课时跟踪检测 （四十五） 函数y=A sin （ωx +φ）
层级(一) “四基”落实练
1．已知函数f (x )＝sin ????ωx ＋π
3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x 的图象( )
A ．向左平移π
6个单位长度
B ．向右平移π
6个单位长度
C ．向左平移π
3
个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
解析：选A 由已知得2π
ω＝π，故ω＝2，所以f (x )＝sin ????2x ＋π3＝sin 2????x ＋π6，所以函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
6
个单位长度可以得到函数f (x )的图象．
2．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π
3个单位得到的，则g ????π6等于( )
A ．1
B ．－1
2
C ．0
D ．－1
解析：选D 由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ????2????x ＋π3的图象，则g ????π6＝cos ???
?2????π6＋π3＝cos π＝－1. 3．若函数f (x )＝sin ????ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π
3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( ) A ．x ＝k π＋π
3(k ∈Z )
B ．x ＝k π－π
3(k ∈Z )
C ．x ＝k π3＋π
9
(k ∈Z )
D ．x ＝
k π3－π
9
(k ∈Z ) 解析：选C 由函数y ＝sin ????ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π
3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π
3
，k ∈Z .
4．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝
3π
2
，则x 2＋x 4等于( ) A.π
2 B ．π C.3π2
D ．2π
解析：选C 由五点法作图原理知，x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝x 5－x 4＝T
4，故x 1与x 5的
中点是x 3，x 2与x 4的中点是x 3，所以x 2＋x 4＝2x 3＝x 1＋x 5＝3π
2
.
5．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)?
???ω＞0，|φ|＜π
2的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A.π
6 B ．－π
6
C ．－π4
D ．π4
解析：选D 由图可知，T 2＝3π
2，
所以ω＝2πT ＝23，所以f (x )＝2sin ????23x ＋φ. 又因为f ????
3π8＝2，
所以23×3π8＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
解得φ＝π
4＋2k π(k ∈Z )，
因为|φ|＜π2，所以φ＝π
4
.
6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 020)的值为________．
解析：由图知，3
4T ＝9，T ＝12，
所以f (2 020)＝f (12×168＋4)＝f (4)， 由图知函数f (x )的对称轴为x ＝2， 所以f (4)＝f (0)＝2， 所以f (2 020)＝ 2. 答案： 2
7．若g (x )＝2sin ????2x ＋π6＋a 在????0，π
3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________. 解析：当0≤x ≤π3时，π6≤2x ＋π6≤5π
6
，
1
2
≤sin ????2x ＋π6≤1， 所以1＋a ≤2sin ????2x ＋π
6＋a ≤2＋a ， 由1＋a ＋2＋a ＝7，得a ＝2. 答案：2
8.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????ω＞0，|φ|＜π
2的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，只需将f (x )的图象向右平移________个单位．
解析：根据函数的图象得，A ＝1， 由于T 4＝5π12－π4＝π6，整理得T ＝2π
3，
所以ω＝2π
2π3
＝3，
当x ＝π4时，3×π
4＋φ＝k π(k ∈Z )，
解得φ＝k π－3π
4(k ∈Z )，
由于|φ|＜π2，故当k ＝1时，φ＝π
4.
所以f (x )＝sin ?
???3x ＋π
4， 所以为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，只需将f (x )的图象向右平移π
12个单位即可．
答案：π12
9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间． 解：(1)由函数f (x )的图象知， A ＝2，34T ＝13π12－π3＝3π
4，
解得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2π
π
＝2.
又x ＝π
3
时，f (x )＝2，
即sin ????2×π3＋φ＝1，解得φ＝－π6， 所以函数f (x )＝2sin ?
???2x －π
6. (2)令π2＋2k π≤2x －π6≤3π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得π3＋k π≤x ≤5π
6
＋k π，k ∈Z ，
所以f (x )的单调递减区间为????π3＋k π，5π
6＋k π，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ?
