传统不等式的解法 一、基础知识 1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠ 可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++,作出图像,再找出x 轴上方的部分即可——关键点:图像与x 轴的交点 2、高次不等式 (1)可考虑采用“数轴穿根法”,分为以下步骤:(令关于x 的表达式为()f x ,不等式为 ()0f x >) ①求出()0f x =的根12,,x x L ② 在数轴上依次标出根 ③ 从数轴的右上方开始,从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像,()0f x >? 寻找x 轴上方的部分 ()0f x 寻找x 轴下方的部分 (2)高次不等式中的偶次项,由于其非负性在解不等式过程中可以忽略,但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式 (1)将分母含有x 的表达式称为分式,即为 () () f x g x 的形式 (2)分式若成立,则必须满足分母不为零,即()0g x ≠ (3)对形如 () () 0f x g x >的不等式,可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可,所以将分式不等式转化为()()()0 f x g x g x ?>???≠?? (化商为积),进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 (1)绝对值的属性:非负性 (2)式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方
(3)若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解: ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同 (4)对于其它含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理 5、指对数不等式的解法: (1)先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中,有一些性质可从函数的角度分析,例如:a b a c b c >?+>+,可发现不等式的两边做了相同的变换(均加上c ) ,将相同的变换视为一个函数,即设()f x x c =+,则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得:()()a b f a f b >?>,即a b a c b c >?+>+成立,再例如: 0,0,c ac bc a b c ac bc >>?>?? < ,可设函数()f x cx =,可知0c >时,()f x 为增函数,0c <时,()f x 为减函数,即()()()() 0,0,c f a f b a b c f a f b >>??>?? <? 由以上两个例子我们可以得出:对于不等式两边作相同变换的性质,可将变换视为一个函数,则在变换时不等号是否发生改变,取决于函数的增减性。增函数→不变号,减函数→变号 在这种想法的支持下,我们可以对不等式的变形加以扩展,例如:a b >,则11 ,a b 的关系如何?设()1f x x = ,可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞,由此可判断出:当,a b 同号时,11 a b a b >?< (2)指对数不等式:解指对数不等式,我们也考虑将其转化为整式不等式求解,那么在指对数变换的过程中,不等号的方向是否变号呢?先来回顾指对数函数的性质:无论是x y a =还是()log 0,1a y x a a =>≠,其单调性只与底数a 有关:当1a >时,函数均为增函数,当01a <<时,函数均为减函数,由此便可知,不等号是否发生改变取决于底数与1的大小,规律如下:
高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场.据测算,J 型卡车满载行驶时,每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满 足u =? ??100v +23,0
江苏高考数学专题练习——函数 1. 已知函数,,则的解集是 . 2. 设函数,则满足的的取值范围为 . 3. 已知函数,不等式对恒成立,则 .* 4. 已知函数f (x )=e x -1 -tx ,?x 0∈R ,f (x 0)≤0,则实数t 的取值范围 . 5. 已知函数f (x )=2x 3 +7x 2 +6x x 2+4x +3,x ∈0,4],则f (x )最大值是 .* 6. 已知函数,若在区间上有且只有2个零点, 则实数的取值范围是 . 7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ,,值域为2 0am ????,,则实数a 的取值范围 是 . * 8. 若存在实数,使不等式成立,则实数的取值范围为 . 9. 设函数,若关于的不等式在实数集上有解,则 实数的取值范围是 .* 10. 已知函数f (x )=???x 2 -1,x ≥0, -x +1,x <0. 若函数y =f (f (x ))-k 有3个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 . 11. 设a 为实数,记函数f (x )=ax -ax 3(x ∈1 2,1])的图象为C .如果任何斜率不小于1的直 线与C 都至多有一个公共点,则a 的取值范围是 . 2()||2 x f x x += +x R ∈2 (2)(34)f x x f x -<-???≥<-=1 ,21,13)(2x x x x x f 2 ))((2))((a f a f f =2()()()(0)f x x a x b b =--≠()()f x mxf x '≥x R ?∈2m a b +-=222101, ()2 1,x mx x f x mx x ?+-=?+>? ,,≤≤()f x [)0,+∞m 2e 2e 10x x a +≥-()33,2,x x x a f x x x a ?-<=?-≥? ,()4f x a >R
2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分) 1.(5分)(2014?江苏)已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B=.2.(5分)(2014?江苏)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.3.(5分)(2014?江苏)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是. 4.(5分)(2014?江苏)从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是. 5.(5分)(2014?江苏)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是. 6.(5分)(2014?江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm. 7.(5分)(2014?江苏)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是. 8.(5分)(2014?江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.
