)＝0，所以切线是过(0,2)点且平行于x 轴的直线，方程为y ＝2. 答案：y ＝2 9．求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．
（理）1.2 导数的计算 1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 （文）3.2 导数的计算 3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ［素养目标］ 1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。 2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。 【课前·预习案】 [问题导学] 知识点1. 导数的运算法则 【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能． 〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数 符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数 符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋ f (x ) g ′(x )． 特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝ cf ′(x )． (3)商的导数 符号表示：???? ?? f (x ) g (x )′＝ f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． （理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ? ? ???3x －π4的导数． 【提示】令u ＝g (x )＝3x －π 4 ，y ＝f (u )＝cos u ， ∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ? ? ???3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数 复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( ) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( ) (3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( ) 解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x+x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．
2.12导数的应用(一)
第十二节导数的应用(Ⅰ) [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．函数的单调性与导数
[探究] 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0， f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件． 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值： 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值： 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值． [探究] 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？ 提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件． 3．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1) y = f(x) = c ； (2) y = f(x) = x ； (3) y = f(x) = x 2 ；⑷ y = 1 f(x)二x ； (5) y 二f(x)二：'x. 1 提示：：(2)( x)'二 1 ? x 1 —1 , (3)(x 2 )'二 2 ? x 2— 1 , (5)( x)z 二(x 2 ) 1_ -1 1 2 -2x 1 a a — 1 基本初等函数的导数公式 提示：(1) V △ y f x +△ —f △ x — △ x 0. 2)( x)'二 1, 3( x 2 ) '=2x , 1 ⑷x 函数 ⑵(3)(5) 均可表示为y = a , x ( a x c — c , △ y —=U = °，二y =吹不 ，一 1 (5)( &)衣 € Q *)的形式，其导数有何规 律? 问题：上述函数的导数是什么?
、导数运算法则 1 已知 f(x) = X , g(x)=-. 入 问题1： f(x), g(x)的导数分别是什么? 问题2：试求Q(x) = x + -, H(x) = x — 1的导数. x x 提示： 1 1 —A x ???△ y = (x +A x) + X +A x — x + x =A x + x x +A x , fx 二 1 - x x +A x ， ?- Q (X)二吹0 lx 二吹0 =1 —1 同理 H'(x) = 1+1 x / X 问题3: qx), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系? 提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f (x), g(x)导数的差. 1 x x +A x
x x x x 一、知识自测：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一、知识自测： 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1、几个常用函数的导数： （1）f(x)=C，则f’(x)= （4）f(x)= 1 ，则f’(x)= x 2、基本初等函数的导数公式：（2）f(x)=x，则f’(x)= （5）f(x)= ，则f’(x)= （3）f(x)= x2，则f’(x)= 1、几个常用函数的导数： （1）f(x)=C，则f’(x)= （4）f(x)= 1 ，则f’(x)= x 2、基本初等函数的导数公式： （2）f(x)=x，则f’(x)= （5）f(x)= ，则f’(x)= （3）f(x)= x2，则f’(x)= （1）f(x)=C （C 为常数），则f’(x)=（3）f(x)=sinx，则f’(x)= （5）f(x)= a x，则f’(x)= （7）f(x)= log a x ，则f’(x)= 3、导数的运算法则：（2）f(x)= x a(a Q) ，则f’(x)= （4）f(x)=cosx，则f’(x)= （6）f(x)= e x ，则f’(x)= （8）f(x)= ln x ，则f’(x)= （1）f(x)=C （C 为常数），则f’(x)= （3）f(x)=sinx，则f’(x)= （5）f(x)= a x，则f’(x)= （7）f(x)= log a x ，则f’(x)= 3、导数的运算法则： （2）f(x)= x a (a Q) ，则f’(x)= （4）f(x)=cosx，则f’(x)= （6）f(x)= e x，则f’(x)= （8）f(x)= ln x ，则f’(x)= 已知f ( x), g( x) 的导数存在，则：（1）[f(x)g(x)]已知f ( x), g( x) 的导数存在，则：（1）[f(x)g(x)] （2）[ f ( x) g( x)]（3）[ f ( x) ] g( x) （2）[ f ( x) g( x)]（3）[ f ( x) ] g( x) 二、典型例题： （一）利用求导公式和运算法则求导数二、典型例题： （一）利用求导公式和运算法则求导数 1、y 5 4 x3 2、y 3 x2x sin x 3、y e x ln x 4、y ln x x 1 2x1、y 5 4 x32、y 3 x2x sin x3、y e x ln x 4、y ln x x 1 2 x 5、y ( x 1)( x 2)( x 3) 6、y ( 1)( 1 1)7、y ( 2)2sin x cos x 2 2 5、y ( x 1)( x 2)( x 3) 6、y ( 1)( 1 1)7、y ( 2)2sin x cos x 2 2 x x x x
