2-6 角动量守恒定律
第六讲角动量守恒定律
6-0 回顾
6-1 角动量的守恒6-2角动量的守恒的应用6-3 小结
6-0 回顾
角动量定理：dL M dt =r
v 21
t t Mdt =∫v
1
2L L r r ?对轴（Z ）
z
z dL M dt
=∑Δ=i
i
i z r m J 2
)
(v m r P r L r
r r r r ×=×=F
r M r
r r ×=定义：转动惯量
ω
z z J L =∫=dm
r J z 2刚体定轴转动z z M J β
?=F = ma
F = dp/dt P = mv
2-6 角动量守恒定律
6-1 角动量守恒定律
?比一比C
P 0 v v v v
v ≡==F dt
P d F C
L 0 v v v
v
v ≡==M dt
L d M z
z z y x C L M M M ≡?=≠≠,0,
0,0但x z z y x C P F F F ≡?=≠≠,00
,0但普遍规律，宏观、微观都适用。
对某一固定参考点，质点所受的合力矩为零，则质点对该参考点的角动量不随时间变化。
——角动量守恒定律
分量守恒时亦适用
6-1 角动量守恒定律
?系统角动量守恒，动量守恒吗？?议一议
?系统动量守恒，角动量守恒吗？0
0≠=合合M ,F v
v 0
0=≠合合M ,F v
v F
F
O
F 2
F 3
F 1
不一定不一定
2-6 角动量守恒定律
?质点对某点的角动量守恒，对另一点也守恒吗？
v v v v v
v v v r
0r
r r
k
mvr v m r L o v v
v v =×=B
k mvr v m r L PB v v v v sin θ?=×=P
θ
A k
mvr v m r L PA v v
v v
sin α=×=不一定6.2 角动量守恒的应用
1.有心力场中的守恒量：*
,
//F r r r !
L r m v =×=r v v
恒矢量0
M ≡v
力心
F
r r
r r
r F
r v
v m
2-6 角动量守恒定律
?质点对力心的角动量永远守恒！
?有心力是保守力，它的机械能守恒。
212M m m v G C r
?≡?试一试：运用这两个守恒量，计算嫦娥一号轨道
例子：行星绕太阳运动、月球（卫星）绕地球运动、电子绕核运动——有心力场对力心运动→角动量必定守恒——选择题可快速判断
2-6 角动量守恒定律
“行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”例1. 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：**解：设在时间Δt 内，行星的矢径扫过扇形面积Δs
αΔ=Δsin 21r r S r r
r r r Δ×=21面积速度：
t
S dt ds
t ΔΔ=→Δ0lim t r r t ΔΔ×=→Δr r 21lim 0v r dt r d r r r r
r ×=×=2121=×=v m r L r r r Q 恒矢量=×=∴v r dt dS r
r 2
1恒量
r r Δr
α太阳
行星S Δr Δr
?想一想：试从有心场中系统角动量守恒的角度出发，解释天体呈旋转盘状结构的原因
2-6 角动量守恒定律
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
讨论：
时，
当0=z M z Zi i i
L J C
ω==∑（1)绕固定转轴转动的刚体
如果=恒量则=恒量z J ω例：回转仪
无论怎样改变框架方向，都不能使陀螺仪的转轴的空间取向发生变化
?回转仪
三轴陀螺仪
陀螺仪(Gyroscope)，是一种用来传感与维持方向的装置，基于角动量守恒的理论设计出来的。陀螺仪主要是由一个位于轴心且可旋转的轮子构成。陀螺仪一旦开始旋转，由于轮子的角动量，陀螺仪有抗拒方向改变的趋向。
陀螺仪有单轴陀螺仪和三轴陀螺仪，单轴的只能测量一个方向的量，也就是一个系统需要三个陀螺仪。而三轴陀螺仪可同时测定6个方向的位置，移动轨迹，加速。所以一个三轴陀螺仪就能替代三个单轴陀螺仪。三轴陀螺仪多用于航海、航天等导航、定位系统，能够精确地确定运动物体的方位。如今也多用于智能手机当中，比如最早采用该技的苹果iPhone 4。
2-6 角动量守恒定律
其实iPhone 4采用的“三轴陀螺仪”，也叫微机械陀螺仪也可称作MEMS 陀螺仪。芯片内部含有一块微型磁性体，可以在手机进行旋转运动时产生的科里奥力作用下向X,Y,Z 三个方向发生位移，利用这个原理便可以测出手机的运动方向。而芯片核心中的另外一部分则可以讲有关的传感器数据转换为iPhone 4可以识别的数字格式，所以，当该系统运行时，无论你将iPhone 4
上移或者甩动，里面的芯片接受指令就会向iPhone 4的CPU 传输数据，使得iPhone 4能够做出正确的回应。
三轴陀螺仪工作原理图目前手机中采用的三轴陀螺仪用途主要体现在游戏的操控上，有了三轴陀螺仪，我们在玩现代战争等第一人称射击游戏时，可以完全摒弃以前通过方向按键来控制游戏的操控方式，我们只需要通过移动手机相应的位置，既可以达到改变方向的目的，使游戏体验更加真实、操作更加灵活。
利用三轴陀螺仪进行体感控制的游戏
2-6 角动量守恒定律
（2)若系统由若干个刚体组成，角动量可在系统内部
各刚体间传递，从而保持刚体系对转轴的总角动量不变。1122z z z L J J ωω=++=L 恒量
例：直升飞机防止机身旋动的措施
用两个对转的顶浆
（支奴干CH47)
用尾浆
（美洲豹SA300）
（海豚Ⅱ）
轮、转台与人系统
轮人台
初态全静
初
人沿某一转向拨动轮子
轮
人台
2-6 角动量守恒定律
（3）对转动惯量可变系统，若所受合外力矩为零，
则角动量也守恒收臂大
小用外力矩启动转盘后撤除外力矩
张臂大
小
J C
ω≡花样滑冰收臂
大
小张臂
大小
先使自己转动起来
2-6 角动量守恒定律
O
v
v
例2：对一个绕固定水平轴O 匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应( )
(A) 增大；(B) 减小；(C) 不变；(D) 无法确定。
B
6-3 小结
dL M dt =
r v 0M =v L C
≡v v 有心力：
刚体定轴转动（部分守恒）
0z M =z z L C ≡'z z z z J C C ω≡?≡z J 变
2
12M m m v G
C r
?≡ !
