年高考数学试题知识分类
大全数列
This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
2007年高考数学试题汇编
数列
重庆文1
在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
重庆理1
若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
安徽文3
等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
辽宁文5
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
福建文2
等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32
福建理2
数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =
+，则5S 等于（ B ）
A ．1
B ．56
C ．16
D ．1
30
广东理5
已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6
湖北理5
已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111
lim 111p
q n n n ∞
??+- ???
=??+- ???
→（ C ） A ．0 B ．1 C ．
p
q
D ．11p q --
湖南文4
在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41
8
a =，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122-
B ．2122-
C ．10122-
D ．11122
- 湖北理8
已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
7453
n n A n B n +=+，则使得
n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
湖南理10
设集合{123456}M =，
，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，
，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????
≠??????????
，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的
最大值是（ B ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
辽宁理4
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
宁夏文6
已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-
宁夏理4
已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ D ）
Ａ．23- Ｂ．13- Ｃ．13 Ｄ．2
3
陕西文5
等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2462,10,S S S ==则等于（ C ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42
四川文7
等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ B ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
上海文14
数列{}n a 中，2
2
21
1100010012n n n a n n n n
???=???-?，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ B ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在
陕西理5
各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,S 30=14,则S 40等于（ C ）
A ．80
B ．30
C ．26
D ．16
天津理8
设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
重庆理14
设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则
=+20072006a a
天津理13
设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则
2
2lim n n n
a n S →∞-= ．3 全国2文14
已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．(51)
2
n n +-
全国1理15
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比
为 ．1
3
宁夏文16
已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差
d = ．1
2
江西理14
已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若11
9
a =，则36a =
．4
江西文14
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=
．7
广东文13
已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ． 2n-10 ; 8
北京理10
若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，
，，，则此数列的通项公式为
；数列{}n na 中数值最小的项是第
项．211n - 3
北京文10
若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，
，，，则此数列的通项公式为 ．211n -
重庆理21
已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且
*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=
（1）求{n a }的通项公式；
（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：
*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+
（Ⅰ）解：由)2)(1(6
1
1111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。
又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(6
1)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ， 得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n
因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。
因此a n +1- a n -3＝0。从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。
（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得
133log 11log -=???? ?
?+=n n
a b z n z z ； 从而??
?
??-=+++=133·
·56·23log 21n n b b b T z n n 。 因此23n 2·
133··56
·23log )3(log 133
+??? ??-=+-+n n a T z n z n 。 令23n 2·
133··5
6
·23)(3
+??? ??-=n n x f ,则 2
3
3
)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=??? ??++++=+n n n n n n f n f 。 因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故
)()1(n f n f ＞+.
特别的120
27)1()(＞=
≥f n f 。从而0)(log )3log(13＞n f a T n n =+-+， 即)3(log 132++n n a T ＞。
证法二：同证法一求得b n 及T n 。 由二项式定理知当c ＞0时，不等式
c c 31)1(3++＞成立。
由此不等式有
3
33
213115112112log 13??
? ??
-+??? ??+
??? ?
?
+=+n T n ??? ??-+??? ??+??? ??
+13315312312log 2n ＞
＝)3(log )23(log 1
32
3··48·25·2log 222+=+=-+n a n n n 。
证法三：同证法一求得b n 及T n 。 令A n ＝n n 33··5
6·23 ，B n ＝n n 313··67·43+ ，C n ＝1
323··78·45++n n 。 因
1323313133+++-n n n n n n ＞＞，因此2
233
+=
n C B A A n n n n ＞。 从而
323
22log 133··5
6·322log 13x n A n n T =??? ??-=+
＞)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。
浙江理21
已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320
k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，
，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；
（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（Ⅲ）记sin 1()32sin n
f n n ??=+
???
，
(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++
…， 求证：15
()624
n T n ∈*N ≤≤．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I ）解：方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；
当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；
当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；
当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．
（II ）解：2122n n S a a a =++
+ 2(363)(222)n n =++
++++
+
2133222
n n n
++=+-．
（III ）证明：(1)
123456212111
(1)f n n n n
T a a a a a a a a +--=+-+
+
， 所以112116
T a a =
=， 2123411524
T a a a a =
+=． 当3n ≥时，
(1)
111(1)6f n n T a a a a a a +-=+-+
+
，
3456
21211
11
6n n a a a a a a -??+-++
???≥
23
11111662622n
??+-++
???
≥ 111
6626
n =
+>
， 同时，(1)
5678212511
(1)24f n n n n
T a a a a a a +--=--+
+
5612
21251
11
24n n a a a a a a -??-+++
???≤
3
151111249292
2n ??
-+++
???