1. 2.1几个常用函数的导数 课前预习学案 预习目标一．12x?y?yx??cyy的导数、、、义1．会由定求导数的三个步骤推导四种常见函 数x公式；公式正确求函数的导数．2．掌握并能运用这四个预习内容二．1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是： （1） （2） （3） f(x)?x x?1时当的导数，并说明其几何意义。．利用上述步骤求2函数 . 提出疑惑三．同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一．学习目标 12xy??y x??ycy的导、、．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、1x数公式；．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数2二．学习过程 （一）。复习回顾 用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是： （1） （2） （3） 。提出问题，展示目标（二）． 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某y?f(x)，如何求它的导数呢？一时刻的瞬时速度．那么，对于函数由导数定义本身，给出了求导数的
最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． （三）、合作探究 y?f(x)?c的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。1．利用导数定义求函数 y?f(x)?x的导数，2．利用导数定义求函数并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。 2x)??f(xy的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意3．利用导数定义求函数义。1?)f(xy?的导数。4．利用导数定义求函数x xy?的导数。．利用导数定义求函数 5n*y?f(x)?x(n?Q)的导数吗？．你能从一般角度推广函数6（四）例题精析 y?2x,y?3x,y?4x的图像，并根据导数的定义，求出例题：在同一坐标系中画出函数它们的导数。（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？ （2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？ y?kx(k?0)增（减）的快慢与什么有关？（3）函数 三．反思总结 1.几个常用的函数的导数为： 2.可以推广的一般结论为： 四．当堂检测： 1?y(1,1)处的切线方程。的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点画出函数x 1.2.1几个常用函数的导数 一．教学目标： 12xy??yx?y?cy、、．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、1x的导数公式；．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．2．教学重点，难点二 12xy??yx?ycy?、、、重点：四种常见函数的导数公式及应用x12xy??yxy?c?y、、难点：四种常见函数、的导数公式x教学过程：三．（一）．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一y?f(x)，如何求它的导数呢？时刻的瞬时速度．那么，对于函数 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授 y?f(x)?c的导数1．函数 ?yf(x??x)?f(x)c?c???0根据导数定义，因为 ?x?x?x?y??lim?lim0?0y所以?x?x?0?0?x 函数导数
专题12 导数的概念与运算 【练一练】 一．选择题 1．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（） A. 1 B. 0.5 C. 0.5 - D. -1 2. 某物体的运动路程S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数S（t）=t3﹣2表示，则此物体在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（） A.1 B.3 C. -1 D.0 3. 设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ] 2 , 4 [ π π ，则点P横坐标 的取值范围为（） A. （﹣∞，5.0] B. [﹣1，0] C. [0，1] D. [5.0，+∞] 4. 函数y=xsin2x的导数是（） A. y′=sin2x﹣xcos2x B. y′=sin2x﹣2xcos2x C. y′=sin2x+xco s2x D. y′=sin2x+2xcos2x 【答案】D 【解析】 试题分析：由y=xsin2x，则y′=（xsin2x）′=x′sin2x+x（sin2x）′=sin2x+xcos2x?（2x）′=sin2x+2xcos2x． 5. 已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 2 ) ( ) ( 1 2 1 2> - - x x x f x f 恒成立， 则a的取值范围是（） A. （0，1] B. （1，+∞） C. （0，1） D. [1，+∞）
二、填空题 6. 已知函数f(x)＝xex, 则f ′(2)＝________. 【答案】3e2 【解析】f ′(x)＝ex ＋xex ，f ′(2)＝e2＋2e2＝3e2. 7. 已知P 点在曲线F ：y ＝3x －x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为_____． 【答案】(－1,0)或(1,0) 【解析】 y ′＝32x －1＝2 x ＝±1，∴P(±1,0)． 三．解答题 8. 已知函数b x ax x f += 2)(，且f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切． (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 若P(x0，y 0)为f(x)图象上的任意一点，直线l 与f(x)的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围． 令t ＝110+x ，t ∈(0,1]，则k ＝4(22t －t)＝82)21(-t －12 ，∴k ∈]4,21[-.