???2x －π
3(x ∈R )． (1)请补充所给表格，并作出函数f (x )在一个周期内的图象；
x 2x －π3
0 2π 2sin ?
???2x －π3
(2)求函数f (x )的单调递增区间；
(3)求f (x )的最大值和最小值及相应x 的取值． 解：(1)列表补充如下：
x π
6 5π12 2π3 11π12 7π6 2x －π3
0 π2 π 3π2 2π 2sin ?
???2x －π3 0
2
－2
描点、连线可得函数f (x )的图象如图所示．
(2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，
可得－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π(k ∈Z )，
故函数f (x )的单调递增区间为????－π12＋k π，5π
12＋k π(k ∈Z )． (3)当2x －π3＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
即x ＝5π
12＋k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝2；
当2x －π3＝－π
2
＋2k π(k ∈Z )，
即x ＝－π
12＋k π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－2.
层级(二) 素养提升练
1．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：选A 由题意，y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y ＝cos x ＋1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y ＝cos(x ＋1)＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为y ＝cos(x ＋1)，显然点????π2－1，0在此函数图象上．故选A.
2．将函数f (x )＝2sin ????2x －π6的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则x 1－x 2的最大值为________．
解析：函数f (x )＝2sin ????2x －π6的图象向左平移π
6个单位，得到y ＝2sin ????2x ＋π6的图象，再向上平移1个单位，得到g (x )＝2sin ?
???2x ＋π
6＋1的图象， 由于g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，
所以函数在x ＝x 1和x 2时，函数都取得最大值． 所以2x 1＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x 1＝k π＋π
6，
由于且x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以x 1＝7π
6，
同理x 2＝－11π6，所以7π6＋11π
6＝3π.
答案：3π
3．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π12＜φ＜π
2，给出以下四个论断：①
f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间????－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点????π
3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝
π
12
对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ?q ”的形式)________．(用到的论断都用序号表示)
解析：若f (x )的最小正周期为π， 则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)． 同时若f (x )的图象关于直线x ＝π
12对称，
则sin ????2×π
12＋φ＝±1， 又－π12＜φ＜π2，∴2×π12＋φ＝π2
，
∴φ＝π
3，此时f (x )＝sin ????2x ＋π3，②③成立， 故①④?②③.
若f (x )的最小正周期为π， 则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)． 同时若f (x )的图象关于点????
π3，0对称， 则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12＜φ＜π2，
∴φ＝π
3，此时f (x )＝sin ????2x ＋π3，②④成立， 故①③?②④.
答案：①④?②③或①③?②④
4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?
???A >0，ω>0，|φ|<π
2的一段图象如图所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A ＝3，2πω＝43????4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ????25x ＋φ过????π
4，0， 得sin ????π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10， ∴f (x )＝3sin ???
?25x －π
10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ????25(x ＋m )－π
10＝ 3sin ????
25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)， 知
2m 5－π10＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝52k π＋3π
2
，k ∈Z . ∵m >0，∴m min ＝
3π
2
. 故把f (x )的图象向左至少平移3π
2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0,0＜ω＜6，|φ|＜π2，x ＝π3是函数f (x )的零点，x ＝
π
12是函数f (x )图象的对称轴，且f ????
π12＝2.
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在????－π
2，0上有两个零点，求m 的取值范围． 解：(1)因为x ＝π
12是函数f (x )图象的对称轴，
且f ????π12＝2，A ＞0，
所以A ＝2，又因为x ＝π
3
是函数f (x )的零点，
所以2n －14T ＝π3－π12(n ∈N *)，
即T ＝π
2n －1
(n ∈N *)，
所以ω＝2πT ＝2π
π2n －1＝4n －2(n ∈N *)，
又因为0＜ω＜6， 所以n ＝1，ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，
因为f ????π12＝2，所以2sin ????π6＋φ＝2， 即sin ????π6＋φ＝1，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3， 故f (x )＝2sin ?