L r m v =×=r v v
恒矢量z
ω变
2-6 角动量守恒定律
6-4 定轴转动的动能定理**
1.力矩的功**
力对P 点作功：F r
r
F r
r d d ?=
A ?sin |d |r F =()
?π?=2cos |d |r F θ
d d ||r s dr =≈0‘
θ
d r
r ?
F
r r
r d P
因
M
Fr =?sin θ
d d M A =∴∫∫==θ
θθ
θ0
d d M M A sin Fr d ?θ
=?对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。
2.定轴转动的动能定理**
()
ωJ dt
d
M =外力矩所做元功为：
()ω
ωθ
ωθωθd J dt
d Jd d J dt d Md dA ====总外力矩对刚体所作的功为：
2
1
222
1212
1
2
1
ωωωωθθθωωJ J d J Md A ?===∫∫
刚体在时间内转过角位移时
t d t
d d ωθ=2
2
211122
A mv mv =?转动动能
2-6 角动量守恒定律
c p mgh E =∴表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。
3.刚体的重力势能**
∑∑Δ=Δ=i
i i i p h m g gh m E 质心高度为：m
h m h i i c
∑=Δ对于一个不太大的质量为的物体，它
的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
m 想一想：含刚体转动及平动的功能原理的形式？
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
t
x
v d d =
22d d d d t x t v a ==t
d d θω=
22d d d d t t θωβ==mv P =2
2
1
mv E K =ωJ L =22
1ωJ E K
=F m M J
x
F A d d =t F d θd d M A =t
M d ma
F =β
J M =∫?=0
d P
P t F ∫?=0
d L
L t M ∫?=
2022
121d mv mv x F ∫
?=2
022
121d ωωθJ J M
2-6 角动量守恒定律
v
v o
θv
v o
'
o m
p
v T
v R
圆锥摆
子弹击入杆
o
v
v 以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统
动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.
讨论子弹击入沙袋细绳质量不计
例3、如图所示,一质量为m 的子弹以水平速度
射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度ω。已知棒长为l ,质量为M .
解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：v 0
v
m M ω
J dt f l ldt f ==∫
∫''0043
)(mv v v m fdt ?=?=∫因
，由两式得
f f ?='
2-6 角动量守恒定律
v 0
v
m
M
请问:子弹和棒的总动量守恒吗?为什么?
总角动量守恒吗?----若守恒,
其方程应如何写?
（下一页）
ω
J l v m l mv +=4
0不守恒——上端有水平阻力
2
003
1
4943Ml J Ml mv J l mv ===
这里ω例题4 一匀质细棒长为l ，质量为m ，可绕通过其端点O 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为μ。相撞后物体沿地面滑行一距离s 而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h ，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。**
解：这个问题可分为三个阶段进行分析。
C
O 2223121212ωω??
????=ml J l mg
＝（1）（2）
ωω′??
?
???+=??????2
2
3
131ml mvl ml 1）机械能守恒
2）角动量守恒
2-6 角动量守恒定律
式中ω’棒在碰撞后的角速度，它可正可负。ω’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。C
O
ma
mg =?μas
v 202+=gs
v μ22=（3）
亦即
l
gs
gl μω233?=
′由式（1）、（2）与（3）联合求解，即得
3）牛顿定律（4）
ω’<0,棒向右摆，
233
棒的质心C 上升的最大高度，也可由机械能守恒定律求得：
223121ω′??
????=ml mgh 把式（4）代入上式，所求结果为
sl
s l
h μμ63?+=当ω‘>0，棒向左摆，即
233>?gs gl μ(5)l
gs
gl μω233?=
′亦即l >6μs ；
2-6 角动量守恒定律例5. 在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m = 1 kg 的滑块，如图所示．弹簧自然长度l 0= 0.2 m ，劲度系数k =100 N·m -1. 设t = 0时，弹簧长度为l 0，滑块速度v 0= 5 m·s -1，方向与弹簧垂直．以后某一时刻，弹簧长度l =0.5 m ．求该时刻滑块速度的大小和夹角θ．l
v
v
θ
l 0
v v
θ
sin 00l m l m v v =2
220)(2
12121l l k m m ?+=v v 1
2
02
s m 4)(??=??=m
l l k v v °
==30)arcsin(00l
l v v θ解：由角动量守恒和机械能守恒可得例6 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率垂直落在距点O 为l /4处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m .问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
0v ω
??
????+=22
0)4(1214l m ml l m v l
0712v =
ω解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒
2-6 角动量守恒定律
l
712v =
ω由角动量定理t
J t J t L M d d d )(d d d ωω===t
r mr mr ml t mgr d d 2)121(d d cos 2
2ω
ωθ=+=即
考虑到
t
ωθ=)712cos(
247cos 2d d 00
t l t g t r v v lg ==ωω作业讲解
作业
练习6－练习8（讲过内容）