2020年高考数学（理） 函数与导数 12 导数及其应用 导数的概念及运算 一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义. 2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2 y x =，1 y x = 的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】 (1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0 ()() '()lim x f x x f x f x x ?→+?-=?可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平 均变化率的极限. 2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 ()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f ()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos = ()x x f sin -=' ()x a x f = ()a a x f x ln =' ()x e x f = ()x e x f =' ()x x f a log = ()a x x f ln 1= ' 【考点讲解】
1）基本初等函数的导数公式 2）导数的运算法则 （1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差） （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2 ()'()()'()() '()()f x f x g x g x f x g x g x ???-?=? ??? (g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商） (4) 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-. ()x x f ln = ()x x f 1= '
1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案） 1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x 2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x 2.同理，Hx11x 2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于 第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时， 1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法
则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2； 3yx2log3x；4yex1ex 1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx， yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln 3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex 12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，135222233 3.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx2 32.方法二 yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx2 32.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x 23.方法二 yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x 23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二
导数计算公式 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
导数公式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1 x ；(5)y ＝f (x )＝x . 问题：上述函数的导数是什么 提示：（1）∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －fx Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ???? 1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x . 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律 提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1 2 )′＝12 x 112 －＝ 12x ，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式
已知f (x )＝x ，g (x )＝1 x . 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么 问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1 x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋ 1x ＋Δx －? ???? x ＋1x ＝Δx ＋－Δx xx ＋Δx ， ∴Δy Δx ＝1－1xx ＋Δx ，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ??????1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1 x 2. 问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ′＝ f ′xgx －fx g ′x [gx ]2 (g (x )≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2 1log =； (4)y ＝4 x 3；(5)12cos 2sin 2 -??? ? ? +=x x y .
高中数学导数的计算精选题目（附答案） (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． （3）复合导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 1 2x ；
(4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝? ????1e x ； (2)y ＝? ????110x ； (3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3 x ； (5)y ＝2co S 2x 2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1 . 4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝ 1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1 x 2. 5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ? ???? π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程． 7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；
实用文档 课时作业(十二) [第12讲 变化率与导数、导数的运算] [时间：45分钟 分值：100分] 基础热身 1． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 2． 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．4e 2 D.e 2 2 3．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线 的斜率为( ) A ．－15 B ．0 C.1 5 D ．5 4． 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 ( ) A ．1 B. 2 C.2 2 D. 3
实用文档 能力提升 5．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋ 3 t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134 6．y ＝cos x 1－x 的导数是( ) A.cos x ＋sin x ＋x sin x 1－x 2 B.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2 C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x D.cos x ＋sin x －x sin x 1－x 2 7． 函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角的度数为________． 8． 已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x 1，x 2∈D ，存在正数K ，都有∣f (x 1) －f (x 2)∣≤K ∣x 1－x 2∣成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数： ①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ? ?? ?? x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝lg(2x 2＋1)，其中是“倍约 束函数”的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4