???2x ＋π
3. (2)依题意知函数y ＝f (x )与y ＝m 在????－π2，0上有2个交点，设t ＝2x ＋π
3， 由x ∈????－π2，0，得t ∈????－2π3，π
3， 结合图象可知：
函数y ＝2sin t 在????－2π3，－π
2上单调递减， 在???
?－π2，π
3上单调递增， 所以当t ＝－2π
3时，y ＝－3；
当t ＝－π
2时，y ＝－2；
当t ＝π
3
时，y ＝3；
所以m 的取值范围为(－2，－ 3 ]．
独立同分布随机变量序列的顺序统计方法 设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ，对其按从小到大的顺序排列，得到新的随机序列12,,...,n y y y ，满足：12...n y y y ≤≤≤；假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量，每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。 (1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y 解：k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之 和：12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值，而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ，对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y 事件的个数(变量的组合数)为111n n k -???? ???-???? ，每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---，则 11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---????=- ???-???? => 1!()()[1()]() (1)(1)!()! k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --= -≤≤-- (2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解：(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率
excel表格的基本操作函数乘法 乘法是没有快捷键的，看下边例子，求合价： C2输入公式=A1*B1，下拉公式，计算每一项的合价; 最后对合价进行求和，求和就有快捷键了，选中C8，点击工具栏上的求和按钮或者按快捷键“ALT+=”，excel会自动捕捉求和区域，填入=SUM(c2:c7)，回车即可。 如果不求每一项的合价，直接求所有项目的价款总和，用sumproduct函数 我们先从简单的说起吧!首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入“=A1*B1”乘法公式。 ③现在我们在“A1”和“B1”单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于“500”。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：“A1*B1*C1*D1”=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式“=A1*B1*C1*D1”。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在“E1”中啦! 看看图中的结果是否正确呀!其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 3、Excel混合运算的乘法公式
5加10减3乘2除3等于多少? 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。 ①首先，我们要了解这个公式怎么写，“5+10-3*2/3”这是错误的写法，正确写法应该是“(5+10-3)*2/3”。 ②好了，知道公式了，我们是不是应该马上来在Excel中的“F1”中输入“=(A1+B1-C1)*D1/E1”。 ③然后依次在A1、B1、C1、D1、E1中输入需要运算的数据。 好了，上面的一些基本乘法公式就已经讲玩了，下面教大家个小技巧，在有多行需要计算的时候该怎么办呢? 4、将公式复制到每行或每列 ②此时，从F1到下面的F2、F3、F4等等，都已经复制了“F1”中的公式，下次你需要运算的时候，直接在前面输入数据，在F2、 F3、F4等单元格中就会自动显示运算的结果了。
1.求字持串的长度LENGTH 您可用LENGTH函数求字符串的长度。LENGTH返回一个数值。该值等于参数中的字符个数。 例：使用LENGTH函数 SQL＞select Last_Name, length(Last_Name) from customer order by LastName; 2.使用SUBSTR函数从字符串中提取子串 语法： SUBSTR函数的语法如下： SUBSTR(string, string charcter, number of charcters) 变量定义如下： string为字符列或字符串表达式 string charcter为子串的起始位置 number of charcters为返回字符的个数c 例：说明了怎样使用SUBSTR函数取得教师的姓的前四个字符 SQL＞select last_Name, substr(Last_Name, 1, 4) from instector order by Last_Name 例：在SUBSTR函数中使用LENGTH函数（取后三个字符） 5Qt．＞select last_Name, substr(Last_Name, Length(Last_Name) - 2, 3) from instector order by Last_Name 3.