一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；
2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42
-的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根?ac b 42
-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根?ac b 42
-=0； （3）方程没有实数根?ac b 42
-﹤0. 要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42
-≥0.
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，
那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①222121212()2x x x x x x +=+-；
②121212
11x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；
④2221121212
x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；
⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；
⑦22
12121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；
⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-；
⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=
+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则
①当△≥0且120x x >时，两根同号．
当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；
当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．
②当△＞0且120x x <时，两根异号．
当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?．一些考试中，往
往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．
【典型例题】
类型一、一元二次方程根的判别式的应用
1．（?丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A ．x 2+2x +1=0
B ．x 2+x +2=0
C ．x 2﹣1=0
D ．x 2﹣2x ﹣1=0
【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【答案】B ．
【解析】
解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B ．
【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根． 举一反三：
【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x
ax a -++= .
【答案】无实根.
2．（?本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.
【答案】k ＜2且k≠1；
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，
解得：k ＜2且k ≠1．
故答案为：k ＜2且k≠1．
【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.
举一反三：
【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，
∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．
【思路点拨】
根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．
【答案与解析】
方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135
x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．
设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得1725x +=
，从而135
x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7． 【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-
，12c x x a =易得另一根及k 的值． 举一反三：
【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．
【答案】另一根为-1；c 的值为-3．
4．（?咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；
（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案与解析】
解：（1）△=（m+2）2﹣8m
=m 2﹣4m+4
=（m ﹣2）2，
∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=2
m
，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. （?昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定