9.(5分)(2014?江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为. 10.(5分)(2014?江苏)已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是. 11.(5分)(2014?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.12.(5分)(2014?江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,?=2,则?的值是. 13.(5分)(2014?江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f (x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实 数a的取值范围是. 14.(5分)(2014?江苏)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.二、解答题(本大题共6小题,共计90分) 15.(14分)(2014?江苏)已知α∈(,π),sinα=. (1)求sin(+α)的值; (2)求cos(﹣2α)的值. 16.(14分)(2014?江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB 的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线PA∥平面DEF; (2)平面BDE⊥平面ABC.
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上.若BE →=λBC →,D F →=19λDC →,则 AE →·A F → 的最小值为 ________. (例1) 变式1 在△ABC 中,已知AB =10,AC =15,∠BAC =π 3,点M 是边AB 的中点, 点N 在直线AC 上,且AC →=3AN → ,直线CM 与BN 相交于点P ,则线段AP 的长为________. 变式2若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为________. 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行: 切入点一:“恰当选择基底”.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算. 切入点二:“坐标运算”.坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来,快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题,都可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,达到转化问题,简单求解的目的.
1. 设E ,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,已知AB =3,AC =6,则AE →·A F → =________. 2. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·A F →=2,则AE →·B F → =________. 3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC →·BE → =33 32 ,则AB 的长为________. (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量,则向量2a +b 与a -b 夹角的余弦值是________. 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°,且|OA →|=3,|OB →|=2,若OC →=mOA →+nOB →,且OC → ⊥AB → ,则实数m n =________. 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足AQ →=23AP →+13 AC →,则|BQ → |的最小值是________. 7. 如图,在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,且满足BP →=12 PC → ,点M ,N 在过点P 的直线上,若AM →=λAB →,AN →=μAC → ,λ,μ>0,则λ+2μ的最小值为________. (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE → =λBA →+μBD → (λ,μ∈R ),则λ+μ=________. 9. 如图,在直角梯形ABCD 中,若AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1, 动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD → (m ,n 均为正实数),则1m +1n 的最小值为________. 10. 已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P 为平面ABC 上的一点,AP →=λAB →+μAC → 且AP →·AB →=0,AP →·AC → =3. (1) 求AB →·AC → 的值; (2) 求λ+μ的值.
江苏高考数学专题复习专题一函数与导数1 第1课时函数的图象与性质1 第2课时导数及其应用5 第3课时函数与方程8 第4课时函数与导数的综合应用10 专题二三角函数与平面向量14 第1课时三角函数的图象与性质14 第2课时平面向量、解三角形17 第3课时三角函数与向量的综合问题21 专题三不等式25 第1课时基本不等式及其应用25 第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31 第1课时等差、等比数列31 第2课时数列的求和34 第3课时数列的综合应用38 专题五立体几何42 第1课时平行与垂直42 第2课时面积与体积47 专题六平面解析几何52 第1课时直线与圆52 第2课时圆锥曲线56 第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60 第4课时圆锥曲线的范围问题64 专题七应用题67 专题八理科选修72 第1课时空间向量72 第2课时离散型随机变量的概率分布76 第3课时二项式定理80 第4课时数学归纳法84 专题九思想方法88 第1课时函数与方程思想88 第2课时数形结合思想92 第3课时分类讨论思想95 第4课时等价转化思想98
专题一 函数与导数 考情分析 函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题,主要考点有:一是函数的性质及其应用;二是分段函数的求值问题;三是函数图象的应用;四是方程根与函数零点转化问题;五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上,对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高. 第1课时 函数的图象与性质 考点展示 1.(2016·江苏)函数y =3-2x -x 2 的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[)-1,1上,f ()x =?????x +a ,-1≤x <0? ????? 25-x ,0≤x <1,其中a ∈R ,若f ? ????-52=f ? ????92,则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点A ,B 和 C 分别在函数y 1=3log a x ,y 2=2log a x 和y 3=log a x (a >1)的图象上,则实数a 的值为________. 第3题图 4.(17无锡一调)已知f ()x =? ??2x -3,x >0 g ()x ,x <0是奇函数,则f ()g ()-2=________. 5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ,n ()m
常考问题21 坐标系与参数方程 1.在极坐标系中,已知圆C 的圆心坐标为C ? ? ???2,π3,半径R =5,求圆C 的极 坐标方程. 解 将圆心C ? ? ???2,π3化成直角坐标为(1,3),半径R =5,故圆C 的方程为(x -1)2+(y -3)2=5. 再将C 化成极坐标方程,得(ρcos θ-1)2+(ρsin θ-3)2=5, 化简得ρ2 -4ρcos ? ?? ?? θ-π3-1=0. 此即为所求的圆C 的极坐标方程. 2.(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆??? x =5cos φ, y =3sin φ(φ为参数) 的右焦点,且与直线??? x =4-2t , y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程. 解 由题意知,椭圆的长半轴长为a =5,短半轴长b =3,从而c =4,所以右焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程得x -2y +2=0,故所求的直线的斜率为12,因此所求的方程为y =1 2(x -4),即x -2y -4=0. 3.(2010·江苏卷)在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a =0相切,求实数a 的值. 解 将极坐标方程化为直角方程,得圆的方程为x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1,直线的方程为3x +4y +a =0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有|3×1+4×0+a | 32+4 2 =1, 解得a =-8或a =2, 故a 的值为-8或2. 4.已知曲线C 1:??? x =-4+cos t ,y =3+sin t (t 为参数),C 2:? ?? x =8cos θ,y =3sin θ
(江苏专用)高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练 习(无答案)苏教版 微专题十七 数列的通项与求和 一、填空题 1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=6+a 7,则S 9的值是________. 2. 已知数列{a n }满足a 1为正整数,a n +1=????? a n 2 , a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数. 若a 1=5,则a 1+a 2+a 3=________. 3. 已知数列{a n }满足a n = 1n +n +1,则其前99项和S 99=________.