在字符串中查找模式 例：使用LIKE运算符 SQL＞column description format a40 word_wrapped SQL＞column title format a35 SQL＞select Title, Description from Course where Description like '%thory%' or Description like '%theories%'; 4.替换字符串的一部分 经常遇到的数据操纵任务是在特定的列中将数据由一种模式转换成另一种模式。 假设您希望在Course表中改变课程说明，将说明中的字seminar用字discussion替代．那么您可用oracle提供的函数REPLACE，该函数使得某列的字符串能被另一字符串代替。 语法： REPLACE函数的语法如下： REPLACE(string, existion_string, [replacement_string]) 变量定义如下： string为字符表达式c existion_string为已存在的字符串。 replacement_string为用来替代的可选字符串。 例：使用REPLACE函数 显示了在Course表中如何使用REPLACE来改变课程名称(title)：首先使用查询显示当前课程名称，UPDATE语句中使用REPLACE函数将SEMINAR改变成
在Excel表格中，我们常常会利用Excel公式来统计一些报表或数据等，这时就少不了要用到加、减、乘、除法，在前面我们已经详细的讲解了求差公式使用方法。那么我们又如何利用公式来对一些数据进行乘法计算呢？怎样快速而又方便的来算出结果呢？下面小编就来教大家一步一步的使用Excel乘法公式！ 我们先从简单的说起吧！首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 1、A1*B1=C1的Excel乘法公式 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入=A1*B1乘法公式。 ②输入完毕以后，我们会发现在 C1 单元格中会显示0，当然了，因为现在还没有输入要相乘的数据嘛，自然会显示0了。 ③现在我们在A1和B1单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于500。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：A1*B1*C1*D1=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式=A1*B1*C1*D1。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在E1中啦！ 看看图中的结果是否正确呀！其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 因为在工作中不止是乘法这么简单，偶尔也会有一些需要加减乘除一起运算的时候，那么当遇到这种混合运算的时候我们应当如何来实现呢？这里就要看你们小学的数学有没学好了。下面让我们一起来做一道小学时的数学题吧！ 3、Excel混合运算的乘法公式，5加10减3乘2除3等于多少？ 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。
三角函数的图象与性质 【例1】?(1)函数y ＝ sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈???? ?? π8，3π4上的最大值为________，最小值为________． 解析 (1)sin x －cos x ＝ 2sin ? ?? ??x － π4≥0， 所以定义域为? ????? ??? ?x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π 4，k ∈Z .
(2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ?? ??2x － π4， ∵x ∈??????π8，3π4，∴2x －π4∈??????0，5π4，∴sin ? ? ???2x －π4∈???? ?? － 22 ，1， 故f (x )max ＝ 2，f (x )min ＝－1. 答案 (1)? ????? ??? ?x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π 4，k ∈Z (2) 2 －1 【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1 的定义域为________； (2)当x ∈???? ?? π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析 (1)由题意知：tan x ≠1，即? ????? ??? ?x ??? x ≠π 4＋k π，k ∈Z ， 又? ????? ??? ?x ??? x ≠π 2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：? ????? ??? ?x ??? x ≠π4＋k π且x ≠π 2＋k π，k ∈Z . (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2 ? ? ???sin x －142＋78 . 又x ∈??????π6，7π6，∴sin x ∈???? ?? －12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－1 2 时，y max ＝2. 答案 (1)? ????? ??? ?x ??? x ≠π4＋k π且x ≠π 2＋k π，k ∈Z (2)7 8 2 三角函数的单调性 【例2】?(2012·北京)已知函数f (x )＝ sin x －cos x sin 2x sin x .
