(精华版)国家开放大学电大本科《常微分方程》《管理案例分析》网络课形考网考作业及
答案(合集)
(精华版)国家开放大学电大本科《常微分方程》《管理案例分析》网络课形考网考作业及答案(合集)《常微分方程》答案形考任务1
题目1 本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．
选择一项：
A.一阶线性微分方程组
题目2 本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．
选择一项：
C.初等积分法中的方程可积类型的判断
题目3 网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：
A.课程公告
D.系统学习
题目4 网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．
选择一项：
D.常数变易法
题目5 网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．
选择一项：
A.18
题目6 网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．
选择一项：
B.复习指导
题目7 请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．
答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。
一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。
在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。
至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。
由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。
形考任务2 初等积分法中的方程可积类型的判断（1）
题目
1 答：（一阶线性非齐次微分）方程.
题目
2 答：（可降阶的高阶）方程
题目3
答：（克莱洛）方程
题目4
答：（伯努利）方程
题目5
答：（一阶线性非齐次微分）方程
题目6
答：（恰当导数）方程
题目7
答：（变量可分离）方程
题目8
答：（一阶隐式微分）方程
题目9
答：（全微分）方程
题目10
答：
（齐次微分）方程形考任务3 常微分方程学习活动3 第一章初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界
面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．微分方程是二阶微分方程．
2．初值问题的解所满足的积分方程是．
3．微分方程是
一阶线性非齐次微分方程．（就方程可积类型而言）
4．微分方程是
全微分方程．（就方程可积类型而言）
5．微分方程是
恰当倒数方程．（就方程可积类型而言）
6．微分方程的所有常数解是．
7．微分方程的常数解是
．
8．微分方程的通解为．
9．微分方程的通解是.
10．一阶微分方程的一个特解的图像是
二
维空间上的一条曲线．
二、计算题
1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：
（1）
答：一阶，非线性（2）
答：四阶，线性（3）
答：三阶，非线性
2．用分离变量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
2．（1）解
通积分为（2）解当时，分离变量，两端取积分得即通积分为另外，是常数解，注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。
（3）解当时, 方程可变为，通积分为或 , 上式代入初值条.
得.
于是初值问题解为 .
3．解下列齐次线性微分方程（1）（2）
（1）解显然是方程的解.
当时, 原方程可化为 .
令, 则原方程可化为 , 即易于看出, 是上面方程的解, 从而是原方程的解.
当时, 分离变量得, .
两端积分得(C) 将换成, 便得到原方程的解 , (C).
故原方程的通解为（为任意常数）及 .
（2）解显然是方程的解.
当时, 原方程可化为 .令,
则原方程可化为 , 即易于看出, 是上式的解, 从而是原方程的解.
当时, 分离变量得, .两端积分得
(C).
将换成, 便得到原方程的解 (C).故原方程的通解为
.
4．解下列一阶线性微分方程：
（1）
（2）
（1）解先解齐次方程 .
其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得.积分得到
.
代回后即得原方程通解为 .
（2）解先解齐次方程 .
其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得 .
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .
5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
（1）解显然是方程解.
当时, 两端同除, 得 .
令, 代入有它的解为于是原方程的解为，及（2）解显然是方程解.
当时, 两端同除, 得 .
令, 代入有它的解为，于是原方程的解，及 6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
（1）解因为 , 所以这方程是全微分方程, 及在整个平面都连续可微, 不妨选取.
故方程的通积分为 , 即 .
（2）解因为 , 所以这方程是全微分方程, 及在整个平面都连续可微, 不妨选取.
故方程的通积分为 , 即 .
7．求下列方程的积分因子和积分：
（1）
（2）
（1）解因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子.
由公式（1.58）得积分因子，即
于是方程为全微分方程.取 .
于是方程的通积分为.即
.
（2）解因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子.
解方程由公式（1.58）得积分因子，即
于是方程为全微分方程.取
.
于是通积分为.即.
8．求解下列一阶隐式微分方程
（1）
（2）
（1）解将方程改写为即或解得通积分为：, 又是常数解.（2）解
显然是方程的解.当时,
方程可变为 , 令, 则上面的式子可变为 .
解出u得, .
即 .
对上式两端积分得到方程的通解为 9．求解下列方程
（1）
（2）
（1）解令 , 则.代入原式得.
解出得 .这是克莱洛方程，通解为
.即
.
解之得
（为任意常数）.
（2）解化简得，即求积分得 .
.
三、证明题
1．设函数，在上连续，且，
（a,
b为常数）．求证：方程
的一切解在上有界．
2．设在上连续，且，求证：方程
的一切解，均有．
1．证明
设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 则由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时有令，则于是得到又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取，则
2．证明
设是方程任一解，满足，该解的表达式为
取极限
=
四、应用题
1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,
已知空气温度为, 而物体在15分钟内由冷却到 , 求物体冷却到所需的时间.
2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．1．
解设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题
其中为常数．
解得设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得
解得 52分钟.