4. 若数列{a n }满足12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________. 5. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1= 2a n a n +2 (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n =________. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=12,S n =kn 2-1(n ∈N *),则数列??????1S n 的前n 项和为________.
7. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n ·(2n -1)cos n π 2+1(n ∈N * ),其前n 项和为S n ,则S 60=________. 8. 如图,在平面直角坐标系中,分别在x 轴与直线y =33 (x +1)上从左向右依次取点A k ,B k ,k =1,2,…其中A 1是坐标原点,使△A k B k A k +1都是等边三角形,则△A 10B 10A 11的边长是________. 9. 定义:在数列{a n }中,若满足a n +2a n +1-a n +1a n =d (n ∈N *,d 为常数),称{a n }为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n }中,a 1=a 2=1,a 3=3,则 a 2 019a 2 017=________.
江苏省高考数学综合专题1-集合及其应用部分 高考命题规律: 从考查内容上,高考命题仍以考查概念和计算为主,考查两个集合的交集与并集、补集。 形式上以填空题为主。 从能力要求上看,注重基础知识和基本技能的教材,要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn 图、数轴等工具解决集合问题。 知识的综合联系上看,本考点会纵横关系数学各个方面的知识体系,如不等式的解集与不等关系,方程与曲线,函数的图象性质,三角函数等。 重难点: 集合的三个基本特征:确定性,互异性,无序性。 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键,即:文字语言、符号语言、图象语言的互化。 方法技巧: 一、数形结合:把题设条件有效转化成图形或图象类型,利用几何的直观性,以“形”助“数” ,形象、直观、方便快捷。特别是韦恩图法、数轴法、函数图象法。 二、补集思想:对正面求解困难的问题,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略。具体地说,就是将研究的对象的全体视为全集,求了使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即所求结论。 【2011年考题精选】 1。(2011江苏)已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=?B A . 2.(2011安徽科)设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ?且?≠?B S 的集合S 为__________个. 3. (2011北京理科)已知集合P={x ︱x 2≤1},M={a }.若P ∪M=P,则a 的取值范围是____ 4. (2011广东理科)已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数,且}221x y +=,(){,B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B ?的元素个数为 ______ 5. (2011江西理科)若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=x x x B x x A ,则B A ?= _____ 6. (2011山东理科)设集合 M ={x|x 2+x-6<0},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =_______ 7. (2011湖北理科)已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ? ?==>==>??? ?,则U C P =____ 8. (2011上海理科)若全集U R =,集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤,则U C A = 【2010年考题精选】
微专题六 解不等式及线性规划 一、 填空题 1. 不等式|x 2-2|<2的解集是________. 2. 设实数x ,y 满足??? x ≥0, y ≥0, x +y ≤3, 2x +y ≤4, 则z =3x +2y 的最大值是________. 3. 已知实数x ,y 满足条件??? |x |≤1, |y |≤1,则z =2x +y 的最小值是________. 4. 已知函数f (x )=??? 2-|x +1|,x ≤1, (x -1)2, x >1,函数g (x )=f (x )+f (-x ),则不等式 g (x )≤2的解集为________. 5. 已知实数x ,y 满足约束条件??? x +y ≥3, y ≤3, x ≤3, 则z =5-x 2-y 2的最大值为 ________. 6. 已知函数f (x )=x +1 |x |+1 ,x ∈R ,则不等式f (x 2-2x )<f (3x -4)的解集是________.
________. 8. 已知函数f (x )=x 2-kx +4,对任意x ∈[1,3],不等式f (x )≥0恒成立,则实数k 的最大值为________. 9. 设实数n ≤6,若不等式2xm +(2-x )n -8≥0对任意x ∈[-4,2]都成立,则m 4-n 4 m 4n 的最小值为________. 10. 已知函数f (x )=2x -1+a ,g (x )=bf (1-x ),其中a ,b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2,则a 的取值范围是________. 二、 解答题 11. 解下列不等式: (1) |x 2-2|<2; (2) x -12x +1≤0.