2011年考研数学试题（数学一）
一、选择题
1、 曲线()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 的拐点是（ ）
（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是
()()()()234
12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知
(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===
(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞
→n
n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的
收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===
n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≤；
{}n a 单调减少，0lim =∞
→n
n a ，
说明级数()1
1n
n n a ∞
=-∑收敛，可知幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数
()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2
x =时幂级数发散。可知收敛域为
[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A ） 0)0(1
)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1
)0(>'' 【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''== ，() ()() xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，2 2()()(()) () () yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00 (0) (0)0(0) xy x y f z f f ==''' '= =，00 (0)ln (0)xx x y z f f ==''''=， 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需 (0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''?> 所以有0)0(1)0(>''>f f ， 4、设44 40 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π π π ===???，则,,I J K 的大小关系是( ) （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0, )4 x π ∈ 时，0sin cos cot x x x << <<，因此lnsin lncos lncot x x x << 4 4 4 ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π π π < < ? ? ? ，故选（B ） 5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记 1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?? ???? ,则A =( ) （A ）12P P （B ）1 12P P - （C ）21P P （D ）1 21P P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以1 111 12121A BP P P P P ----===， 故选（D ） 6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，* A 为A 的伴随矩阵，若()T 0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基 础解系，则0=* x A 基础解系可为（ ） (A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，， 【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A * =，又由0A A A E * ==知， 1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又 ()1234131100,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ????? ，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ） 7、设()()1 2,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度 的是( ) （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x （C ） ()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质： ()()()()12210f x F x f x F x +≥； ()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞ +∞ -∞-∞ +==? 。可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密 度，故选（D ）。 8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则 =)(UV E （ ） (A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY == 可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线? ??? ? ? ≤≤= x x tdt y 0 40tan π的弧长s = 【答案】14 π - 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】()2 4 4 4 '2 2 40 tan sec 1tan 14 s y dx xdx x dx x x π π π π π = = = -=-=-? ? ? 10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 【答案】sin x y xe -= 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin x y xe -= 11、设函数()? += xy dt t t y x F 0 21sin ,，则=??==2 02 2y x x F 【答案】4 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】()() 2223 2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故22 02 4x y F x ==?=?。 12、设L 是柱面方程22 1x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向， 则曲线积分 2 2 L y xzdx xdy dz ++=? ? 【答案】π 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =?? =??=+? ，其中t 从0到2π。因此 13、若二次曲面的方程为2 2 2 32224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为2 2 1144y z +=，则 a = 【答案】1- 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。 【解析】本题等价于将二次型2 2 2 (,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后化为了 22114f y z =+。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。 该二次型的矩阵为1131111a A a ?? ?= ? ??? ，可知2 210A a a =---=，因此1a =-。 14、设二维随机变量(,)X Y 服从2 2 (,;,;0)N μμσσ，则2 ()E XY = 【答案】3 2 μμσ+ 【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。 【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此2 2 ()E XY EX EY =?。 由于(,)X Y 服从2 2 (,;,;0)N μμσσ，可知()2 222,EX EY DY EY μμσ==+=+，则 ()22232()E XY μμσμμσ=+=+。 三、解答题 15、（本题满分10分）求极限1 1 0ln(1)lim x e x x x -→+?? ??? 【答案】1 2 e - 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞ 形式的极限。计算时先按1∞ 未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【解析】：11 11 00ln(1)ln(1)lim lim 1x x e e x x x x x x x --→→++-????=+ ? ????? 2 001 1 1 ln(1)ln(1)1lim lim lim 1 2x x x x x x x x x x e x x e e e →→→-+-+-+-=== 16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在 1x =处取得极值(1)1g =，求 21,1 z x y x y ?==?? 【答案】 ''1,11,2(1,1)(1,1)f f + 【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。 