2．解
取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设时刻速度为 , 距离为, 由题意满足初值问题解得再由解得于是得到5秒后，， , ．
形考任务4 常微分方程学习活动4 第二章基本定理的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1.
方程的任一非零不能与x轴相交．
2．李普希兹条是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条．
3.方程+
ysinx =
ex的任一解的存在区间必是(-∞,+∞) ．
4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间
．
5．方程满足解的存在唯一性定理条的区域是
XOY平面．
6．方程满足解的存在唯一性定理条的区域是XOY平面．
7．方程满足解的存在唯一性定理条的区域是XOY平面．
8．方程满足解的存在唯一性定理条的区域是---，（或不含x 轴的上半平面）．
9．方程满足解的存在惟一性定理条的区域是全平面．
10．一个不可延展解的存在在区间一定是开区间．
二、计算题
1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？
（1）
（2）
1．解
（1) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一.（2)
因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条, 所以
在整个平面上, 初值解存在且唯一.2．
讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条．并求通过的一
切解．
2.解因为方程在整个平面上连续, 除轴外, 在整个平面上
有界, 所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条.而后分离变量并积分可求出方程的通解为
其中另外容易验证是方程的特解.因此通过的解有无穷多个,
分别是: 3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出
奇解．
（1）
（2）
3．解
（1) 因为在半平面上连续, 当时无界, 所以如果存在奇解只
能是, 但不是方程的解, 故方程无奇解.
（2) 因为在的区域上连续, 当时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是显然是方程的解, 是否为奇解还需要进一步讨论.
为此先求出方程的通解
由此可见对于轴上点存在通过该点的两个解: 及故是奇解.
三、证明题
1．试证明：对于任意的及满足条的，方程的解在上存在．
2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程
的任一解在区间上有定义．
3．设在区间上连续．试证明方程
的所有解的存在区间必为．
4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足
初值条的解的存在区间必为．
5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条，且，是
定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有<成立．
6．设是方程的非零解，其中在上连续．求证：当时，必有．
7．设在上连续可微，求证：对任意的，，方程满足初值条的解必在上存在．
8．证明：一阶微分方程
的任一解的存在区间必是．
1．证明
首先和是方程在的解.易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条.
现在考虑过初值 ()的解, 根据唯一性, 该解不能穿过直线和.因此只有可能向左右两侧延展,
从而该初值解应在上存在.2．证明
不妨设过点分别作直线和 .设过点的初值解为.
因为, 故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下, 之上.下证
曲线不能与直线相交.
若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得.矛盾.
此矛盾证明曲线不能与直线相交.同理可证,
当时, 它也不能与相交.故当
时解曲线位于直线, 之间.同理可证,
当时, 解曲线也位于直线, 之间.由延展定理,
的存在区间为。
3．证明
由已知条，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条．
显然是方程的两个常数解．
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．4．证明
由已知条可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条，又存在常数解．
对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．
若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为．
5．证明
仅证方向，（反之亦然）．
假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）．
令=-，那么
=-< 0， =-> 0 由连续函数介值定理，存在，使得=-=
0 即 =
这与解惟一矛盾 6．证明
由已知条知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条．
设是方程的一个非零解，假如它满足，，由于零解也满足上述条，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾．
7．证明
该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．
又是该方程的两个常数解．
现取，，记过点的解为．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是．
8．证明
方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条，又是方程的常数解．
对平面上任取的若则对应的是常数解其存在区间显然是若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．
四、应用题
1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为1．
2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数．
1．解
首先, 由解析几何知识可知, 满足的直线都是所求曲线.设
(x, y) 为所求曲线上的点，(X, Y)为其切线上的点, 则过(x, y) 的切线方程为 .显然有
此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距.故
.解出y,
得到克莱洛方程 , 通解为所以 , 即为所求曲线方
程.2．解
设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则
过 (x, y) 的切线方程为 .显然有
此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距.故
, 即.
解出得故曲线的方程为消去即的曲线方程为 .形考任务5 题目1 方程过点（0, 0）的积分曲线（）．
选择一项：
A.有无穷多条
题目2 方程在xoy平面上任一点的解都（）．
选择一项：
B.是惟一的
题目3 方程的所有常数解是（）．
选择一项：
题目4 方程满足解的存在唯一性定理条的区域是( ).选择一项：
C.除去x轴的全平面
题目5 方程过点(0, 0)的解为，此解的存在区间是( ).选择一项：
题目6 若A(x), F(x)≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组,, 的任一非零解 ( ) ．
选择一项：
D.可以与x轴相交
题目7 n维方程组的任一解的图像是n+1维空间中的
（）．
选择一项：
B.一条曲线
题目8 方程的任一非零解在平面上（）零点．
选择一项：
D.有无穷多个
题目9 三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间．
选择一项：
A.3维
题目10 用待定系数法求方程的非齐次特解时，应设为（）．
选择一项：
形考任务6 常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间
不能
与x轴相交．
2．方程组的任何一个解的图象是n
+
1 维空间中的一条积分曲线．
3．向量函数组Y1(x),