Python语句、函数与方法的使用技巧总结 显示有限的接口到外部 当发布python第三方package时，并不希望代码中所有的函数或者class可以被外部import，在__init__.py中添加__all__属性，该list中填写可以import 的类或者函数名，可以起到限制的import的作用，防止外部import其他函数或者类。 #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- from base import APIBase from client import Client from decorator import interface, export, stream from server import Server from storage import Storage from util import (LogFormatter, disable_logging_to_stderr, enable_logging_to_kids, info) __all__ = ['APIBase', 'Client', 'LogFormatter', 'Server', 'Storage', 'disable_logging_to_stderr', 'enable_logging_to_kids', 'export', 'info', 'interface', 'stream'] with的魔力
with语句需要支持上下文管理协议的对象，上下文管理协议包含__enter__和__exit__两个方法。with语句建立运行时上下文需要通过这两个方法执行进入和退出操作。 其中上下文表达式是跟在with之后的表达式，该表达式返回一个上下文管理对象。 # 常见with使用场景 with open("test.txt", "r") as my_file: # 注意, 是__enter__()方法的返回值赋值给了my_file, for line in my_file: print line 知道具体原理，我们可以自定义支持上下文管理协议的类，类中实现__enter__和__exit__方法。 #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- class MyWith(object): def __init__(self): print "__init__ method" def __enter__(self):
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
函数导数公式及证明
复合函数导数公式
) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=
12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===
R-note 一、基本函数 1.函数c()—向量,length()—长度,mode()—众数,rbind()—组合,cbind()— 转置，mode()—属性（数值、字符等） 2.函数mean( )-中位数, sum( )-求和, min( )-最小 值, max( )-最大值, var( )-方差, sd( )-标准差, prod( ) –连乘 3.函数help（）--帮助 4.正态分布函数rnorm( ) 、泊松分布函数rpois( ) 、指数分布函数rexp( ) 、 Gamma分布函数rgamma( ) 、均匀分布函数runif( ) 、二项分布函数rbinom( ) 、几何分布函数rgeom( ) （一）基本函数 1．>2:60*2+1 [1]5 7 9 11……..。。。（共60个数） 2. a[5]:a数列第5个数，a[-5]:删除a数列第5位数 a[-(1:5)]: 删除a数列第1-5位数 a[c(2,4,7)]:a数列第2，4,7位数 a[a<20]:a数列小于20的数 a[a[3]]:先查找a数列第3位数对应数值，然后找第该位数对应数值 5.Seq（）函数---序列数产生器 Seq（5,20）：产生5,6。。。。20的数集 Seq（5,100，by=2）:产生5开始，步长为2的数集，最大值为100 Seq（5,100，length=10）：产生从5开始，从第三个数开始等于第二个数加上第二个数减去第一个数的差值，最后一个数为100. 如：=+（） 6.letters（）：产生字母序列 letters[1:30]:a,b,c,d…..30个字母 （）选择 (a):a数列里面最大数 which（a==2）：查找a数列中等于2的数，并返回该数所对应位置
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
Intouch函数及语句介绍 R 1: RecipeDelete() 从指定配方模板文件中删除配方名。 句法RecipeDelete（“Filename”,“RecipeName”）; 参数描述 FileName 被函数所作用的配方模板文件。实际字符串或消息标记名。 RecipeName 在将被函数删除的指定配方模板文件中的特定配方。RecipeLoad()、RecipeSave() 和RecipeDelete() 函数需用户提供RecipeName 参数。 RecipeSelectRecipe() 函数返回此参数的值。实际字符串或消息标记名。 实例 下面的语句将配方“Recipel”从recfile.csv 文件中删除： RecipeDelete("c:\recipe\recfile.csv", "Recipe1"); 2: RecipeGetMessage()写给模拟标记名某一错误代码同时写给消息标记名相应的错误代码消息。 句法 RecipeGetMessage(Analog_T ag,Message_T ag,Number); 参数描述 Analog_T ag不带引号或常数的实际整型或实型标记名。 Message_T ag不带引号或常数的实际整型或实型标记名。 Number该参数设置返回给Message_Tag 的最大字符串长度。InTouch,消息标记名有131 字符的最大长度。除非你减小在InTouch 标记名称典中的Message_Tag 的最大字符串长度，该参数值为131。该参数可以是常数或包含一个数值的整型标记名。 实例 在“InTouch 数据更改脚本”中使用RecipeGetMessage() 函数，相应的错误代码可以被写到一个模拟标记名，并且关联的错误代码消息可以被写到一个消息标记名中。 Data Change Script Tagname[.field]:ErrorCode Script body：RecipeGetMessage(ErrorCode, ErrorMessage,131); 当模拟标记名ErrorCode 的值发生变化时，将自动执行此脚本。当此脚本执行时，RecipeGetMessage() 函数将读取标记名ErrorCode 的当前数字值，并且返回与此数字值关联的消息到标记名ErrorMessage。 ErrorCode = RecipeLoad ("c:\App\recipe.csv","Unit1","cookies"); RecipeGetMessage(ErrorCode, ErrorMessage, 131); 3: RecipeLoad() 将指定的配方加载到指定的标记名单元中。 句法 RecipeLoad（“Filename”,“UnitName”,“RecipeName”）; 参数描述 Filename此函数所作用的配方模板文件的名称。FileName 可以是字符串常数或含有配方模板文件的消息标记名。 UnitName此函数使用的指定配方模板文件中指定的单元。RecipeLoad()函数需用户提供UnitName。RecipeSelectUuit() 函数返回此参数的值。UnitName 可以是字符常数或含有该单元名称的消息标记名。 RecipeName此函数使用的指定配方模板文件中指定的配方。RecipeLoad()、RecipeSave() 和RecipeDelete() 函数需用户提供RecipeName。RecipeSelectRecipe() 函数返回此参数的值。RecipeName 可以是字符常数或含有该配方名称的消息标记名。