≤ 515
249224
n
=
-<． 综上，当n ∈N*时，15624
n T ≤≤．
浙江文19
已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++?= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)． (I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分． (I)解：方程2(32)320k k x k x k -++?=的两个根为123, 2k x k x ==． 当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =； 当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =； 当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =； 当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =； 因为n ≥4时，23n n >，所以22 (4)n n a n =≥
（Ⅱ）22122(363)(222)n n n S a a a n =++
+=++
+++++＝
2133222
n n n
+++-．
天津理21
在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得
11n k n k
a a
a a ++≤对任意n *∈N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，
2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．
由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． 以下用数学归纳法证明．
（1）当1n =时，12a =，等式成立．
（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，
那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-
11[(1)1]2k k k λ++=+-+．
这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．
解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，
可得1
1
1221n n
n n
n n a a λλλλ+++??
??
-=-+ ?
???
??
， 所以2n
n n a λλ????
??-?? ???????
为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ??-=- ???，所
以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=+++
+-+-， ①
345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=+++
+-+- ②
当1λ≠时，①式减去②式， 得21
2
3
1
1(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλ
λλ
+++--=++
+--=---，
211212
22
(1)(1)(1)1(1)
n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和212
12
(1)22(1)
n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=
．这时数列{}n a 的前n 项和1
(1)222
n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +??????
的第一项21
a
a 最大，下面证明：
21214
,22
n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++
124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+?=-+·
1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．
所以③式成立． 因此，存在1k =，使得
1121
n k n k a a a
a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．
天津文20
在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得
1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．
又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为
14n n a n -=+．
所以数列{}n a 的前n 项和41(1)
32
n n n n S -+=+． （Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，
1141(1)(2)
41(1)443232n n n n n n n n S S ++??-++-+-=+-+ ???
21
(34)02
n n =-+-≤．
所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
四川文22
已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1；
（Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg 2
2
n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；
（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.
解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力． （Ⅰ）由题可得'()2f x x =．
所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．
即2
(4)2()n
n n y x x x x --=-． 令0y =，得2
1(4)2()n n n n x x x x +--=-． 即2
142n
n n x x x ++=． 显然0n x ≠，∴12
2n n n
x x x +=
+． （Ⅱ）由12
2n n n
x x x +=+
，知2
1(2)22222n n n n n
x x x x x +++=++=
，同理
2
1(2)22n n n x x x +--=
． 故
2
1122()22
n n n n x x x x ++++=--．
从而1122
lg
2lg 22
n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．
故1111112
22lg
2lg 32
n n n n x a a x ---+===-． 即12
lg
2lg 32
n n n x x -+=-． 从而
122
32
n n n x x -+=-
所以1
1
222(31)3
1
n n n x --+=
-
（Ⅲ）由（Ⅱ）知1
1
222(3
1)
31
n n n x --+=
-，
∴1
2
4203
1
n n n b x -=-=
>-
∴1
11112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ 当1n =时，显然1123T b ==<．
当1n >时，2112111
1
()()333
n n n n b b b b ---<<<
< ∴12n n T b b b =++
+
111111
()33n b b b -<+++
11[1()]
3113n b -=
- 1
33()33
n =-?<．
综上，3n T <(*)n N ∈．
上海理20
若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，
142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项
（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值最大值为多少
（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得
211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008
项和2008S
解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．
（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-?+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值． 12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是：
① 22122122222221m m m ---，，
，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ----，，
，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，
，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，
，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ． 对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ． 对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-m m ． 对于④，当2008m ≥时，200822--=m m S ．
当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．
上海文20
如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，
1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．
例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．
（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，
114=b ．依次写出{}n b 的每一项；
（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为
2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；
（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．
解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．
（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++=
()122212242-++++= ()3211222625-=--==． （3）51100223(501)149d d ==+?-=，．
由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 2
301
23)3(2)1(1492+-=--+
=． 当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21 ()n d d d S ++++= 525150
(50)(51)
37752(50)32
n n n --=+-+?
75002
299232+-=
n n ． 综上所述，223301
15022
329975005110022
n n n n S n n n ?-+??=??-+??，≤≤，，≤≤．
陕西理22
已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为S k ,且S k ＝∈+k a a k k (21
1N *),其中a 1=1.
(Ⅰ)求数列{a k }的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n (n ≥2),数列{b k }满足1
1++-=b k k a n
k b b （k =1,2,…，n -1）,b 1=1. 求b 1+b 2+…+b n .
解：（Ⅰ）当1k =，由11121
2a S a a ==
及11a =，得22a =． 当2k ≥时，由11111
22k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=-，得11()2k k k k a a a a +--=．
因为0k a ≠，所以112k k a a +--=．从而211(1)221m a m m -=+-=-．
22(1)22m a m m =+-=，*m ∈N ．故*()k a k k =∈N ．
（Ⅱ）因为k a k =，所以
111
k k k b n k n k
b a k ++--=-=-+． 所以11
2112
1(1)(2)(1)(1)1(1)21
k k k k k k b b b n k n k n b b b b b k k -----+-+-=
=-- 1
1(1)(12)k k
n C k n n
-=-=，，，． 故123n b b b b ++++12311(1)n n
n n n n C C C C n
-??=-+-+-?? {}
012111(1)n n
n
n n n C C C C n n ??=--+-+-=??． 陕西文20