【解析】： '''12(,())(,())()z f xy y g x y f xy yg x yg x x ?=+? 由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =，可知' (1)0g =。 故 17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 【答案】1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。 【解析】：令()arctan f x k x x =-，则(0)0f =，2 22 1()111k k x f x x x --'=-=++， （1） 当1k <时，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，故此时()f x 的图像与x 轴与只有一 个交点，也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根 （2） 1k =时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞是严格的 单调递减，又(0)0f =，故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点 （3） 1k >时，x <<()0f x '>，()f x 在(上单调增加， 又(0)0f =知，()f x 在(上只有一个实根，又()f x (,-∞或)+∞ 都有()0f x '<，()f x 在(,-∞或)+∞都单调减，又 (0,lim ()x f f x →-∞ <=+∞，0,lim ()x f f x →+∞ >=-∞，所以()f x 在(,-∞与 x 轴无交点，在)+∞上与x 轴有一个交点 综上所述：1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有 111ln(1)1n n n <+<+ （2）设11 1ln (1,2,)2n a n n n =+ ++-=L L ，证明数列{}n a 收敛 【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。 【解析】：（1）令 1x n =，则原不等式可化为ln(1),01 x x x x x <+<>+。 先证明ln(1),0x x x +<>： 令()ln(1)f x x x =-+。由于 '1 ()10,01f x x x =- >>+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。又由于(0)0f =，因此当0x >时，()(0)0f x f >=。也即ln(1),0x x x +<>。 再证明 ln(1),01 x x x x <+>+： 令()ln(1)1 x g x x x =+- +。由于' 211()0,01(1)g x x x x = ->>++，可知()g x 在[)0,+∞上单调递增。由于(0)0g =，因此当0x >时，()(0)0g x g >=。也即ln(1),01 x x x x <+>+。 因此，我们证明了 ln(1),01 x x x x x <+<>+。再令由于，即可得到所需证明的不等式。 （2）111 ln(1) 1n n a a n n +-=-++，由不等式11ln(1)1n n <++可知：数列{}n a 单调递减。 又由不等式11 ln(1)n n +<可知： 1111 1ln ln(11)ln(1)...ln(1)ln ln(1)ln 022n a n n n n n n =+++->++++++-=+->L 。 因此数列 {}n a 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列{}n a 收敛。 19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==， (,)D f x y dxdy a =?? ，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy D I xyf x y dxdy ''= ?? 【答案】：a 【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。 【解析】：将二重积分 (,)xy D xyf x y dxdy ''??转化为累次积分可得 首先考虑 1 (,)xy xyf x y dx ''?，注意这是是把变量y 看做常数的，故有 由(1,)(,1)0f y f x ==易知''(1,)(,1)0y x f y f x ==。 故 1 1 (,)(,)xy y xyf x y dx yf x y dx '''=- ? ?。 对该积分交换积分次序可得：1111 (,)(,)y y dy yf x y dx dx yf x y dy ''- =-???? 再考虑积分1 (,)y yf x y dy '? ，注意这里是把变量x 看做常数的，故有 因此 20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T ααα===不能由 ()()() 1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T a βββ===线性表出。①求a ；②将123,,βββ由123,,ααα线性表出。 【答案】：①5a =；②()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】：① 由于321,,ααα不能由321,,βββ表示 可知 05314213 11321=-==a a βββ，解得5=a ②本题等价于求三阶矩阵C 使得 ()()123123,,,,C βββααα= 可知()()1 1123123101113,,,,013124115135C αααβββ--???? ? ? == ? ? ? ????? 计算可得2154210102C ?? ? = ? ?--?? 因此()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 21、（本题满分11分）A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -???? ? ? = ? ? ? ?-???? （1）求A 的特征值与特征向量（2）求A 【答案】：（1）A 的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ?? ??010 （2）001000100A ???? =?????? 【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。 【解析】：（1）????? ??=????? ??101--101-A ??? ? ? ??=????? ??101101A 可知：1，-1均为A 的特征值，????? ??=1011ξ与??? ? ? ??=101-2ξ分别为它们的特征向量 2)(=A r ，可知0也是A 的特征值 而0的特征向量与1ξ，2ξ正交 设??? ?? ??=3213x x x ξ为0的特征向量 有???=+-=+00 3131x x x x 得? ??? ? ??=0103k ξ A 的特征值分别为1，-1，0 对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ? ? ??010 （2）-1 PΛP A = 其中??????????-=011Λ，?? ????????-=011100011P 故1 110111000110011100110A ---????????????=-?????? ???????????? 22. （本题满分11分） 求：（1） (),X Y 的分布； （2）Z XY =的分布； （ 3）XY ρ. 【答案】：（1） （2） （3）0XY ρ= 【考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问联合分布的计算。 【解析】：（1）由于()2 21P X Y ==，因此()220P X Y ≠=。 故()0,10P X Y ===，因此 再由()1,00P X Y ===可知 同样，由()0,10P X Y ==-=可知 这样，我们就可以写出(),X Y 的联合分布如下： （2）可能的取值有，， 其中(1)(1,1)1/3P Z P X Y =-===-=，(1)(1,1)1/3P Z P X Y ===== ， 则有(0)1/3P Z ==。 因此，Z XY =的分布律为 （3）2/3EX =，0EY =，0,cov(,)0EXY X Y EXY EXEY ==-= 故0XY ρ= = 23、（本题满分11分）设12,,,n x x x L 为来自正态总体2 0(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2 0σ>未知，x 和2 S 分别表示样本均值和样本方差， （1）求参数2σ的最大似然估计^ 2 σ （2）计算^2 ()E σ和^2 ()D σ 【答案】：（1）2^2 01()n i i X n μσ =-= ∑ （2）4^^ 222 2(),()E D n σσσσ== 【考点分析】：本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算，有一定的难度。在求2 σ的最大似然估 计时，最重要的是要将2 σ看作一个整体。在求^ 2 σ的数学期望和方差时，则需要综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。 【解析】： （1）似然函数 ( )222 001222211 ()()1 ,,,,exp 222n n i i n n n i i x x L x x x μμσ σσπσ==?? ??--=-=- ? ? ???? ?∑ L 则222 0022 1 1 ()()1ln ln 2ln ln 2ln 2 2222 n n i i i i x x n n n L n μμπσπσσσ==--=---=---∑ ∑ 令2 ln 0L σ ?=?可得2σ的最大似然估计值2^ 201 ()n i i x n μσ=-=∑ ，最大似然估计量2 ^ 2 01 ()n i i X n μσ=-=∑ （2）由随机变量数字特征的计算公式可得 由于()210 0,X N μσ-:，由正态分布的性质可知 ()10 0,1X N μσ -:。因此()2 2 1 01X μχσ-?? ??? :， 由2 χ的性质可知2 102X D μσ-??= ??? ，因此2410()2D X μσ-=，故4^ 2 2()D n σσ=。
相关主题
文本预览