三角函数图像变换顺序 详解 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. ? 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 ?
【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 ? 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法 2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. ? 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变 （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” ? 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式
函数证明问题专题训练 ⑴．代数论证问题 ⑴．关于函数性质的论证 ⑵．证明不等式 6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程()f x ＝x 的根． （Ⅰ）当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ； （Ⅱ）求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）； （Ⅲ）试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为常数． 解：（Ⅰ）令g (x )=f (x ) －x ，则g`(x )=f `(x ) －1<0．故g (x )为减函数，又因为g (a )=f(a ）－a =0，所以当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，所以f (x ) －x ＜0，即()f x
高斯消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x
2.运行结果：
高斯选列主元消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp); tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解')
x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果：
１、变量命名规则： 变量名的第一个字符必须是英文字母，最多包含３１个字符（包括英文字母、数字和下画线），变量中不得包含空格和标点符号，不得包含加减号。变量名和函数区别字母的大小写，如matrix和Matrix表示两个不同的变量。要防止它与系统的预定义变量名（如i,j,pi,eps等）、函数名（如who,length等）、保留字（如for,if,while,end等）冲突。变量赋值用“＝”（赋值号）。 有一些变量永久驻留在工作内存中，不能再重新赋值。这些变量见下表 ２、基本初等函数 ３、几个常用的函数
real(z) 取复数z的实部 image(z) 取复数z的虚部 angle(z) 取复数z的辐角 conj(z) 取复数z的共轭 mod(m,n) 输出m除以n的余数 4、数据文件的存储和调用 在清除变量或退出MATLAB后，变量不复存在。为了保存变量的值，可以把它们存储在数据文件中。例如，在指令窗口中输入>>clear;x=pi/3;a=sin(x);b= cos(x);c=2*a+b执行以后，在File菜单中选Save Workspace As 存入数据文件（例如abc.mat)。则在以后的操作中可以调用这个数据文件。只要在File菜单中点Open操作，就可以打开这个文件。 4.1）Ｍ文件 在进行复杂运算时，在指令窗口高度程序或修改指令是不方便的，因此需要从指令窗口工具栏的新建按钮或选择菜单File:New:M-Fil进入MATLAB的程序编辑器窗口，以编写自己的Ｍ文件。 Ｍ文件有二类：Ｍ脚本文件和Ｍ函数文件。 将多条MATLAB语句写在编辑器中，以扩展名为m的文件保存在某一目录中，就得到一个脚本文件。例如在Ｍ文件编辑器中输入 clear;n=1:100;s=sum%sum是求和命令（如下图），然后单击工具栏中的保存按钮，保存中选择Debug:run菜单，则会在指令窗口输出：s=5050 *注：文件名与变量名的命名规则相同，Ｍ文件一般用小写字母。尽管MATLA B区分变量名的大小写，但不区分文件名的大小写。 M 脚本文件没有参数传递功能，但Ｍ函数文件有些功能，所以Ｍ函数文件用得更为广泛。Ｍ函数文件的格式有严格规定，它必须以“ function ”开头，其格式如下： Function 输出变量＝函数名称（输入变量） 语句； 因为Ｍ函数必须给输入参数赋值，所以编写Ｍ函数必须在编辑器窗口中进行，而执行Ｍ函数要在指令窗口，并给输入参数赋值。Ｍ函数不能像Ｍ脚本文件那样在编辑器窗口通过Debug:run 菜单执行。Ｍ函数可以被其它Ｍ函数文件或Ｍ脚本
一般地，对于函数f(x) ⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。 ⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。 ⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 ⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称 特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 ④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 ⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x3【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称） ⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数
