第4讲 二次根式及其运算
一、选择题
1．(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是(C ) A ． 6 B ．9 C ．12 D ．18
2．下列各式不成立的是(C )
A ．18 －
89 ＝73 2 B ．
2＋23 ＝223 C ．
8＋182 ＝ 4 ＋9 ＝5 D ．13＋2
＝ 3 － 2 3．(2020·荆州)若x 为实数，在“( 3 ＋1)□x ”的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是(C )
A ． 3 ＋1
B ． 3 －1
C ．2 3
D ．1－ 3
4．(2020·绥化)下列等式成立的是(D )
A ．16 ＝±4
B ．3－8 ＝2
C ．－a 1a
＝－a D ．－64 ＝－8
5．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(B )
A ． 2
B ．2
C ．2 2
D ．6
6．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） ，其中p ＝a ＋b ＋c 2
；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S ＝12
a 2
b 2－（a 2＋b 2－
c 22）2 ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是(B )
A ．3158
B ．3154
C ．3152
D ．152
二、填空题
7．(2020·河北)已知：18 － 2 ＝a 2 － 2 ＝b 2 ，则ab ＝__6__．
8．(2020·常德)计算：9
2－
1
2＋8 ＝__3 2 __．
9．用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下3，x2，＝，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是__7__．
10．已知x＝5－1
2，y＝
5＋1
2，则x2＋y2－xy的值是__2__．
三、解答题
11．计算：
(1)(2020·湖州)8 ＋| 2 －1|；
解：原式＝2 2 ＋ 2 －1＝3 2 －1；
(2)(18 ＋50 －41
2)÷ 2 ·
1
2
；
解：原式＝(3 2 ＋5 2 －2 2 )÷ 2 ×
2
2＝6 2 ÷ 2 ×
2
2＝6×
2
2＝3 2 ；
(3)(3＋2 5 )2－(4＋ 5 )(4－ 5 )－|24－12 5 |；
解：原式＝9＋12 5 ＋20－(16－5)＋24－12 5 ＝42；
(4)( 2 ＋1)2021( 2 －1)2020.
解：原式＝[( 2 ＋1)( 2 －1)]2020·( 2 ＋1)＝(2－1)2020·( 2 ＋1)＝ 2 ＋1.
12．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：a2＋|a＋c|－（a－b）2＋|1－b|.
解：由题意得：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，∴原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1＝c＋a－1.
13．在数轴上，与表示13 的点距离最近的整数点所表示的数是________，请证明你的结论．
解：4；∵3＜13 ＜4，∴距离最近即比较13 －3与4－13 的大小，∴(13 －3)－(4－13 )＝213 －7.∵213 ＝52 ＞49 ＝7，∴(13 －3)－(4－13 )＝213 －7＞0，∴13 －3＞4－13 .
14．阅读材料并解决问题：
1
2＋1
＝
2－1
（2＋1）（2－1）
＝
2－1
（2）2－12
＝ 2 －1，
像上述解题过程中， 2 ＋1与 2 －1相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)将下列式子进行分母有理化：①1
3
＝________；②
1
3－2
＝________；
(2)化简：
1
3＋1
＋
1
5＋3
.
解：(1)
3
3； 3 ＋ 2 ；
(2)原式＝
3－1
（3＋1）（3－1）
＋
5－3
（5＋3）（5－3）
＝
3－1
2＋
5－3
2＝
5－1 2.