线性规划题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线性规划题型及解法
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件??
???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?
则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域?
三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件0
024x y y x s
y x ≥??≥??+≤??+≤?下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范
围是()
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
四、已知平面区域,逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是()
(A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤?
五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤?
若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题
例6在平面直角坐标系中,不等式组20
200x y x y y +-≤??-+≥??≥?
表示的平面区域的面积是()
(A)
七、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件
??
???≤≥+-≥-.112,
932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b
x a y z --=
时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例8、已知变量x ,y 满足约束条件?????x -y +2≤0,x ≥1,x +y -7≤0,
则 y x 的取值范围是( ). (A )[95,6] (B )(-∞,95
]∪[6,+∞)(C )(-∞,3]∪[6,+∞) (D )[3,6]
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|+|y|≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数)有( )个。
A 、9
B 、10
C 、13
D 、14
十、求线性目标函数中参数的取值范围
例10、已知x 、y 满足以下约束条件??
???≤≤+-≥+3055x y x y x ,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最
优解有无数个,则a 的值为( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1
十一、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m 的取值范围是( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3)
1 解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z 最大值为18
2 解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A (1,2)是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。
3 解析:画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在
(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故
[7,8]z ∈,从而选D;
4 解析:双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三
角形区域(如图4所示)时有00
03x y x y x -≥??+≥??≤≤?
5 解析:如图5作出可行域,由z ax y y ax z =+?=-+其表示为斜率为a -,纵截
距为z的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)
处取得最大值。则直线y ax z =-+过A点且在直线4,3x y x +==(不含界
线)之间。即1 1.a a -<-?>则a 的取值范围为(1,)+∞。
6 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组20
200x y x y y +-≤??-+≥??≥?
表示的平面区域是一个
三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-
2,0).于是三角形的面积为:11||||42 4.22
S BC AO =?=??=从而选B。
7 解析:如图7,作出可行域,由
101010z z x y y x =+?=-+
,它表示为斜率为1-,纵截距为10
z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119(,)22
A z 取得最大值。因为,x y N ∈,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4),C(4,4),经检验直线经过B点时,max 90.Z =
图
图2