分部积分法顺序口诀 对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。 一、口诀 “反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。 将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。 （分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。） 反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领 当出现两种函数相乘时 指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算 而反三角函数不需要动 再具体点就是： 反*对->反(对) 反*幂->反(幂) 对*幂->对(幂) 二、相关知识 （一）不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C （二）求不定积分的方法： 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。 分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）
更多课程传送门：点这里 Excel表格乘法函数公式 时间:2011-04-05 来源:Word联盟阅读:21051次评论18条 在Excel表格中，我们常常会利用Excel公式来统计一些报表或数据等，这时就少不了要用到加、减、乘、除法，在前面我们已经详细的讲解了Excel求和以及求差公式使用方法。那么我们又如何利用公式来对一些数据进行乘法计算呢？怎样快速而又方便的来算出结果呢？下面Word联盟就来教大家一步一步的使用Excel乘法公式！ 我们先从简单的说起吧！首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 1、A1*B1=C1的Excel乘法公式 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入“=A1*B1”乘法公式。 ②输入完毕以后，我们会发现在 C1 单元格中会显示“0”，当然了，因为现在还没有输入要相乘的数据嘛，自然会显示0了。
③现在我们在“A1”和“B1”单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于“500”。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：
“A1*B1*C1*D1”=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式“=A1*B1*C1*D1”。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在“E1”中啦！
看看图中的结果是否正确呀！其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 因为在工作中不止是乘法这么简单，偶尔也会有一些需要“加减乘除”一起运算的时候，那么当遇到这种混合运算的时候我们应当如何来实现呢？这里就要看你们小学的数学有没学好了。下面让我们一起来做一道小学时的数学题吧！ 3、Excel混合运算的乘法公式，5加10减3乘2除3等于多少？ 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。 ①首先，我们要了解这个公式怎么写，“5+10-3*2/3”这是错误的写法，正确写法应该是“（5+10-3）*2/3”。 ②好了，知道公式了，我们是不是应该马上来在Excel中的“F1”中输入“=(A1+B1-C1)*D1/E1”。 ③然后依次在A1、B1、C1、D1、E1中输入需要运算的数据。
1、通常用到的字符串转日期格式 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 0): 05 16 2006 10:57AM Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 1): 05/16/06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 2): 06.05.16 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 3): 16/05/06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 4): 16.05.06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 5): 16-05-06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 6): 16 05 06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 7): 05 16, 06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 8): 10:57:46 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 9): 05 16 2006 10:57:46:827AM Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 10): 05-16-06 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 11): 06/05/16 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 12): 060516 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 13): 16 05 2006 10:57:46:937 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 14): 10:57:46:967 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 20): 2006-05-16 10:57:47 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 21): 2006-05-16 10:57:47.157 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 22): 05/16/06 10:57:47 AM Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 23): 2006-05-16 Select CONVERT(varchar(100), GETDATE(), 24): 10:57:47